2022年高考數(shù)學一輪復習 第12章 選修4系列 第1講 坐標系講義 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第12章 選修4系列 第1講 坐標系講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.了解坐標系的作用，掌握平面直角坐標系中的伸縮變換． 2.了解極坐標的基本概念，能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化．(重點) 3.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心為極點的圓)的方程．(難點) [考向預測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內(nèi)容. 預測2020年將會考查：極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，極坐標方程化為直角坐標方程，要特別注意圖象的伸縮變換. 題型為解答題，屬中、低檔題型. 1．伸縮變換 設(shè)點P(x，y)是

2、平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標 一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 3．極坐標與直角坐標的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： 1．概念辨析 (1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應關(guān)系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應關(guān)系．(　　) (2)點P的直角坐標為(－，)，那么它的極坐標可表示為.(　　) (3)過極點作傾斜角為α的直線的極坐標方程可表示為θ＝α或θ

3、＝π＋α.(　　) (4)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點O的圓的極坐標方程為ρ＝2asinθ.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．小題熱身 (1)設(shè)平面內(nèi)伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線y＝sinx的方程變?yōu)?　　) A．y＝sin2x B．y＝3sinx C．y＝sin D．y＝3sin2x 答案　D 解析　由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程變?yōu)閥＝3sin2x. (2)在極坐標系中A，B兩點間的距離為________． 答案　6 解析　解法一：(數(shù)形

4、結(jié)合)在極坐標系中，A，B兩點如圖所示， |AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 解法二：∵A，B的直角坐標為A(1，－)， B(－2,2)，∴|AB|＝＝6. (3)曲線C1：θ＝與曲線C2：ρsin＝的交點坐標為________． 答案　 解析　將θ＝代入ρsin＝，得ρsin＝，所以ρ＝1，所以曲線C1與曲線C2的交點坐標為. (4)已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為________． 答案　 解析　由2ρsin＝得2ρ＝，ρsinθ－ρcosθ＝1，化為直角坐標方程得y－x＝1即x－y＋1＝0，點A的直角坐標為，即(2，－2)，

5、所以點A到直線l的距離為＝. 題型 　平面直角坐標系中的伸縮變換 在同一平面直角坐標系中，求一個伸縮變換，使得圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1. 解　設(shè)伸縮變換為由題知＋＝1，即2x2＋2y2＝1.與x2＋y2＝1比較系數(shù)，得故所以伸縮變換為 即先使圓x2＋y2＝1上的點的縱坐標不變，將圓上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，得到橢圓＋y2＝1，再將該橢圓上點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到橢圓＋＝1. 伸縮變換后方程的求法 平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方

6、程．見舉例說明． 提醒：應用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(x，y)與變換后的坐標(x′，y′). 若函數(shù)y＝f(x)的圖象在伸縮變換φ：的作用下得到曲線的方程為y′＝3sin，求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期． 解　由題意，把變換公式代入曲線y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期為＝π. 題型 　極坐標與直角坐標的互化 (2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求C2的直

7、角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線，曲線C1的方程為y＝記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝

8、0. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點. 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 條件探究　把舉列說明中曲線C1的極坐標方程改為“θ＝α(0≤α≤2π)”，曲線C2的極坐標方程改為“ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＋3＝0”，若C1與C2有且僅有兩個公共點，求α的取值范圍． 解　由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2

9、－2x－2y＋3＝0， 即(x－1)2＋(y－)2＝1， 由題意知α≠， 可設(shè)曲線C1的直角坐標方程為y＝kx，k＝tanα， 當曲線C1與曲線C2相切時，＝1， 解得k＝，即tanα＝， 又0≤α≤2π，所以α＝. 結(jié)合圖形可知，若C1與C2有且僅有兩個公共點，則 α∈. 1．極坐標方程與直角坐標方程的互化 (1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標方程并化簡即可． (2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應用公式進行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方

10、是常用的變形技巧． 2．極角的確定 由tanθ確定角θ時，應根據(jù)點P所在象限取最小正角． (1)當x≠0時，θ角才能由tanθ＝按上述方法確定． (2)當x＝0時，tanθ沒有意義，這時可分三種情況處理：當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當x＝0，y>0時，可取θ＝；當x＝0，y<0時，可取θ＝.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程． 解　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圓O1的直角坐標方程為x2＋y2＝4.

11、因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以圓O2的直角坐標方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1，化為極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝. 題型 　極坐標方程的應用 角度1　極徑幾何意義的應用 1．(2018·日照一模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (1)求曲線C的極坐標方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|的值． 解　(1)將方程消去參數(shù)α得x

12、2＋y2－4x－12＝0， ∴曲線C的普通方程為x2＋y2－4x－12＝0，將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得ρ2－4ρcosθ＝12， ∴曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ＝12. (2)設(shè)A，B兩點的極坐標方程分別為，，由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，根據(jù)題意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的兩根，∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12， ∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2. 角度2　用極坐標解最值和取值范圍問題 2．(2018·南平二模)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的方程為＋y2＝1.曲線C2的參數(shù)方程為

13、 (φ為參數(shù))，曲線C3的方程為y＝xtanα，曲線C3與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點． (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)求|OP|2·|OQ|2的取值范圍． 解　(1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C1的極坐標方程為＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝， 由(φ為參數(shù))，消去φ， 即得曲線C2的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1； 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化簡， 可得曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (2)曲線C3的極坐標方程為θ＝α， 由(1)得|OP|2＝；|OQ|2＝4sin2α， 即|OP|2·|OQ|2＝＝， 因

14、為0<α<，所以0

15、坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin，直線l的直角坐標方程為y＝x. (1)求曲線C1和直線l的極坐標方程； (2)已知直線l分別與曲線C1，曲線C2相交于異于極點的A，B兩點，若A，B的極徑分別為ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值． 解　(1)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，其普通方程為x2＋(y－1)2＝1， 極坐標方程為ρ＝2sinθ. 因為直線l的直角坐標方程為y＝x， 故直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝2sinθ， 直線l的極坐標方程為θ＝， 將θ＝代入C1的極坐標方程得ρ1＝1，

16、 將θ＝代入C2的極坐標方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3. 2．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解　(1)設(shè)點P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋.