2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 范例典悟：直接證明與間接證明

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 范例典悟：直接證明與間接證明 例1 已知、、，求證：。 例2 當(dāng)一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大。 例3 已知三個關(guān)于的方程，，中，至少有一個方程有實根，求實數(shù)的取值范圍。 參考答案 例1： 分析：不等式中的、、為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數(shù)的平均數(shù)定理，再據(jù)不等式性質(zhì)推導(dǎo)出證明的結(jié)論。 證明：∵，、、，∴， ∴，∴。 同理：， 將三式相加得。 ∴ 。 ∴。 評注：在運(yùn)用綜合法證明不等式時，常利用不等式

2、的基本性質(zhì)，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運(yùn)用這些性質(zhì)時，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件。 例2： 分析：應(yīng)用分析法證題時，語氣總是假定的，通常用“欲證只需證”的語句，在證明過程中一個終結(jié)代替另一個終結(jié)時，必須注意它們間的等價性。 證明：設(shè)圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為，因此本題只需證明。 為了證明成立，只需證明， 兩邊同乘以正數(shù)得，因此，只需證明。 因為上式是成立的，所以。 這就證明了，如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么這個圓的面積比這個正方形的面積大。 評注：在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實。因此，從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個倒推過程可以省略。 例3： 分析：含有至多、至少字樣的問題，往往用反證法去解決。 解析：三個方程都沒有實根的充要條件是 即 解得。 ∴使三個方程至少有一個方程有實根的實數(shù)的取值范圍為。 評注：反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若則為真”，該證“若則為假”，因此，反證法的核心是從出發(fā)導(dǎo)出矛盾。