41、2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，這兩式不能同時成立，∴ B≠{－2}；
③ 若B＝{－1，－2}，則應有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由這兩式得m＝2.
經(jīng)檢驗知m＝1和m＝2符合條件．
∴ m的值是1或2.
4. 某校高一年級舉行語、數(shù)、英三科競賽，高一(2)班共有32名 同學參加三科競賽，有16人參加語文競賽，有10人參加數(shù)學競賽，有16人參加英語競賽，同時參加語文和數(shù)
學競賽的有3人，同時參加語文和英語競賽的有3人，沒有人同時參加全部三科競賽，問：同時參加數(shù)學和英語競賽的有多少人？只參加語文一科競賽的有多少人？
解：設所有參加
42、語文競賽的同學組成的集合用A表示，所有參加數(shù)學競賽的同學組成的集合用B表示，所有參加英語競賽的同學組成的集合用C表示，設只參加語文競賽的有x人，只參加數(shù)學競賽的有y人，只參加英語競賽的有z人，同時參加數(shù)學和英語競賽的有m人．根據(jù)題意，可作出如圖所示Venn圖，
則有
解得
答：同時參加數(shù)學和英語競賽的有4人，只參加語文一科競賽的有10人．
1. 集合的運算結果仍然是集合．進行集合運算時應當注意：
(1) 勿忘對空集情形的討論；
(2) 勿忘集合中元素的互異性；
(3) 對于集合A的補集運算，勿忘A必須是全集的子集；
(4) 已知兩集合間的關系求參數(shù)或參數(shù)范圍時，關鍵是將
43、兩集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系．解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀．還要注意“回代檢驗”，從而對所求數(shù)值進行合理取舍．
2. 在集合運算過程中應力求做到“三化”
(1) 意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣類型的對象(數(shù)集、點集，圖形等)？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？
(2) 具體化：具體求出相關集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應力求將相關集合轉化為最簡形式．
(3) 直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標平面、Venn圖等將有關集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形結合思想解決
44、問題．
[備課札記]
第3課時 簡單的邏輯聯(lián)結詞、量詞(對應學生用書(文)、(理)6～8頁)
了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；了解邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義；了解全稱量詞與存在量詞的意義；了解含有一個量詞的命題的否定的意義．
① 會分析四種命題的相互關系.
② 會判斷必要條件、充分條件與充要條件.
③ 能用“或”“且”“非”表述相關的數(shù)學內容(真值表不作要求).
④ 能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)學內容.
⑤ 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．
45、
1. 寫出命題“若a＝0，則ab＝0”的逆否命題：________________________________________________________________________.
答案：若ab≠0，則a≠0
2. 原命題“設a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有________個．
答案：1
3. (改編題)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的____________條件．
答案：充分不必要
解析：a＝3時，A＝{1，3}，顯然A?B.但A?B時，a＝2或3.所以a＝3是A?B的充分
46、不必要條件．
4. (改編題)函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1 對稱的充要條件是____________．
答案：m＝－2
解析：已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱，則m＝－2；反之也成立．所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是m＝－2.
5. (改編題)已知命題p：?x∈R，x2＋x－1＜0，則綈p為__________．
答案：?x∈R，x2＋x－1≥0
解析：含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結論否定，即綈p：?x∈R，x2＋x－1≥0.
1. 四種命題及其關系
(1) 四種命題
47、
① 如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題互為逆命題；
② 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題；
③ 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定，那么這兩個命題互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題．
命題
表述形式
原命題
若p，則q
逆命題
若q，則p
否命題
若非p，則非q
逆否命題
若非q，則非p
(2) 四種命題間的逆否關系
(3) 四種命題的真假關系
兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
48、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
2. 充分條件與必要條件
(1) 如果p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
(2) 如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充要條件，記作p?q.
(3) 如果p?q，q__p，那么稱p是q的充分不必要條件．
(4) 如果q?p，p__q，那么稱p是q的必要不充分條件．
(5) 如果p?/ q，且q?/ p，那么稱p是q的既不充分也不必要條件．
3. 簡單的邏輯聯(lián)結詞
(1) “或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結詞．
① 或：兩個簡單命題至少一個成立.
② 且：兩個簡單命題都成立.
