2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學(xué)案 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學(xué)案 文 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1:圓的方程 2018全國卷ⅡT20;2017全國卷ⅢT20 1.高考中對(duì)此部分內(nèi)部的考查以“一小”或“一大”的形式呈現(xiàn). 2.重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系,圓的方程常與圓錐曲線交匯命題. 題型2:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 2018全國卷ⅠT15;2018全國卷ⅢT8;2017全國卷ⅢT11 2016全國卷ⅠT15;2016全國卷ⅡT6;2016全國卷ⅢT15 2015全國卷ⅠT20;2014全國卷ⅠT20;2014全國卷ⅡT12 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程 當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2. 2.圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以為圓心,為半徑的圓. ■高考考法示例· 【例1】 (1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2)∪  B. C.(-2,0) D. (2)(2018·廈門模擬)圓C與x軸相切于T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B,且|AB|=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) A.(x-1)2+(y-)2=2 B.(

3、x-1)2+(y-2)2=2 C.(x+1)2+(y+)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 (3)(2018·黃山模擬)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2,則圓C的方程為________. (1)D (2)A (3)x2+2= [(1)方程可化為2+(y+a)2=1-a-,由題意知1-a->0,解得-2<a<,故選D. (2)由題意得,圓C的半徑為=,圓心坐標(biāo)為(1,),∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-)2=2,故選A. (3)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱,所以圓C的圓心C在y軸上, 可設(shè)C(0,b), 設(shè)圓C的半徑為r, 則

4、圓C的方程為x2+(y-b)2=r2. 依題意,得解得 所以圓C的方程為x2+=.] [方法歸納] 求圓的方程的兩種方法 1.幾何法,通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程. 2.代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1.(2018·青島模擬)與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(  ) A.(x+2)2+(y-2)2=2 B.(x-2)2+(y+2)2=2 C.(x+2)2+(y+2)2=2 D.(x-2)2+(y-2)2=2 D [由題意

5、知,曲線為(x-6)2+(y-6)2=18,過圓心(6,6)作直線x+y-2=0的垂線,垂線方程為y=x,則所求的最小圓的圓心必在直線y=x上,又(6,6)到直線x+y-2=0的距離d==5,故最小圓的半徑為,圓心坐標(biāo)為(2,2),所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2.] 2.一束光線從圓C的圓心C(-1,1)出發(fā),經(jīng)x軸反射到圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程剛好是圓C的直徑,則圓C的方程為(  ) A.(x+1)2+(y-1)2=4 B.(x+1)2+(y-1)2=5 C.(x+1)2+(y-1)2=16 D.(x+1)2+(y-1)2=25 A [圓C

6、1的圓心C1的坐標(biāo)為(2,3),半徑為r1=1.點(diǎn)C(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(-1,-1).因?yàn)镃′在反射線上,所以最短路程為|C′C1|-r1,即-1=4.故圓C的半徑為r=×4=2,所以圓C的方程為(x+1)2+(y-1)2=4,故選A.] 題型2 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1.直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法 直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)與圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系如表. 方法 位置 關(guān)系  幾何法:根據(jù)d=與r的大小關(guān)系 代數(shù)法: 消元得一元二次方程,根據(jù) 判別式Δ的符號(hào)判斷 相交

7、 d<r Δ>0 相切 d=r Δ=0 相離 d>r Δ<0 2.弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法 (1)弦長(zhǎng)的計(jì)算:直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=2(其中d為弦心距). (2)切線長(zhǎng)的計(jì)算:過點(diǎn)P向圓引切線PA,則|PA|=(其中C為圓心). 3.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,|O1O2|=d,則 (1)d>r1+r2?兩圓外離?4條公切線; (2)d=r1+r2?兩圓外切?3條公切線; (3)|r1-r2|<d<r1+r2?兩圓相交?2條公切線; (4)d=|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切?1條公切線; (5

8、)0<d<|r1-r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含?無公切線. ■高考考法示例· 【例2】 (2016·全國卷Ⅲ)已知直線l:x-y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),則|CD|=________. [思路點(diǎn)撥]  法一:→→→→ 法二:→→ 4 [法一:作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解. 如圖所示,∵直線AB的方程為x-y+6=0, ∴kAB=,∴∠BPD=30°, 從而∠BDP=60°. 在Rt△BOD中, ∵|OB|=2,∴|OD|=2. 取AB的中點(diǎn)H,連接OH,則OH⊥AB, ∴OH為直角梯形ABDC的

