（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第5節(jié) 古典概型學(xué)案 文 新人教A版

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1、 第5節(jié)　古典概型 最新考綱　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 知 識(shí) 梳 理 1.基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型. (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè). (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝.

2、 4.古典概型的概率公式 P(A)＝. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的，確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹狀圖法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”、“一正一反”、“兩個(gè)反面”，這三個(gè)事件是等可能事件.(　　

3、) (3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　　) (4)利用古典概型可求：“從長(zhǎng)度為1的線段AB上任取一點(diǎn)C，求滿足|AC|≤的概率”是古典概型.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(必修3P133A1改編)袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球抽到白球的概率為(　　) A. B. C. D.非以上答案 解析　從袋中任取一球，有15種取法，其中抽到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝. 答案　A 3.(2016·全國(guó)Ⅲ卷)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，

4、I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}， ∴事件總數(shù)有15種. ∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝. 答案　C 4.(2018·長(zhǎng)沙模擬)在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進(jìn)一個(gè)白球，此時(shí)由這個(gè)口袋中取出一個(gè)白球的概率比原來由此口袋中取出一個(gè)白球的概率大，則口袋中原有小球的個(gè)數(shù)為(　　)

5、 A.5 B.6 C.10 D.11 解析　設(shè)原來口袋中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為n個(gè)，依題意－＝，解得n＝5.所以原來口袋中小球共有2n＝10個(gè). 答案　C 5.(2018·茂名調(diào)研)在{1，3，5}和{2，4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被4整除的概率是________. 解析　符合條件的兩位數(shù)共有12個(gè)，其中能被4整除的兩位數(shù)為12，32，52，共3個(gè).∴所求事件的概率P＝＝. 答案　 考點(diǎn)一　簡(jiǎn)單古典概型的概率 【例1】 (1)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花

6、壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2017·全國(guó)Ⅱ卷)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　(1)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種.故所求概率為P＝＝. (

7、2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，故所求概率P＝＝. 答案　(1)C　(2)D 規(guī)律方法　1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P. 2.用列舉法寫出所有基本事件時(shí)，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏. 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)

8、 A. B. C. D. (2)(2018·衡水中學(xué)質(zhì)檢)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________. 解析　(1)從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種. 所以所求概率P＝＝. (2)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共有36種不同結(jié)果. 設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”，其對(duì)立事件＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10

9、”， 包含的可能結(jié)果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6種情況.由于P()＝＝，因此P(A)＝1－P()＝. 答案　(1)C　(2) 考點(diǎn)二　應(yīng)用古典概型計(jì)算較復(fù)雜事件的概率 【例2】 (2016·山東卷)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下： ①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)； ②若xy≥8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)； ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

10、(1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由. 解　用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).得基本事件總數(shù)n＝16. (1)記“xy≤3”為事件A， 則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)， 即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C. 則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè). 即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)

11、，(4，4). 所以P(B)＝＝. 事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)， 即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 所以P(C)＝.因?yàn)椋荆? 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 規(guī)律方法　1.求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù). 2.三點(diǎn)注意：(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏. (2)當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮轉(zhuǎn)化為互斥事件、對(duì)立事件的概率，借助概率的加法公式計(jì)算. (3)本題中的基本事件(x，y)是有序的，(1，2)與(2，1)表示不同的基本事件. 【訓(xùn)練2】 設(shè)a∈{2，4}

12、，b∈{1，3}，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1. (1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率； (2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1))處的切線互相平行的概率. 解　(1)依題意，數(shù)對(duì)(a，b)所有取值為(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4種情況. 記“f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)”為事件A. 則A發(fā)生時(shí)，x＝－≥－1，即a≥b. ∴事件A發(fā)生時(shí)，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3種情況. 故所求事件的概率P(A)＝. (2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種可能，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)，有6種抽法. ∵函數(shù)f(x)在(1，

13、f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b， ∴這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，則只有(2，3)，(4，1)這1組滿足， 故所求事件的概率P＝. 考點(diǎn)三　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 【例3】 (2018·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表： x [11，13) [13，15) [15，17) [17，19) [19，21) [21，23] 頻數(shù) 2 12 34 38 10 4 (1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)； (2)若x<13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格