③ 非：對一個命題的否定．
49、
(2) 用聯(lián)結詞“且”聯(lián)結命題p和命題q，記作p∧q，讀作“p且q”．
(3) 用聯(lián)結詞“或”聯(lián)結命題p和命題q，記作p∨q，讀作“p或q”．
(4) 一個命題p的否定記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”．
(5) 命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷
p∧q中p，q有一假為假，p∨q中p，q有一真為真，p與非p必定是一真一假．
4. 全稱量詞與存在量詞
(1) 全稱量詞與全稱命題
短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“?x”表示“對任意x”．
含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．
全稱命題“對M中任意一個x，都有p(x)成立”可用符號
50、簡記為?x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量詞與存在性命題
短語“有一個”“有些”“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號“?x”表示“存在x”．
含有存在量詞的命題，叫做存在性命題．
存在性命題“M中存在一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)，讀作“存在一個x屬于M，使p(x)成立”．
5. 含有一個量詞的命題的否定
命題
命題的否定
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
[備課札記]
51、
, 1 四種命題及其相互關系)
, 1) (1) 命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為______________；
(2) (2018·溧陽中學摸底)命題“?x<0，有x2>0”的否定是________________．
(3) 命題“若x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0”是________命題．(選填“真”或“假”)
答案：(1) 若a≤b，則2a≤2b－1 (2) ?x<0，有x2≤0 (3) 真
解析：(3) 很可能許多同學會認為它是假命題(原因m＝0時顯然方程有
52、根)，其實不然，由x2＋x－m＝0沒有實根可推得m<－，而是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命題為真．其實，用逆否命題很容易判斷它是真命題．
【精要點評】 本題考查了命題間的關系，由原命題寫出其否命題、逆否命題．原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假．
變式訓練
下列命題中不是真命題的是__________．(填序號)
① “若ab＝0，則a＝0或b＝0”的逆命題；
② “若x2＋y2≠0，則x, y不全為零”的否命題；
③ “?x∈R，使x2＋1>3x”的否定；
④ “若m>0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題．
答案：③
解析：①中命題的逆
53、命題為若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題，故①正確；②中命題的否命題為若x2＋y2＝0，則x，y全為零，為真命題，故②正確；③中命題的否定為?x∈R，使x2－3x＋1≤0 ，因為Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③錯誤；④中命題x2＋x－m＝0有實根?Δ＝1＋4m≥0?m≥－?若m>0，則x2＋x－m＝0有實根為真命題?其逆否命題也為真命題，故④正確．故填③.
命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是____________________________________．
答案：若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)
解析：由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都
54、是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”., 2 充分條件和必要條件)
●典型示例
, 2) 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【思維導圖】 對集合進行化簡→將條件間的關系轉化為集合間的包含關系→利用集合間的關系列出關于m的不等式→求出實數(shù)m的范圍
【規(guī)范解答】 解： 化簡集合A，由y＝x2－x＋1配方得y＝＋.
∵ x∈，∴ ymin＝，ymax＝2.∴ y∈.∴ A＝.
化簡集合B，由x＋m2
55、≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵ 命題p是命題q的充分條件，∴ A?B.∴ 1－m2≤，解得m≥或m≤－.
∴ 實數(shù)m的取值范圍是∪.
【精要點評】 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉化思想，將復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關系問題中，常常要利用集合的包含、相等關系來考慮，這是破解此類問題的關鍵．
●總結歸納
充要關系的幾種判斷方法
(1) 定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．
(2) 等價法：即利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的等價關系，對于條件或結論是否定
56、形式的命題，一般運用等價法．
(3) 利用集合間的包含關系判斷：設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件．
●題組練透
1. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數(shù)解”的______________(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．
答案：充分不必要
解析：x2＋x＋m＝0有實數(shù)解等價于Δ＝1－4m≥0，即m≤.
2. 已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是____________．
答案：
57、(2，＋∞)
解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要條件，所以k＞2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)．
3. 設n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝__________．
答案：3或4
解析：已知方程有根，由判別式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐個分析，當n＝1，2時，方程沒有整數(shù)根；而當n＝3時，方程有整數(shù)根1，3；當n＝4時，方程有整數(shù)根2.
