（全國通用版）2019版高考數學大一輪復習 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明優(yōu)選學案

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1、 第60講　不等式的證明 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明． 2．會用參數配方法討論柯西不等式的一般情形：·≥2，會用向量遞歸方法討論排序不等式． 3．了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題． 4．了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法． 2017·全國卷Ⅱ，23 2015·全國卷Ⅱ，24 2015·湖南卷，16(3) 不等式的證明是對必修5中“不等式”的補充和深化，其中以考查綜合法、分析法、放縮法等為主．另外應用基本不等式、柯西不等式求函數的最值也是高考

2、考查的一個方向． 分值：5～10分 1．比較法 作差比較法與作商比較法的基本原理： (1)作差法：a－b＞0?__a＞b__. (2)作商法：＞__1__?a＞b(a＞0，b＞0)． 2．綜合法與分析法 (1)綜合法：證明不等式時，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經過__推理論證__而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因導果法． (2)分析法：證明命題時，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的__充分條件__，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立．這是一種__執(zhí)果索因__的思考和證明

3、方法． 3．反證法 先假設要證的命題__不成立__，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的__推理__，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)__矛盾__的結論，以說明假設__不正確__，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法． 4．放縮法 證明不等式時，通過把所證不等式的一邊適當地__放大__或__縮小__以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法． 5．數學歸納法 數學歸納法證明不等式的一般步驟： (1)證明當__n＝n0__時命題成立； (2)假設當__n＝k__(k∈N

4、*，且k≥n0)時命題成立，證明__n＝k＋1__時命題也成立． 綜合(1)(2)可知，結論對于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立． 6．柯西不等式 (1)代數形式：設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立． (2)向量形式：設α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立． (3)三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則 ＋≥ . (4)一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋

5、…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立． 7．排序不等式 設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.當且僅當a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時，反序和等于順序和． 1．思維辨析(在括號內打“√”或“”)． (1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時假設為“a，b，c全不為0”.

6、(　×　) (2)若實數x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(　√　) (3)不等式|x＋a|＋|x＋b|≥c恒成立的充要條件是|a－b|≥c.(　√　) (4)不等式|x＋a|－|x＋b|＜c恒成立的充要條件是|a－b|≤c.(　×　) 2．若a>0，b>0，a，b的等差中項是，且α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為(　D　) A．2　　　 B．3　　　　 C．4　　　 D．5 解析　∵為a，b的等差中項，∴a＋b＝×2＝1. a＋＋b＋?1＋＋＝1＋＝1＋， ∵≤，∴ab≤＝. ∴1＋≥1＋4.∴α＋β的最小值為5.故選D. 3．設a>0，b>

7、0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　B　) A．8　　　 B．4　　　 C．1　　　 D． 解析　因為3a·3b＝3，所以a＋b＝1. ＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，即a＝b＝時“＝”成立．故選B. 4．若直線3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為__　　__，最小值點為__　　__. 解析　畫出直線3x＋4y＝2的圖象，再畫以原點為圓心的圓，要使圓和直線有交點，則最小半徑為直線與圓相切時，r＝＝，切點為直線3x＋4y＝2與4x－3y＝0的交點． 因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為. 5．定義在R上的函數f(x)對任意

8、兩個不等的實數x1，x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱函數f(x)為“Ζ函數”，以下函數中為“Ζ函數”的序號為__②④__. ①y＝－x3＋1；②y＝3x－2sin x－2cos x； ③y＝④y＝ 解析　由排序不等式原理可知x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)?或?f(x)是R上的增函數．易知①是R上的減函數；③是R上的偶函數；對于②，y′＝3＋2sin>0；對于④，根據其圖象可以判定為增函數． 一　比較法證明不等式 比較法證明不等式的步驟 (1)作差(商)；(2)變形；(3)判斷差的符號(商與1

9、的大小關系)；(4)下結論．其中“變形”是關鍵，作差比較法中通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質判斷出差的正負． 【例1】 已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且＞，x＞y.求證：＞. 證明　方法一　∵－＝，＞且a，b∈(0，＋∞)，∴b＞a＞0. 又x＞y＞0，∴bx＞ay. ∴＞0，即＞. 方法二　∵x，y，a，b∈(0，＋∞)， ∴要證＞，只需證明x(y＋b)＞y(x＋a)，即證xb＞ya. 而由＞＞0，得b＞a＞0. 又x＞y＞0，∴xb＞ya顯然成立．故原不等式成立． 二　分析法和綜合法證明不等式 分析法和綜合法證明不等式的技巧

10、證明不等式，主要從目標式的結構特征，綜合已知條件，借助相關定理公式探索思路，如果這種特征不足以明確解題方法時，就應從目標式開始通過“倒推”——分析法，尋找目標式成立的充分條件直至與已知條件吻合，然后從已知條件出發(fā)綜合寫出證明過程． 【例2】 (2017·全國卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)

