高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)Ⅱ 平面向量綜合測(cè)試題 新人教B版必修4

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1、高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)Ⅱ 平面向量綜合測(cè)試題 新人教B版必修4 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,其中有且僅有一個(gè)是正確的.) 1.下列各式中,不能化簡(jiǎn)為的是(  ) A.(+)+   B.(+)+(+) C.+- D.-+ [答案] C [解析] A中,(+)+=++=; B中,(+)+(+)=++=. C中,+-=++=2+; D中,-+=+=,故選C. 2.設(shè)a、b、c是非零向量,下列命題正確的是(  ) A.(a·b)·c=a·(b·c) B.|a-b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2 C.若|a|

2、=|b|=|a+b|,則a與b的夾角為60° D.若|a|=|b|=|a-b|,則a與b的夾角為60° [答案] D [解析] 對(duì)于A,數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律,A錯(cuò);對(duì)于B,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|·cos+|b|2,B錯(cuò),對(duì)于C、D,由三角形法則知|a|=|b|=|a-b|組成的三角形為正三角形,則=60°,∴D正確. 3.(xx·山東曲阜師范附屬中學(xué)高一模塊測(cè)試)已知一個(gè)扇形的半徑為1,弧長(zhǎng)為4,則該扇形的面積為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 扇形的面積S=lR=×4×1=2

3、. 4.(xx·湖北長(zhǎng)陽(yáng)一中高一月考)下列說(shuō)法正確的是(  ) A.第三象限的角比第二象限的角大 B.若sinα=,則α= C.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 D.不論用角度制還是弧度制度量一個(gè)角,它們與扇形所對(duì)應(yīng)的半徑的大小無(wú)關(guān) [答案] D [解析]?。?20°是第三象限角,120°是第二象限角,而-120°<120,排除A;若sinα=,則α=+2kπ或α=+2kπ(k∈Z),排除B;當(dāng)三角的內(nèi)角等于90°時(shí),它既不是第一象限,也不是第二象限,排除C,故選D. 5.已知△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s的值是(  ) A. B. C.-3 D

4、.0 [答案] D [解析]?。剑?,=-, ∴=--=--, ∴=-, ∴=-,又=r+s, ∴r=,s=-,∴r+s=0,故選D. 6.在△ABC中,D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是△ABC的重心,則+-等于(  ) A.0 B.4 C.4 D.4 [答案] C [解析] 如圖, 由已知得,+=2,又∵M(jìn)為△ABC的重心, ∴|MC|=2|MF|,∴-==2, ∴+-=4. 7.如圖所示,點(diǎn)P在∠AOB的對(duì)角區(qū)域MON內(nèi),且滿足=x+y,則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)可以是(  ) A.(,-) B.(,) C.(-,-) D.(-,) [答

5、案] C [解析] 向量用基底、表示具有惟一性,結(jié)合圖形知x<0,y<0,故選C. 8.(xx·江西九江外國(guó)語(yǔ)高一月考)已知sin(α+75°)=,則cos(α-15°)=(  ) A. B.- C. D.- [答案] C [解析] ∵cos(15°-α)=sin(α+75°)=,∴cos(α-15°)=cos(15°-α)=. 9.函數(shù)f(x)=sin的圖象相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離是(  ) A. B. C. D.2π [答案] B [解析] 函數(shù)y=sin的圖象相鄰的兩個(gè)零 點(diǎn)之間的距離為半個(gè)周期,又T==,∴=. 10.函數(shù)y=cos的一個(gè)對(duì)稱中心為(  )

6、A. B. C. D. [答案] C [解析] y=cos=cos, 令3x-=kπ+(k∈Z),∴x=+(k∈Z). 當(dāng)k=0時(shí),x=,故選C. 11.已知向量=(4,6),=(3,5),且⊥,∥,則向量等于(  ) A.(-,) B.(-,) C.(,-) D.(,-) [答案] D [解析] 設(shè)=(x,y),則=-=(x-4,y-6).∵⊥,∥, ∴,解得.∴=(,-). 12.△ABC為等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M滿足=2,則·=(  ) A.6 B.3 C.15 D.12 [答案] A [解析] 如圖, ∵=2,∴AB=AM=2, 又∵△A

7、BC為等邊三角形, ∴∠BAC=60°,即∠CAM=120°. 又AM=AC,∴∠AMC=∠ACM=30°,∴∠BCM=90°. ∴CM===2. ∴·=||·||cos30°=2×2×=6. 第Ⅱ卷(非選擇題 共90分) 二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每空4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上) 13.已知sinα、cosα是方程2x2-x-m=0的兩根,則m=________. [答案]  [解析] 由題意,得, 解得m=,又m=時(shí)滿足方程2x2-x-m=0有兩根. 14.已知向量a=(1,0),b=(1,1),則 (1)與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為___