9、中位線, ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4. 法二:∵圓心O(0,0)到直線x-y+6=0的距離為d==3, ∴|AB|=2=2. 如圖②所示,過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E. ∵直線l的斜率為, ∴∠ECD=30°, ∴|CD|====4.] (2)(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. ①求l的方程; ②求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. [思路點(diǎn)撥]?、佟? ②→→ [解] ①由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x

10、1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. ②由①得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為 (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. [方法歸納]  1.解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的指導(dǎo)思想 討論

11、直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量. 2.求圓中有關(guān)距離的常用方法 圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題;圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題. (教師備選) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓被直線x-y+4=0截得的弦長(zhǎng)為2. (1)求圓O的方程; (2)若斜率為2的直線l與圓O相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)D(-1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,求直線l在y軸上的截距的取值范圍. [解] 

12、(1)設(shè)x2+y2=r2,圓心(0,0)到直線x-y+4=0的距離d=2,又因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2,所以r==,圓O的方程為x2+y2=7. (2)設(shè)斜率為2的直線l的方程為y=2x+b, 與圓相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由得5x2+4bx+b2-7=0, 則 已知點(diǎn)D(-1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,所以·<0,即·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=5x1x2+(2b+1)(x1+x2)+b2+1=--6<0,解得-3<b<5,滿足Δ>0. 所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(-3,5). ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1.(2018·福州模擬)直

13、線x+y=a與圓x2+y2=a2+(a-1)2相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),若△AOB是正三角形,則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.1   B.-1   C.   D.- C [由題意得,直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑,圓的圓心坐標(biāo)O(0,0),設(shè)圓半徑為r,圓心到直線的距離為d,則d==,由條件得2=r,整理得4d2=3r2. 所以6a2=3a2+3(a-1)2,解得a=.選C.] 2.(2018·徐州模擬)如圖2-5-1,已知圓心坐標(biāo)為M(,1)的圓M與x軸及直線y=x均相切,切點(diǎn)分別為A,B,另一圓N與圓M相切,且與x軸及直線y=x均相切,切點(diǎn)分別為C,D. 圖2-5-1 (1)

14、求圓M與圓N的方程; (2)過點(diǎn)B作MN的平行線l,求直線l被圓N截得的弦長(zhǎng). [解] (1)由于圓M與∠BOA的兩邊相切,故M到OA,OB的距離相等,則M在∠BOA的平分線上,同理,N也在∠BOA的平分線上,即O,M,N三點(diǎn)共線,且直線ON為∠BOA的平分線,因?yàn)镸(,1),所以M到x軸的距離為1,即圓M的半徑為1,所以圓M的方程為(x-)2+(y-1)2=1. 設(shè)圓N的半徑為r,連接AM,CN,如圖所示,則Rt△OAM∽R(shí)t△OCN,得=,即=,解得r=3,OC=3,所以圓N的方程為(x-3)2+(y-3)2=9. (2)由對(duì)稱性可知,所求弦長(zhǎng)為過點(diǎn)A的MN的平行線被圓N截得的

15、弦長(zhǎng),此弦所在直線的方程為y=(x-),即x-y-=0,圓心N到該直線的距離d==,故弦長(zhǎng)為2=. 1.(2016·全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.-         B.- C.     D.2 A [將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解. 圓x2+y2-2x-8y+13=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-4)2=4,由圓心到直線ax+y-1=0的距離為1可知=1,解得a=-,故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)

16、2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] A [由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0),半徑r=,圓心到直線x+y+2=0的距離d==2,所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d+r=3,最小距離是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S△ABP≤6.故選A.] 3.(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是(  ) A.[-1,1] B. C.[-,] D. A [如圖,過點(diǎn)M作⊙O的切線,切點(diǎn)為N

17、,連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,MN與⊙O相切于點(diǎn)N. 設(shè)∠OMN=θ,則θ≥45°,即sin θ≥,即≥. 而ON=1,∴OM≤. ∵M(jìn)為(x0,1), ∴≤, ∴x≤1, ∴-1≤x0≤1, ∴x0的取值范圍為[-1,1].] 4.(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓+=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 2+y2= [由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),由圓心在x軸的正半軸上知該圓過上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn). 由題意知a=4,b=2,上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,-2),右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2),(0,-2),(4,0)三點(diǎn).設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-m)2+y2=r2(00),則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+y2=.] 5.(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為________. 4π [圓C:x2+y2-2ay-2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C:x2+(y-a)2=a2+2, 所以圓心C(0,a),半徑r=.|AB|=2,點(diǎn)C到直線y=x+2a即x-y+2a=0的距離d=,由勾股定理得2+2=a2+2,解得a2=2, 所以r=2,所以圓C的面積為π×22=4π.]

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