14、.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率. 解　(1)頻率分布直方圖為 估計(jì)平均數(shù)為＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08. 由頻率分布直方圖，x∈[17，19)時(shí)，矩形面積最大，因此估計(jì)眾數(shù)為18. (2)記技術(shù)指標(biāo)值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標(biāo)值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4， 則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，

15、(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個(gè)基本事件. 記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個(gè)基本事件. 故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P＝. 規(guī)律方法　1.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)

16、據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 2.在求解該類問題要注意兩點(diǎn)： (1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率. (2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成. 【訓(xùn)練3】 海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概

17、率. 解　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是： 50×＝1，150×＝3，100×＝2. 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2. (2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為： {A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè). 每個(gè)樣

18、品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有 {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè). 所以這2件商品來自相同地區(qū)的概率P(D)＝. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·北京卷)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊.從5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(

19、丙，戊)，(丁，戊)，共10種情形，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種情形.故甲被選中的概率P＝＝. 答案　B 2.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5

20、)，其中勾股數(shù)只有(3，4，5)，所求概率為.所以3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率P＝. 答案　C 3.(2018·東北四市模擬)將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，則n的最小值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　依題意，得1－≥，解得n≥4. 答案　A 4.在集合A＝{2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1，2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　點(diǎn)P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3

21、)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝. 答案　B 5.設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的情況有：(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11種，其中使方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的情況有：(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7種.故所求事

22、件的概率P＝. 答案　C 二、填空題 6.(2014·全國(guó)Ⅱ卷)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為________. 解析　甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色的情況為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種. 而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種. 所以所求概率P＝＝. 答案　 7.(2016·四川卷)從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________. 解析　從2，3，8，9中任

23、取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8), 共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2，8)，(3，9)兩種，故P＝＝. 答案　 8.將號(hào)碼分別為1，2，3，4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4＜0成立的事件發(fā)生的概率為________. 解析　由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果有16種.其中滿足a－2b＋4＜0 有(1，3)

24、，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4種結(jié)果. 故所求事件的概率P＝＝. 答案　 三、解答題 9.(2017·山東卷)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游. (1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè) ，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率； (2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率. 解　(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{

25、A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè). 所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有 {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè). 則所求事件的概率為P＝＝. (2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè). 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有 {A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，則所求事件的

26、概率為P＝. 10.(2018·河南名校聯(lián)考)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖(如下). (1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有 1 000名學(xué)生，試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)； (2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70)和[80，90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽

27、取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70)的概率. 解　(1)由折線圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有14＋3＋13＝30(人). 所以該校高一年級(jí)中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1 000×＝750(人). (2)設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70)”為事件M， 記體育成績(jī)?cè)赱60，70)的數(shù)據(jù)為A1，A2，體育成績(jī)?cè)赱80，90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3，則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有10種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B

28、3). 而事件M的結(jié)果有7種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3). 因此事件M的概率P(M)＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2017·衡水中學(xué)質(zhì)檢)從集合{2，3，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1，3，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由題意知，向量m共有12個(gè)， 由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，則滿足m⊥n的m有(3，3)，(5，5)，共2個(gè)，故所求概率P＝＝. 答案　A

29、 12.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為________. 解析　對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b. 又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6種， 故所求的概率P＝＝. 答案　 13.某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動(dòng).他們的年齡在25歲至50歲之間.按年齡分組：第1組[

30、25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示. 下表是年齡的頻數(shù)分布表. 區(qū)間 [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50] 人數(shù) 25 a b (1)求正整數(shù)a，b，N的值. (2)現(xiàn)要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？ (3)在(2)的條件下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求恰有1人在第3組的概率. 解　(1)由題干中的頻率分布直方圖可知，a＝25，且b＝2

31、5×＝100，總?cè)藬?shù)N＝＝250. (2)因?yàn)榈?，2，3組共有25＋25＋100＝150(人)，利用分層抽樣在150人中抽取6人，每組抽取的人數(shù)分別為： 第1組的人數(shù)為6×＝1； 第2組的人數(shù)為6×＝1； 第3組的人數(shù)為6×＝4， 所以第1，2，3組分別抽取的人數(shù)為1，1，4. (3)由(2)可設(shè)第1組的1人為A，第2組的1人為B，第3組的4人分別為C1，C2，C3，C4，則從6人中抽取2人的所有可能結(jié)果為：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15種. 其中恰有1人在第3組的所有結(jié)果為：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8種，所以恰有1人在第3組的概率為. 13