8、_____; (2)向量b-3a與向量a夾角的余弦值為________. [答案] (1)(,) (2)- [解析] (1)2a+b=2(1,0)+(1,1)=(3,1),∴與2a+b同向的單位向量為(,). (2)cos〈a,b-3a〉===-. 15.已知函數(shù)f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=,則a的值為________. [答案]  [解析] 由題意,得f(0)=f,即asin0+cos0=asin+cos, ∴a=,∴a=. 16.設(shè)單位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,則|x+2y|=________. [答案]

9、  [解析] 本題考查了向量垂直,坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等.由m⊥b知m·b=0,即2x-y=0?、?,又由m為單位向量,所以|m|=1,即x2+y2=1?、?,由①②聯(lián)立解得或,所以|x+2y|=. 三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟) 17.(本小題滿分12分)(xx·安徽合肥市撮鎮(zhèn)中學(xué)高一月考) (1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14),求證:A、B、C三點(diǎn)共線; (2)已知|a|=2,|b|=3,(a-2b)·(2a+b)=-1,求a與b的夾角. [解析] (1)=(2,3),=(8,12), ∴=4, ∴與共線. 又

10、∵與有公共點(diǎn)A, ∴A、B、C三點(diǎn)共線. (2)設(shè)a與b的夾角為θ, 則(a-2b)·(2a+b)=2a2-3a·b-2b2=2×4-3×2×3×cosθ-2×9=-10-18cosθ=-1, ∴cosθ=-. ∵θ∈[0,π],∴θ=. 18.(本小題滿分12分)已知兩個(gè)非零向量a、b滿足(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),求a與b的夾角的余弦值. [解析] 由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b), 得 即 由①×3+②得a2=b2, ∴|a|2=|b|2,即|a|=|b|. ③ 由①得a·b=b2-2a2=|b|2-2×|b|2

11、 =-b2, ④ 由③④可得cosθ== =-.∴a、b的夾角的余弦值為-. 19.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=Asin(ωx-)+1(A>0,ω>0)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)α∈(0,),f()=2,求α的值. [解析] (1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3, ∴A+1=3,即A=2. ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為, ∴最小正周期T=π,∴ω=2. 故函數(shù)f(x)的解析式為y=2sin(2x-)+1. (2)∵f()=2sin(α-)+1=2, 即sin(α-)=, ∵0<α<,∴-<

12、α-<, ∴α-=,故α=. 20.(本小題滿分12分)已知a=3i-4j,a+b=4i-3j, (1)求向量a、b的夾角; (2)對(duì)非零向量p、q,如果存在不為零的常數(shù)α、β使αp+βq=0,那么稱向量p、q是線性相關(guān)的,否則稱向量p、q是線性無(wú)關(guān)的.向量a、b是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)的?為什么? [解析] (1)b=(a+b)-a=i+j,設(shè)a與b夾角為θ,根據(jù)兩向量夾角公式: cosθ===-. 故夾角θ=π-arccos. (2)設(shè)常數(shù)α,β使得αa+βb=0, 那么?, 所以不存在非零常數(shù)α,β,使得αa+βb=0成立.故a和b線性無(wú)關(guān). 21.(本小題滿分12分

13、)如圖所示,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,求該函數(shù)的解析式. [解析] 由題意知A=3,設(shè)最小正周期為T, 則=-=, ∴T=π,又T=,∴ω=2. ∴函數(shù)解析式為y=3sin(2x+φ). ∵點(diǎn)在圖象上, ∴3=3sin, ∴sin=1. ∴+φ=2kπ+, ∴φ=2kπ-,k∈Z. ∵|φ|≤,∴φ=-. ∴函數(shù)的解析式為y=3sin. 22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=2sin(3ωx+),其中ω>0. (1)若f(x+θ)是周期為2π的偶函數(shù),求ω及θ的值; (2)若f(x)

14、在(0,]上是增函數(shù),求ω的最大值. [解析] (1)由函數(shù)解析式f(x)=2sin(3ωx+),ω>0整理可得f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+]=2sin(3ωx+3ωθ+),由f(x+θ)的周期為2π,根據(jù)周期公式2π=,且ω>0,得ω=,∴f(x+θ)=2sin(x+θ+), ∵f(x+θ)為偶函數(shù),定義域x∈R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+), ∴g(-x)=g(x), 2sin(x+θ+)=2sin(-x+θ+), ∴x+θ+=π-(-x+θ+)+2kπ,k∈Z, ∴θ=kπ+,k∈Z.∴ω=,θ=kπ+,k∈Z. (2)∵ω>0,∴2kπ-≤3ωx+≤+2kπ,k∈Z, ∴-≤x≤+,k∈Z,若f(x)在(0,]上是增函數(shù),∴(0,]為函數(shù)f(x)的增區(qū)間的子區(qū)間,∴≥,∴ω≤,∴ωmax=.

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