4. 若命題p：?x∈R，使x2＋ax＋1＜0，則綈p：__________________．
答案：?x∈R，使x2＋ax＋1≥0
解析：存在性命題的
58、否定需要將存在量詞?改為全稱量詞?，并且將命題的結論進行否定．所以命題“?x∈R，使x2＋ax＋1＜0”的否定是“?x∈R，使x2＋ax＋1≥0”．
, 3 邏輯聯(lián)結詞)
, 3) 已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
答案：[2，＋∞)
解析：依題意知，p，q均為假命題．當p是假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是假命題時，則有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均為假命題得即m≥2.
變式訓練
已知命題p：“?x∈[0
59、，1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：[e，4]
解析：若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
已知命題p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p∧q”與“綈q”都是假命題，求x的值．
解：∵ 綈q假，∴ q真．又p∧q假，∴ p假．
∴ 即∴
∴ x＝－1，0，1，2.
, 4 全稱命題與存在性命題)
, 4
60、) 已知命題p：“?x∈R，?m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0”．若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案：(－∞，1]
解析：命題綈p是假命題，即命題p是真命題，由4x－2x＋1＋m＝0得m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以當x∈R時f(x)≤1，因此實數(shù)m的取值范圍是m≤1.
若命題“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案：[－4，0]
解析：“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命題，即Δ＝m2
61、＋4m≤0，∴ －4≤m≤0.
1. 已知命題p：?x∈R，使ax2＋2x＋1<0.當綈p為真命題時，實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：{a|a≥1}
解析：綈p：?x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命題為真命題，則即a≥1，從而所求a的取值范圍是{a|a≥1}．
2. (2016·全國Ⅰ卷)命題“?x∈R，2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：[－2，2]
解析：因題中的命題為假命題，則它的否定“?x∈R，2x2－3ax＋9≥0”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－
62、2≤a≤2.
3. (2018·衡水中學周測)設p：≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：
解析：因為p：≤x<1，q：a2x；命題q：?x∈(－∞，0)，3x>2x，則下列命題為真命題的是________．(填序號)
① p∧q；② p∧(綈q)；③ (綈p)∧q；④ (綈p)∧(綈q)．
答案：②
解析：?x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命題p為真命題；?x∈(－∞，0)，3x<2x
63、，所以命題q為假命題，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)為假命題，p∧(綈q)為真命題，填②.
點睛：若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假，需先判斷構成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可．
5. (2017·溧陽中學月考)已知函數(shù)f(x)＝＋ex，則x1＋x2>0是f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案：充要
解析：當x>0時， y＝＝1－，易知y＝在(0，＋∞)上單調遞增，又y＝是奇函數(shù)，∴ 函數(shù)f
64、(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上為單調增函數(shù)．
先證充分性：
∵ x1＋x2>0，∴ x1>－x2，又f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上為單調增函數(shù)，∴ f(x1)>f(－x2)，同理：f(x2)>f(－x1)，故f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)．充分性證畢．
再證必要性：
記g(x)＝f(x)－f(－x)，由f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上單調遞增，可知f(－x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，∴ g(x)＝f(x)－f(－x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．
由f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)，可得f(x1)－f(－x1)>f(－x2)－f(x2)，
65、即g(x1)>g(－x2)，
∴ x1>－x2，x1＋x2>0.必要性證畢．
1. “b＝c＝0”是“二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過原點”的________條件．
答案：充分不必要
解析：若b＝c＝0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝ax2經(jīng)過原點；若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c過原點，則c＝0.
2. 已知命題p：x2－5x＋6≥0；命題q：0
66、足條件的實數(shù)x的范圍是(－∞，0]∪[4，＋∞)．
3. (2018·濟南一中期初)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案：[3，8)
解析：因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8.
1. 在判斷四個命題間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系．要注意四種命題關系的相對性與等價性，判斷四種命題真假的關鍵是熟悉四種命題的概念與互為逆否命題是等價的，即“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”，而互逆命題、互否命題是不等價的，當一個命題直接判斷不易進行時，通?？赊D化為判斷其等價命題的真假；而判斷一個命題為假命題只需舉出反例即可．
2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第一章 集合與常用邏輯用語學案
