2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學習過程

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1、2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學習過程 學習過程 知識點1:線面垂直的判定定理:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視; b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。 知識點2:面面垂直的判定定理:(1)在表示二面角的平面角時,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB的大小與點O在L上位置無關; (3)當二面角的平面角是直角時,這兩個平 面的位置關系怎樣? 承上啟下,引導學生觀察,類比、自主探究, β B 獲得兩個平面互相垂直的判定定理: 一個平面過另一個平面

2、的垂線,則這兩個平面垂直。 C O A 知識點3:線面垂直的性質(zhì)定理: 1、操作確認 觀察長方體模型中四條側(cè)棱與同一個底面的位置關系。如圖2.3—4,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間是有什么位置關系?(顯然互相平行)然后進一步遷移活動:已知直線a⊥α 、b⊥α、那么直線a、b一定平行嗎?(一定)我們能否證明這一事實的正確性呢? C1 D1 a b A1 B1 α D C A B

3、 圖2.3-4 圖2.3-5 2、推理證明 引導學生分析性質(zhì)定理成立的條件,介紹證明性質(zhì)定理成立的特殊方法——反證法, 然后師生互動共同完成該推理過程 ,最后歸納得出: 垂直于同一個平面的兩條直線平行。 知識點4:面面垂直的性質(zhì)定理:如圖,設α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,且AB∩CD=B,我們看直線AB與平面β的位置關系。 在β內(nèi)作直線BE⊥CD,垂足為B,則∠ABE是二面角 α-CD-β的二面角,由α⊥β知,AB⊥BE,又AB⊥CD, BE與CD是β內(nèi)的兩條相交直線,所以AB⊥β。 一般地

4、,我們得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理。 定理 兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 學習結(jié)論 1.線面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。 2.面面垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。 3.線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行。 4.面面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 典型例題 例1、已知O是△ABC的外心,P是平面ABC外的一點,且PA=PB=PC,α是經(jīng)過PO的任意一個平面,則( ?。? A.α⊥平面AB

5、C B.α與平面ABC不垂直 C.α與平面ABC可能垂直也可能不垂直 D.以上都不對 答案:A 解析:由O是△ABC的外心,PA=PB=PC可得,PO⊥平面ABC,∴α⊥平面ABC. 例2、如圖,AB為⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點,求證:平面PAC⊥平面PBC。   證明:設⊙O所在平面為α,由已知條件,有 PA⊥α,BC在α內(nèi), 所以,PA⊥BC, 因為,點C是不同于A,B的任意一點,AB為⊙O的直徑, 所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA 又因為PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線, 所以,BC⊥平面PAC, 又

6、因為BC在平面PBC內(nèi), 所以,平面PAC⊥平面PBC。 例3、如圖,已知平面α,β滿足α⊥β,直線a滿足a⊥β,aα,試判斷直線a與平面α的位置關系。 解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線的直線b, 因為α⊥β,所以b⊥β, 因為a⊥β,所以a∥b, 又因為aα,所以a∥α, 即直線a與平面α平行。 例4、設直線a,b分別在正方體ABCD-A’B’C’D”中兩個不同的平面內(nèi),欲使 a∥b,則a,b應滿足什么條件?  解析:a,b滿足下面條件中的任何一個,都能使a∥b, (1)a,b同垂直于正方體一個面; (2)a,b分別在正方體兩個相對的面內(nèi)且共面; (3)a,b平行于同一條棱; (4)如圖,E,F(xiàn),G,H分別為B’C’,CC’,AA’,AD的中點,EF所在的直線為a,GH所在直線為b,等等

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