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1、2022年高三數學總復習 對數函數教案 理
教材分析
對數函數是一類重要的函數模型,它與指數函數互為反函數.教材是在學生學過指數函數、對數及其運算的基礎上引入對數函數的概念的.須要說明的是,這里與傳統(tǒng)的教材有所不同,即沒有先學習反函數,這對學生學習對數函數的概念、圖像及性質有較大影響,使指數函數的知識點不能直接應用于對數函數的知識點,但從對數的定義中知道:指數式與對數式可互化.因此,在某些方面,如在畫對數函數y=log2x的圖像列表時,可以把畫指數函數y=2x圖像時列的表中的x與y的值對調.這節(jié)內容的重點是對數函數的概念、圖像及性質,難點是對數函數與指數函數的關系.
教學目標
1. 通
2、過具體實例,直觀了解對數函數模型刻畫的數量關系,初步理解對數函數的概念,并能畫出具體對數函數的圖像,掌握對數函數的圖像和性質.
2. 知道指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數(a>0且a≠1).
3. 能應用對數函數的性質解有關問題.
任務分析
首先復習指數函數、對數的定義及對數的性質,這也是學習本節(jié)內容的基礎.解析式x=logay是函數,叫作對數函數,為了符合習慣,常寫成y=logax.這些內容學生較難理解,教學時要引起重視.教學中,要注意從實例出發(fā),使學生從感性認識提高到理性認識;要注意運用對比的方法;要結合對數函數的圖像抽象概括對數函數的性質.注意:不要求討論形式化
3、的函數定義,也不要求求已知函數的反函數,只須知道對數函數與指數函數互為反函數.
教學設計
一、問題情境
同指數函數中的細胞分裂問題,即:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個……1個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞的個數為y.
我們已經知道,個數y是分裂次數x的函數,解析式是y=2x.形式上是指數函數(這里的定義域是N).
思考:在這個問題中,細胞分裂的次數x是不是細胞分裂個數y的函數?若是,這個函數的解析式是什么?
x也是y的函數,由對數的定義得到這個新函數是x=log2y.其中,細胞的個數y是自變量,細胞分裂的次數x是函數.
二、建立模型
1. 學
4、生討論
(1)函數x=log2y與指數函數y=2x有何關系?
(2)函數x=log2y中的自變量、字母與我們以前所學的函數有何區(qū)別?
結論:問題(1):兩函數中的x表示的都是細胞分裂的次數,y表示的都是細胞分裂的個數,對應法則都是以2為底數,一個是取對數,一個是取指數,正好相逆.
注意:這里不能說它們互為反函數,因為還沒有學習反函數的概念.
問題(2):這里的自變量所用字母是y,以前學習的函數的自變量常用字母x,即這里的用法不合習慣.
2. 教師明晰
定義:函數x=long2y,(a>0,且a≠1)叫作對數函數,它的定義域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞).
由對數函數的定義
5、可知,在指數函數y=ax和對數函數x=logay中,x,y兩個變量之間的關系是一樣的.不同的只是在指數函數y=ax里,x是自變量,y是因變量,而在對數函數x=logay中,y是自變量,x是因變量.習慣上,我們常用x表示自變量,y表示因變量,因此,對數函數通常寫成y=logay,(a>0且a≠1,x>0).
3. 練 習
在同一坐標系中畫出下列函數的圖像.
(1)y=long2x. ?。?)y=.
解:列表:
表12-1
思考:上表中的x,y的對應值與指數函數中所列表的對應值有何關系?
描點,畫圖:
4. 觀察上面的函數圖像,結合列表,仿照指數函數的性質,歸納總結出對數
6、函數的性質
(1)定義域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞).
(2)函數圖像在y軸的右側且過定點(1,0).
(3)當a>1時,函數在定義域上是增函數,且當x>1時,y>0;當0<x<1時,y<0.
當0<a<1時,函數在定義域上是減函數,且當x>1時,y<0;當0<x<1時,y>0.
三、解釋應用
[例 題]
1. 求下列函數的定義域.
