12、∠ACB＝(180°－120°)＝30°，
∴S△BCD＝BC·DC×sin∠ACB＝×2×(2－x)×＝(2－x)．
要使四面體體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x.
則V四面體PBCD＝×(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0＜x＜2，故當(dāng)x＝時(shí)，V四面體PBCD的最大值為×3＝.
答案 (1)B (2)
規(guī)律方法 空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解
13、．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．
【訓(xùn)練2】 (1)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )
A. B. C．2π D．4π
(2)(2015·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是________cm3.
解析 (1)繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)底面重合，等體積的圓錐的組合體，如圖所示．每一個(gè)圓錐的底面半徑和高都為，故所求幾何體的體積V＝2××2π×＝.
(
14、2)由三視圖可知該幾何體是由棱長(zhǎng)為2 cm的正方體與底面邊長(zhǎng)為2 cm正方形、高為2 cm的正四棱錐組成．
又正方體的體積V1＝23＝8(cm3)，
正四棱錐的體積V2＝×22×2＝(cm3)．
所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝(cm3)．
答案 (1)B (2)
考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問題(變式遷移)
【例3】 (經(jīng)典母題)(2016·全國(guó)Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是( )
A．4π B. C．6π D.
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
15、
要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.
則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合題意．
球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大．
由2R＝3，即R＝.
故球的最大體積V＝πR3＝π.
答案 B
【變式遷移1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積．
解 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1，
則球O是長(zhǎng)方體ABEC－A1B1E1C1的外接球．
∴體對(duì)角線BC1的
16、長(zhǎng)為球O的直徑．
因此2R＝＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
【變式遷移2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積．
解 如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，
則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，
則球O的體積V球＝πr3＝π×＝.
規(guī)律方法 空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．
(2)若球面上四
17、點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題．
【訓(xùn)練3】 (1)(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為( )
A．π B. C. D.
(2)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________．
解析 (1)如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心．球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝.
18、
∴底面圓半徑r＝＝，
故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝.
(2)如圖，
取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，
因?yàn)镾A＝AC，SB＝BC，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC.
因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC且OA?平面SAC，所以O(shè)A⊥平面SBC.
設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，
所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3，
所以r3＝9?r＝3，所以球O的表面積為4πr2＝36π.
答案 (1)B (2)36π
基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下
19、問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
解析 設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝.
所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺)．
故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)．
答案 B
2．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是( )
20、A．2 B. C. D．3
解析 由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.
答案 D
3．(2017·寧波十校聯(lián)考)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是( )
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
解析 四面體的直觀圖如圖所示．
側(cè)面SAC⊥底面ABC，且△SAC與△ABC均為腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.
設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接SO，BO，則SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC，又BO?平
21、面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝，
故△SAB與△SBC均是邊長(zhǎng)為的正三角形，故該四面體的表面積為2×××＋2××()2＝2＋.
答案 B
4．(2017·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為( )
A．60 B．30 C．20 D．10
解析 由三視圖知可把三棱錐放在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)部，即三棱錐A1－BCD，VA1－BCD＝××3×5×4＝10，故選D.
答案 D
5．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )
A．36π B．6
22、4π C．144π D．256π
解析 因?yàn)椤鰽OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐O－ABC的體積取得最大值．由×R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝144π.
答案 C
6.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N－PAC與三棱錐D－PAC的體積比為( )
A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3
解析 設(shè)點(diǎn)P，N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點(diǎn)P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，則在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.
V三棱錐N－PAC
23、＝V三棱錐P－ABC－V三棱錐N－ABC＝S△ABC·PP′－
S△ABC·NN′＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC·
PP′＝S△ABC·PP′，V三棱錐D－PAC＝V三棱錐P－ACD＝S△ACD·PP′，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故選D.
答案 D
二、填空題
7．(2016·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是______cm3.
解析 由三視圖可知該幾何體由一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，上面正方體的邊長(zhǎng)為2 cm，下面長(zhǎng)方體是底面邊長(zhǎng)為4 cm，高為2 cm，其直
24、觀圖如右圖：其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
答案 80 40
8．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為________．
解析 依題意可知正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，則2R＝＝2，
解得R＝1，所以V＝R3＝.
答案 π
9．(2017·湖州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________；表面積為________．
解析 由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1，高為1的半圓
25、錐拼成的組合體．∴體積V＝π×12×2＋×π×12×1＝π；半圓錐母線l＝，S表＝π×12＋2π×1×2＋π×12＋π×1×＋×2×1＝π＋1.