11、≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 三　柯西不等式的應用 柯西不等式應用的常見類型及解題策略 (1)求表達式的最值．依據已知條件，利用柯西不等式求最值，注意等號成立的條件． (2)證明不等式．注意所證不等式的結構特征，尋找柯西不等式的條件，然后證明． 【例3】 (1)已知實數a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求證：1≤a≤2. (2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 證明　(1)由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)≥ (b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由已

12、知可得 2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，b＋c＋d＝3－a， ∴5－a2≥(3－a)2，即1≤a≤2， 當且僅當＝＝，即2b＝3c＝6d時，等號成立． (2)因為6＝x＋2y＋3z≤·，所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝，即x＝，y＝，z＝時，x2＋y2＋z2有最小值.　 1．設a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　D　) A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　 D．4 解析　2a2＋＋－10ac＋25c2 ＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋ ＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋≥0＋2＋2＝4， 當且僅當a－5c＝0，ab＝

13、1，a(a－b)＝1時等號成立，如取a＝，b＝，c＝滿足條件．故選D. 2．若P＝＋＋(x>0，y>0，z>0)，則P與3的大小關系為__P<3__. 解析　∵1＋x>0,1＋y>0,1＋z>0， ∴＋＋<＋＋＝3，即P<3. 3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：··≥8. 證明　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2， ··＝≥ ＝8. 4．設a，b，c是正實數，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值． 解析　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥2＝18， 當且僅當a＝b＝c＝3時，等號成立． ∴＋＋≥2

14、.∴＋＋的最小值為2. 錯因分析：轉化為最值問題時，弄錯大小或忽略等號導致錯誤． 【例1】 已知關于x的不等式－＜a，①恒成立；②無解；③有解；分別求a的取值范圍． 解析　設g(x)＝－， 則g(x)＝則－2≤g(x)≤2， 所以①a∈(2，＋∞)；②a∈(－∞，－2]；③a∈(－2，＋∞)． 【跟蹤訓練1】 設f(x)＝|ax－1|. (1)若f(x)≤2的解集為[－6,2]，求實數a的值； (2)當a＝2時，若存在x∈R使得不等式f(2x＋1)－f(x－1)≤7－3m成立，求實數m的取值范圍． 解析　(1)顯然a≠0，當a>0時，解集為，則－＝－6，＝2，無解

15、；當a<0時，解集為，令－＝2，＝－6，得a＝－.綜上所述，a＝－. (2)當a＝2時，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)＝|4x＋1|－|2x－3|＝ 由此可知h(x)在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，則當x＝－時，h(x)取到最小值－，由題意，知－≤7－3m，則實數m的取值范圍是. 課時達標　第60講 [解密考綱]不等式的證明以解答題進行考查，主要考查綜合法、比較法，還常用基本不等式證明不等式或求最值． 1．已知a，b都是正數，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2. 證明　(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2. 因為a，b都是正數，所

16、以a＋b>0. 又因為a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0， 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2. 2．已知a，b，c都是正數，求證：≥abc. 證明　因為b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，① 同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c，② c2(a2＋b2)≥2abc2，③ ①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 從而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正數，得a＋b＋c>0， 因此≥abc. 3．已知a

17、，b，c∈(0，＋∞)，求證：2≤3. 證明　欲證2≤3， 只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3， 即證c＋2≥3，∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴c＋2＝c＋＋≥3＝3， ∴c＋2≥3成立，故原不等式成立． 4．設a，b為正實數，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解析　(1)由2＝＋≥2，得ab≥，當a＝b＝時取等號．故a2＋b2≥2ab≥1，當a＝b＝時取等號． 所以a2＋b2的最小值是1. (2)由(a－b)2≥4(ab)3，得2≥4ab，即2－ ≥4ab，從而ab＋≤2. 又a，b為正實數，所以ab＋≥2，

18、所以ab＋＝2， 所以ab＝1. 5．已知函數f(x)＝|x|－|2x－1|，記f(x)>－1的解集為M. (1)求M； (2)已知a∈M，比較a2－a＋1與的大?。? 解析　(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝ 由f(x)>－1， 得或或 解得00，所以a2－a＋1>. 綜上所述，當0. 6．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證： (1)＋＋≤； (2)＋＋≥. 證明　(1)∵由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3， 當且僅當＝＝，即a＝b＝c＝時，等號成立， ∴＋＋≤. (2)∵由柯西不等式得 [(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]≥ 2＝9(當且僅當a＝b＝c＝時取等號)， 又a＋b＋c＝1，∴6≥9， ∴＋＋≥. 9