(1)y=log2x2. (2)y=loga(4-x). ?。?)y=.
解:(1){x|x≠0}. ?。?)(-∞,4). ?。?)(0,1).
2. 比較下列各組數的大小.
(1)log23與log23.5.
(2)loga5
7、.1與loga5.9,(a>0且a≠1).
(3)log67與log76.
解:(1)考查對數函數y=log2x.
∵2>1,∴它在(0,+∞)上是增函數.
又3<3.5,
∴l(xiāng)og23<log23.5.
(2)當a>1時,loga5.1<loga5.9;
當0<a<1時,loga5.1>loga5.9.
(3)log67>1>log76.
總結:本例是利用對數的單調性比較兩個對數的大小,當底數與1的大小不確定時,要分類討論;當不能直接進行比較時,可在兩個數中間插入一個已知數間接比較兩個數的大?。?
3. 溶液的酸堿度是通過pH值來刻畫的,pH值的計算公式為pH=-lg[H+
8、],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度,單位是mol/L.
(1)根據對數函數性質及上述pH值的計算公式,說明溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系.
(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7mol/L,計算純凈水的pH值.
解:(1)根據對數的性質,有
pH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg,
所以溶液中氫離子的濃度越大,溶液的酸度就越?。?
(2)當[H+]=10-7時,pH=-lg10-7=7,所以,純凈水的pH值是7.
4. 設函數f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0),問:當a,b滿足什么關系時,f(x)在(1,+∞)上恒取正值?
解:
9、當x∈(1,+∞)時,lg(ax-bx)>0恒成立ax-bx>1恒成立.
令g(x)=ax-bx.
∵a>1>b>0,
∴g(x)在(0,+∞)上是增函數,
∴當x>1時,g(x)>g(1)=a-b,
∴當a-b≥1時,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
[練 習]
1. 求函數y=的定義域.
2. 比較log0.50.2與log0.50.3的大?。?
3. 函數y=lg(x2-2x)的增區(qū)間是 ____________ .
4. 已知a>0,且a≠1,則在同一直角坐標系中,函數y=a-x和y=loga(-x)的圖像有可能是( ?。?
5. 大西洋鮭魚每年都要逆流而上x
10、xm,游回產地產卵.研究鮭魚的科學家發(fā)現,一歲鮭魚的游速可以表示為函數,單位是m/s,其中Q表示鮭魚的耗氧量.
(1)當一條鮭魚的耗氧量是2700個單位時,它的游速是多少?
(2)計算一條鮭魚的最低耗氧量.
四、拓展延伸
1. 作出對數函數y=logax,(a>1)與y=logax,(0<a<1)的草圖.
2. 說出指數函數與對數函數的關系.
以指數函數y=2x與對數函數y=log2x為代表加以說明.
(1)對數函數y=log2x是把指數函數y=2x中自變量與因變量對調位置而得出的.
教師明晰:當一個函數是一一映射時,可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量,而把這個函數
11、的自變量作為新的函數的因變量.我們稱這兩個函數互為函數.函數y=f(x)的反函數記作:y=f-1(x).
對數函數y=log2x與指數函數y=2x互為反函數.
(2)對數函數y=log2x與指數函數y=2x的圖像關于直線y=x對稱.
(3)指數函數與對數函數對照表.
表12-2
點 評
這篇案例首先通過細胞分裂問題說明了對數函數的意義,這樣安排既有利于學生理解對數函數的概念,又有利于學生了解了它與指數函數的關系.其次通過畫具體的對數函數的圖像,歸納總結出對數函數的性質,體現了由特殊到一般的認識規(guī)律,知識傳授較為自然.性質的列舉模仿了指數函數的性質.通過對比,便于學生理解、記憶.例題、練習的選配注意了題目的代表性,并且由易到難,注重學生解題能力的提高.拓展延伸側重于指數函數與對數函數的圖像、性質方面的關系,加深了學生對這兩個函數的理解,并使學生從中了解了反函數的概念.