答案 π π＋1
10．(2018·浙東北教聯(lián)一模)已知等腰直角△ABC中，AB＝AC＝2，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿DE將△ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐A－DECB的外接球的表面積為__________．
解析 因?yàn)椤鰽DE為等腰直角三角形，所以△ADE的外接圓的圓心在DE上，即平面ADE截四棱錐A－DECB的外接球所得的截面圓的圓心在DE上，即在平面DECB內(nèi)，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑即為四棱錐A－DECB的
26、外接球的半徑．以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則易得C(，0)，E，因?yàn)樗倪呅蜠ECB為等腰梯形，所以其外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線上，設(shè)其坐標(biāo)為P(0，y)，則由|PC|＝|PE|得＝，解得y＝－，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑r＝|PC|＝＝，所以四棱錐A－DECB的外接球的表面積為4πr2＝10π.
答案 10π
三、解答題
11．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.
(1)求此幾何體的表面積；
(2)如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑
27、的長(zhǎng)．
解 (1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和．
S圓錐側(cè)＝(2πa)·(a)＝πa2，
S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圓柱底＝πa2，
所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖．
則PQ＝＝＝a，
所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為
a.
12.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的
28、面相交，交線圍成一個(gè)正方形．
(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；
(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．
解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．
(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，
所以其體積的比值為.
能力提升題組
13．(2017·衢州
29、質(zhì)量檢測(cè))如圖，有一個(gè)底面是正方形的直棱柱型容器(無蓋)，底面棱長(zhǎng)為1 dm(dm為分米)，高為5 dm，兩個(gè)小孔在其相對(duì)的兩條側(cè)棱上，且到下底面距離分別為3 dm和4 dm，則(水不外漏情況下)此容器可裝的水最多為( )
A. dm3 B．4 dm3 C. dm3 D．3 dm3
解析 由題意得當(dāng)容器內(nèi)的水的上表面過兩孔連線所在的平面時(shí)，容器內(nèi)裝的水最多，又因?yàn)槿萜鞯牡酌鏋檎叫危瑒t由長(zhǎng)方體的對(duì)稱性易得當(dāng)容器內(nèi)的水的上表面平分以兩孔連線所得的線段為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體時(shí)，容器內(nèi)裝的水最多，此時(shí)容器內(nèi)裝的水的體積為3×1×1＋×1×1×1＝，故選C.
答案 C
14．(2
30、018·麗水月考)一個(gè)空間幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則側(cè)視圖的面積為________cm2，該幾何體的體積為________cm3.
解析 根據(jù)幾何體的三視圖，得：該幾何體的左邊是半圓錐，右邊是直三棱錐的組合體，如圖所示；且該幾何體側(cè)視圖是底邊長(zhǎng)為2，高為1的等腰三角形，面積為×2×1＝1 cm2，該幾何體的體積為V半圓錐＋V三棱錐＝××π×12×1＋××2×1×1＝ cm3.
答案 1?。?
15．(2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA
31、，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．
解析 由題意，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意，OD⊥BC，設(shè)OG＝x，則OB＝2x，BC＝2x，DG＝5－x，三棱錐的高
h＝
＝
＝，S△ABC＝·(2x)2·sin 60°＝3x2，則V＝S△ABC·h＝x2·＝·，令f(x)＝25x4－10x5，x∈，f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，x<2，則f(x)≤f(2)＝80，
32、則V≤×＝4，∴體積最大值為4 cm3.
答案 4
16．四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.
(1)求四面體ABCD的體積；
(2)證明：四邊形EFGH是矩形．
(1)解 由該四面體的三視圖可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
又BD∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，
∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝.
(2)證明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥
33、EH.
同理，EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
又∵AD⊥平面BDC，BC?平面BDC，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴四邊形EFGH是矩形．
17.如圖所示，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，AA1＝AB＝2.
(1)求證：BC⊥平面A1AC；
(2)(一題多解)求三棱錐A1－ABC的體積的最大值．
(1)證明 因?yàn)镃是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，且AB為底面圓的直徑，所以BC⊥AC.
因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以AA1⊥BC.
因?yàn)锳A1∩AC＝A，
34、AA1?平面A1AC，AC?平面A1AC，所以BC⊥平面A1AC.
(2)解 法一 設(shè)AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝
＝(0
（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案 理
