2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程1 圓的方程學(xué)案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程1 圓的方程學(xué)案 蘇教版必修2 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 圓的方程 1. 了解圓的一般方程的特點(diǎn)，會(huì)由一般方程求圓心和半徑； 2. 會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用圓的一般方程、標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題 選擇題 填空題 解答題 注意用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解和對(duì)待定系數(shù)法的加強(qiáng)運(yùn)用 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程及其應(yīng)用。 難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題；二元二次方程同圓的一般式的關(guān)系。 考點(diǎn)

2、一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 以C（a，b）為圓心，r（r＞0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2。 2. 以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2。 【注意】 能根據(jù)圓心的坐標(biāo)和圓的半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑。此外利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也可較容易地反映點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。 考點(diǎn)二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)如下： 位置關(guān)系 點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓內(nèi) d與r的大小關(guān)系 d＞r d＝r d＜r 【規(guī)律總結(jié)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法 （1）幾何

3、法：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小判斷； （2）代數(shù)法：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系判斷： ①已知點(diǎn)，圓的方程，則有: 點(diǎn)在圓外； 點(diǎn)在圓上； 點(diǎn)在圓內(nèi)。 ②已知點(diǎn)，圓的方程，則有: 點(diǎn)在圓外； 點(diǎn)在圓上； 點(diǎn)在圓內(nèi)。 考點(diǎn)三：圓的一般方程 1. 圓的一般方程的定義 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，稱(chēng)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0為圓的一般方程，圓心為（－，－），半徑為。 2. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形 方程的條件 方程的解 的情況 圖形 D2＋E2－4F<0 沒(méi)有實(shí)數(shù)解 不表示任何圖形 D2＋E2－4F＝0 只有一

4、個(gè)實(shí)數(shù)解 表示一個(gè)點(diǎn)（－，－） D2＋E2－4F>0 有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解 表示以（－，－）為圓心，以為半徑的圓 【要點(diǎn)詮釋】 （1）圓的一般方程的形式特點(diǎn)： ① 、的系數(shù)相同且不為零； ② 不含項(xiàng)。 （2）形如的方程表示圓的條件： ① ；② ；③ 即。 例題1 （求圓的方程） （1）求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A（2，－3），B（－2，－5）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）求過(guò)三點(diǎn)O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。 思路分析：（1）解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑，再寫(xiě)方程，也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解。

5、 （2）設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解方程，并寫(xiě)出半徑和圓心坐標(biāo)即可。 答案：（1）方法一　設(shè)點(diǎn)C為圓心， ∵點(diǎn)C在直線l：x－2y－3＝0上， ∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a＋3，a）， 又∵該圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|， ∴，解得a＝－2， ∴圓心坐標(biāo)為C（－1，－2），半徑r＝， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。 方法二　設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x－a）2＋（y－b）2＝r2， 由條件知，解得 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。 方法三　線段AB的中點(diǎn)為（0，－4），kAB＝＝， 所以弦AB的垂直平分線的斜率

6、k＝－2， 所以線段AB的垂直平分線的方程為：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4。 故圓心是直線y＝－2x－4與直線x－2y－3＝0的交點(diǎn)，由，得， 即圓心為（－1，－2），圓的半徑為r＝， 所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y＋2）2＝10。 （2）設(shè)圓的一般式方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。（*） 由題意可知點(diǎn)O（0，0），M（1，1），N（4，2）滿(mǎn)足（*）式 故，解得 所以，所求圓的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0。 圓心坐標(biāo)是（4，－3），半徑r＝＝5。 技巧點(diǎn)撥： （1）對(duì)于由已知條件易求圓心坐標(biāo)和半徑，或需要用圓心坐標(biāo)和半徑列方程的問(wèn)題，往往設(shè)出圓

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解。由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有a、b、r三個(gè)參數(shù)，所以必須具備三個(gè)獨(dú)立條件，才能求出一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求圓的方程，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組求a，b，r。一般步驟如下： （2）一般地，由題意知道所求的圓經(jīng)過(guò)幾點(diǎn)且不易得出圓心和半徑時(shí)，常選用一般式。 而圓的一般式方程中也含有三個(gè)未知參數(shù)，故求解時(shí)，也需要三個(gè)獨(dú)立的條件。 1. （泰州檢測(cè)）以線段AB：x＋y－2＝0（0≤x≤2）為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________。 思路分析：∵AB：x＋y－2＝0（0≤x≤2） ∴A（0，2），B（2，0），AB＝＝2。 ∴點(diǎn)A、

8、B的中點(diǎn)為（1，1）， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2。 答案：（x－1）2＋（y－1）2＝2 2.（遼寧高考）已知圓C經(jīng)過(guò)A（5，1）、B（1，3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為_(kāi)_______。 思路分析：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），易知＝， 解得a＝2， ∴圓心為（2，0），半徑為， ∴圓C的方程為（x－2）2＋y2＝10。 答案：（x－2）2＋y2＝10 例題2 （圓的方程的實(shí)際應(yīng)用） （無(wú)錫檢測(cè)）有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍。已知A、B兩地

9、相距10 km，顧客選A或B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低。求A、B兩地售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn)。 思路分析：解答本題可先根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再?gòu)膬r(jià)格和運(yùn)費(fèi)入手構(gòu)建等式或不等式關(guān)系，用坐標(biāo)法求解。 答案：如圖所示，以A、B所確定的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（－5，0），B（5，0）， 設(shè)某地P的坐標(biāo)為（x，y）。 且P地居民選擇A地購(gòu)買(mǎi)商品便宜， 并設(shè)A地運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地運(yùn)費(fèi)為a元/km， 價(jià)格＋QA地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格＋QB地運(yùn)費(fèi)， ∴3a

10、≤a。 ∵a>0，∴3≤， 兩邊平方得9（x＋5）2＋9y2≤（x－5）2＋y2， 即（x＋）2＋y2≤（）2。 ∴以點(diǎn)C（－，0）為圓心，為半徑的圓是這兩地售貨區(qū)域的分界線。 圓C內(nèi)的居民從A地購(gòu)貨便宜；圓C外的居民從B地購(gòu)貨便宜；圓C上的居民從A、B兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等，可隨意從A、B兩地之一購(gòu)貨。 技巧點(diǎn)撥： 1. 本題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)解決，這種解決有關(guān)幾何問(wèn)題的方法叫作“解析法”。明確題意，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。 2. 用解析法解決圓的方程實(shí)際問(wèn)題的步驟： 　 求圓的標(biāo)準(zhǔn)

11、方程時(shí)以“形”代“數(shù)”致誤 例題 已知某圓圓心在x軸上，半徑為5，且截y軸所得線段長(zhǎng)為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 【錯(cuò)解】　如圖，由題設(shè)知|AB|＝8，|AC|＝5。 在Rt△AOC中， |OC|＝＝＝3。 ∴C點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），∴所求圓的方程為（x－3）2＋y2＝25。 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解在求解過(guò)程中，只畫(huà)出了圓心在x軸正半軸時(shí)的圖形，而沒(méi)有畫(huà)出圓心在x軸負(fù)半軸的情況，從而產(chǎn)生漏解。 【防范措施】　借助圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究問(wèn)題，就應(yīng)考慮到幾何圖形的各種情況，以上方法的錯(cuò)誤就是考慮問(wèn)題不全面所致。 【正解】　由題意設(shè)|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4。 在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3， 如圖所示， 所以圓心坐標(biāo)為（3，0）或（－3，0）。所以所求圓的方程為（x±3）2＋y2＝25。