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1、
回扣4 數(shù) 列
1．牢記概念與公式
等差數(shù)列、等比數(shù)列
等差數(shù)列
等比數(shù)列
通項公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n項和
Sn＝
＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝
＝；
(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用定理與結(jié)論
(1)等差、等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)
等差數(shù)列
等比數(shù)列
性質(zhì)
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
則am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝a
2、p·aq；
②an＝amqn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0)
(2)判斷等差數(shù)列的常用方法
①定義法
an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
②通項公式法
an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
③中項公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
④前n項和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
(3)判斷等比數(shù)列的常用方法
①定義法
＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．
②通項公式法
an＝c
3、qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．
③中項公式法
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．
3．數(shù)列求和的常用方法
(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和．
(2)形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯位相減法求和．
(3)通項公式形如an＝(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項相消法求和．
(4)通項公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a為常數(shù)，n∈N*)等正負項交叉的數(shù)列求和一般用并項法．并項時應注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論．
(5
4、)分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列．
(6)并項求和法：先將某些項放在一起求和，然后再求Sn.
1．已知數(shù)列的前n項和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.
2．易混淆幾何平均數(shù)與等比中項，正數(shù)a，b的等比中項是±.
3．等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，靈活整體代換進行基本運算．如等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，求時，無法正確賦值求解．
4．
5、易忽視等比數(shù)列中公比q≠0導致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項或偶數(shù)項符號相同造成增解．
5．運用等比數(shù)列的前n項和公式時，易忘記分類討論．一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論．
6．利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項．
7．裂項相消法求和時，裂項前后的值要相等，
如≠－，
而是＝.
8．通項中含有(－1)n的數(shù)列求和時，要把結(jié)果寫成n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況的分段形式．
1．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S13>0，S14<0，若ak·ak＋1<0，則k等于( )
A．6 B．7 C．13 D．14
答案 B
解析 因為{an
6、}為等差數(shù)列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，
所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.
2．已知在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，則a5＋a6等于( )
A．3 B．15 C．48 D．63
答案 C
解析 ＝q2＝4，所以a5＋a6＝(a3＋a4)·q2＝48.
3．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．7
C．12 D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，
∴a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于
7、零，
又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.
4．已知數(shù)列{an}滿足＝9· (n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，則(a5＋a7＋a9)等于( )
A．－ B．3
C．－3 D.
答案 C
解析 由已知＝9·＝，所以an＋1＝an＋2，所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，
a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)
＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋9×2＝27，
所以(a5＋a7＋a9)＝27＝－3.故選C.
5．已知正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}
8、，若a1·a20＝100，那么a7＋a14的最小值為( )
A．20 B．25
C．50 D．不存在
答案 A
解析 在正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，因為a1·a20＝100，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1·a20＝a7·a14＝100，那么a7＋a14≥2＝2＝20，當且僅當a7＝a14＝10時取等號，所以a7＋a14的最小值為20.
6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an等于( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
答案 A
解析 an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)?an＋1＝2a
9、n，再令n＝1，∴S1＝2a1－4?a1＝4，
∴數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故選A.
7．已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則等于( )
A．2 B．3 C．5 D．7
答案 B
解析 ∵在等差數(shù)列{an}中，a2，a4，a8成等比數(shù)列，
∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，
∴＝＝3，故選B.
8．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)(n∈N*)，則S20等
10、于( )
A．31 B．122
C．324 D．484
答案 B
解析 由題意可知，因為an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，
所以a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝，…，
所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項構成首項為1，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項構成首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝122，故選B.
9．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則(n∈N*)的最小值為( )
A．4 B．3
C．2－2 D
11、.
答案 A
解析 由題意a1，a3，a13成等比數(shù)列，可得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2，因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2，由基本不等式知，＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，當且僅當n＝2時取得最小值4.
10．已知F(x)＝f－1是R上的奇函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝n－1 B．a(chǎn)n＝n
C．a(chǎn)n＝n＋1 D．a(chǎn)n＝n2
答案 C
解析 由題意F(x)＝f－1是R上的奇函數(shù)，即F(x)關于(0,0)對稱，
則f(x)關于對稱．
即f(0)＋f(
12、1)＝2，f＝1，f＋f＝2，
f＋f＝2，
則an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)＝n＋1.
11．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 設公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝2×10＝20.
12．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
答案 50
解析 ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，
∴a10a11＋a9a12＝
13、2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，
∴l(xiāng)n a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)
＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.
13．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2，Sn＋1＋(－1)nSn＝2n，則S100＝____________.
答案 198
解析 當n為偶數(shù)時，Sn＋1＋Sn＝2n，Sn＋2－Sn＋1＝2n＋2，所以Sn＋2＋Sn＝4n＋2，故Sn＋4＋Sn＋2＝4(n＋2)＋2，所以Sn＋4－Sn＝8，由a1＝2知，S1＝2，又S2－S1＝2，所以S2＝4，因為S4＋S2＝4×2＋2＝10，所以S4＝6
14、，所以S8－S4＝8，S12－S8＝8，…，S100－S96＝8，所以S100＝24×8＋S4＝192＋6＝198.
14．若數(shù)列{an}滿足a2－a1>a3－a2>a4－a3>…>an＋1－an>…，則稱數(shù)列{an}為“差遞減”數(shù)列．若數(shù)列{an}是“差遞減”數(shù)列，且其通項an與其前n項和Sn(n∈N*)滿足2Sn＝3an＋2λ－1，則實數(shù)λ的取值范圍是________．
答案
解析 當n＝1時，2a1＝3a1＋2λ－1，a1＝1－2λ，當n>1時，2Sn－1＝3an－1＋2λ－1，所以2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，所以an＝3n－1，an－an－1＝3n－1－3n－
15、2＝3n－2，依題意3n－2是一個遞減數(shù)列，所以2－4λ<0，λ>.
15．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和．
解 (1)設{an}的公差為d，據(jù)已知有7＋21d＝28，
解得d＝1.
所以{an}的通項公式為an＝n(n∈N*)．
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
(2)因為bn＝
所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為1×90＋2
16、×900＋3×1＝1 893.
16．各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：Sn＝a＋an＋(n∈N*)．
(1)求an；
(2)設數(shù)列的前n項和為Tn，證明：對一切正整數(shù)n，都有Tn<.
(1)解 由Sn＝a＋an＋，①
可知當n≥2時，Sn－1＝a＋an－1＋，②
由①－②化簡得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又數(shù)列{an}各項為正數(shù)，
∴當n≥2時，an－an－1＝2，故數(shù)列{an}成等差數(shù)列，公差為2，又a1＝S1＝a＋a1＋，解得a1＝1，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)證明 Tn＝＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋.
∵＝<
＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋
<1＋＋＋…＋＋
＝1＋＝1＋－<.
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