2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)講義 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質，能利用二次函數(shù)、二次方程與二次不等式之間的關系解決簡單問題．(重點、難點) 2.掌握冪函數(shù)的圖象和性質，結合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況．(重點) [考向預測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點內(nèi)容．預測2020年高考對二次函數(shù)可能會直接考查，也可能會與其他知識相結合進行考查，考查三個二次之間的關系、函數(shù)最值的求解、圖象的判斷等．在解答題中也可能會涉及二次函數(shù)．冪函數(shù)的考查常與其他

2、知識結合，比較大小、圖象及性質的應用為重點命題方向. 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 R R 續(xù)表 2．冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)． (2)常見的5種冪函數(shù)的圖象

3、 (3)常見的5種冪函數(shù)的性質 1．概念辨析 (1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　) (2)當α<0時，冪函數(shù)y＝xα是定義域上的減函數(shù)．(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．(　　) (4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大?。?　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)若a<0，則0.5a,5a,0.2a的大小關系是(　　) A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a C．0.5a<0

4、.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a 答案　B 解析　因為a<0，所以函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又因為0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a. (2)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(2，)，則函數(shù)的解析式為________． 答案　f(x)＝x 解析　設f(x)＝xα，因為函數(shù)f(x)的圖象過點(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x. (3)若二次函數(shù)y＝－2x2－4x＋t的圖象的頂點在x軸上，則t的值是________． 答案?。? 解析　y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[

5、(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t. 因為此函數(shù)的圖象的頂點(－1,2＋t)在x軸上，所以2＋t＝0，所以t＝－2. (4)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________． 答案　[－3,1] 解析　因為f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上單調遞增，在[1,3]上單調遞減，又因為f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函數(shù)f(x)的值域為[－3,1]． 題型 　冪函數(shù)的圖象與性質 1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則f(2)－f(1)＝(　　) A．3 B．1－ C.－1

6、D．1 答案　C 解析　設f(x)＝xα，因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(9,3)，所以3＝9α，解得α＝.所以f(x)＝x.所以f(2)－f(1)＝－1. 2．若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是(　　) A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>d C．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c 答案　B 解析　觀察圖象聯(lián)想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限內(nèi)的圖象，可知c<0，d<0,02d，所以c>d. 綜上知a>b>c>d. 3．若(2m＋1) >(m2＋m－1)

7、，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C．(－1,2) D. 答案　D 解析　因為函數(shù)y＝x在[0，＋∞)是增函數(shù)， 且(2m＋1) >(m2＋m－1) ， 所以解得≤m<2. 1．求冪函數(shù)的解析式 冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式． 2．冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關系 當α≠0,1時，冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象特征： α取值 α>1 0<α<1 α<0 圖象 特殊點 過點(0,0)，(1,1) 過點(0,0)，(1,1) 過點(1,1) 凹凸性 下凸 上

8、凸 下凸 單調性 遞增 遞增 遞減 舉例 y＝x2 y＝x y＝x－1， y＝x－ 3．冪函數(shù)單調性的應用 在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．當x∈(0，＋∞)時，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)·x－5m－3為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．－2 B．1 C．1或－2 D．m≠ 答案　B 解析　由題意得解得m＝1. 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) A．b

9、

10、＝＝. ∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8， ∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1， 解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三：(利用兩根式) 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值8， ∴＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 條件探究1　將舉例說明中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改為“與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(－2,0

11、)”，其他條件不變，如何求解？ 解　設f(x)＝ax(x＋2)． 因為函數(shù)f(x)的最大值為8， 所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8， 所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 條件探究2　將舉例說明中條件變?yōu)椋憾魏瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，在x軸上截得的線段長為2，且對?x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，試確定f(x)的解析式． 解　因為f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， 所以f(x)的對稱軸為x＝2. 又因為f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2， 所以f(x)＝0的兩根為1和3. 設f(x)的解析式為f(

12、x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又因為f(x)的圖象過點(4,3)，所以3a＝3，a＝1. 所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 求二次函數(shù)解析式的方法 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足①不等式f(x)＋2x>0的解集為{x|10的解集為(1,3)， 設f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)

13、－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. 由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0. 因為方程有兩個相等的實數(shù)根， 所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0， 解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1. 所以f(x)＝－x2－x－. 題型 　二次函數(shù)的圖象與性質 角度1　二次函數(shù)的圖象 1．(2019·重慶五中模擬)一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是(　　) 答案　C 解析　若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為

14、減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側，故排除B，選C. 角度2　二次函數(shù)的單調性 2．(2019·河南中原名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)， 當a≠0時，a須滿足 解得0

15、角度3　二次函數(shù)的最值 3．(2018·浙江杭州模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內(nèi)的最大值為－5，則a的值為(　　) A. B．1或 C．－1或 D．－5或 答案　D 解析　f(x)＝－42－4a，對稱軸為直線x＝. ①當≥1，即a≥2時，f(x)在[0,1]上遞增， ∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)． ②當0<<1，即0

16、得a＝－5或a＝1(舍去)． 綜上所述，a＝或－5.故選D. 角度4　與二次函數(shù)有關的恒成立問題 4．(1)(2018·武邑調研)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－) B．(－，0) C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) (2)當x∈(1,3)時，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________． 答案　(1)A　(2)(－∞，－5] 解析　(1)當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x

17、3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，結合f(－4t)>f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，知－4t>2m＋mt2對任意實數(shù)t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0對任意實數(shù)t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)． (2)設f(x)＝x2＋mx＋4. 因為x∈(1,3)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立， 所以即 解得m≤－5， 所以m的取值范圍是(－∞，－5]． 1．識別二次函數(shù)圖象應學會“三看” 2．研究二次函數(shù)單調性的思路 (1)二次函數(shù)的單調性在其圖象對稱軸的兩側不同，因此研究二次函數(shù)的單調性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論． (2)若已知f(x)＝ax2＋

18、bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調遞減(單調遞增)，則A?，即區(qū)間A一定在函數(shù)圖象對稱軸的左側(右側)．如舉例說明2. 3．二次函數(shù)最值問題的解法 抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成．如舉例說明3. 4．與二次函數(shù)有關的不等式恒成立的條件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是如舉例說明4(1)． (3)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. (4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(

19、a>0)在(m，n)上恒成立?如舉例說明4(2)． (5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立?　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2019·鄭州模擬)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是(　　) 答案　A 解析　當01時，y＝logax為增函數(shù)，y＝(a－1)x2－x開口向上，其對稱軸為x＝>0，排除B.故選A. 2．(2018·四川成都七中模擬)函數(shù)f(x)＝ 的單調

20、遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．[4，＋∞) 答案　D 解析　由x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2， 令x2－2x－8＝t，則y＝為增函數(shù)， ∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增區(qū)間是所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間， ∴所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[4，＋∞)． 3．(2019·陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,2] C．[－1,2] D．[2,5] 答案　C 解析　∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴當x＝2時，f(2)＝4， 由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1， ∴要使函數(shù)在[m,5]上的值域是[－5,4]，則－1≤m≤2. 4．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案　 解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立． 當x＝0時，－3<0，成立； 當x≠0時，a<2－， 因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 當x＝1時，右邊取最小值，∴a<. 綜上，實數(shù)a的取值范圍是.