九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用： 1．為線段、角的計(jì)算提供新的途徑． 解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限． 2．解實(shí)際問題． 測(cè)量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實(shí)際問題，許多問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解，解決問題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把實(shí)際問題抽象為幾何圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形． 【例題求解】 【例1】 如圖，已知電線桿AB直立于地面上

2、，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝()m，則電線桿AB的長(zhǎng)為 ． 思路點(diǎn)撥 延長(zhǎng)AD交BC于E，作DF⊥BC于F，為解直角三角形創(chuàng)造條件． 【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，∠B=135°，∠C＝90°，則∠D等于( ) A．60° B．67．5° C．75° D．無法確定 思路點(diǎn)撥 通過對(duì)內(nèi)分割或向外補(bǔ)形，構(gòu)造直角三角形．

3、 注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系，故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請(qǐng)記?。河行庇孟?，無斜用切，寧乘勿除． 在沒有直角的條件下，常通過作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個(gè)直角三角形組合而成的問題時(shí)，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解． 【例3】 如圖，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D為BC邊上一點(diǎn)，tan∠ADC是方程的一個(gè)較大的根?求CD的長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥 解方程求出 tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，為解Rt△ADC創(chuàng)造條件． 【例

4、4】 如圖，自卸車車廂的一個(gè)側(cè)面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米 ，車廂底部距離地面1．2米，卸貨時(shí)，車廂傾斜的角度θ=60°．問此時(shí)車廂的最高點(diǎn)A距離地面多少米?(精確到1米) 思路點(diǎn)撥 作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開空間想象，就能得到不同的解題尋路 【例5】 如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽光線與水平面的夾角為30°，此時(shí)，求： (1)如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高? (2)如果

5、甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米? 思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長(zhǎng)度就是甲樓的影子在乙樓上的高；(2)設(shè)點(diǎn)A的影子落在地面上某一點(diǎn)C，求BC即可． 注：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題后，不能只滿足求出問題的答案，同時(shí)還應(yīng)對(duì)解題過程進(jìn)行多方面分析和考察，思考一下有沒有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點(diǎn)與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡(jiǎn)捷，從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等． 若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習(xí)慣，則

6、可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，則AB的長(zhǎng)為 ． 2．如圖，在矩形ABCD中．E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若tan∠AEH =，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為40cm，則矩形ABCD的面積為 ． 3．如圖，旗桿AB，在C

7、處測(cè)得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進(jìn)10m，達(dá)到D，在D處測(cè)得A的仰角為45°，則旗桿的高為 ． 4．上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A、B兩處分別測(cè)得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為( ) A．20海里 B．20海里 C．海里 D． 5．已知a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若關(guān)于的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，則△ABC

8、的形狀為( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是( ) A． B． C． 4 D．6 7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，且tanA—tanB=2，求、的值． 8．如

9、圖，某電信部門計(jì)劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，測(cè)量人員在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測(cè)得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，則電纜BC至少長(zhǎng)多少米?(精確到0.1米) 9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，則= ． 10．如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)．M是AD上異于D的點(diǎn)，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM＝ ． 11．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面積為

10、l，若∠B是銳角，則∠C的度數(shù)是 ． 12．已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)為 a、b、c，且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個(gè)底角是( ) A． 15° B．30° C．45° D．60° 13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，則∠1和∠2的大小關(guān)系是( ) A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1＝∠2

11、D．無法確定 14．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥AF，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，EF交AB于點(diǎn)G． (1)求證：DF×FC＝BG×EC； (2)當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，△AEF的面積為10，問當(dāng)tan∠DAF=時(shí)，△AEF的面積是多少? 15．在一個(gè)三角形中，有一邊邊長(zhǎng)為16，這條邊上的中線和高線長(zhǎng)度分別為10和9，求三角形中此邊所對(duì)的角的正切值． 16．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害

12、，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米／時(shí)的速度沿北偏東30°方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響． (1)該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說明理由． (2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)? (3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?

13、 17．如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶．該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測(cè)得，從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H．可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角器． (1)請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面高度HG的方案．具體要求如下： ①測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少； ②在所給圖形上，畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測(cè)A、D間距離，用m表示；如果測(cè)D、C間距離，用n表示；如果測(cè)角，用α、β、γ等表示．測(cè)角器高度不計(jì))． (2)根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度HG(用字母表示)． 參考答案