《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問(wèn)題 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問(wèn)題 文(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問(wèn)題 文
一、選擇題
1.(2018·昆明模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2,則a3+a8的值是( )
A.200 B.100 C.20 D.10
C [當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,所以an=2n-1,所以a3+a8=5+15=20,故選C.]
2.+++…+的值為( )
A. B.-
C.- D.-+
C [∵===-,∴+++…+=1-+-+-+…+-
==-.]
3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=,若a1=,
2、則a2 018=( )
A.-1 B. C.1 D.2
D [由a1=,an+1=,得a2==2,a3==-1,a4==,a5==2,…因此數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,a2 018=a3×672+2=a2=2,故選D.]
4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對(duì)于任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則S10=( )
A.91 B.90 C.55 D.54
A [由Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2,
即an+1-an=2(n≥2),又a2-a1=1,
因此
3、數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,是公差為2的等差數(shù)列,
則S10=a1+(a2+a3+…+a10)=1+9×2+×2=91.]
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C [法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由公式Sn=na1+d=na1+,
得
由①得a1=,代入②可得m=5.
法二:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn,
∴數(shù)列也為等差數(shù)列.
∴+=,即+
4、=0,解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.]
6.(2018·廈門(mén)模擬)已知函數(shù)f(n)=,且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a2 018等于( )
A.-2 017 B.-2 018 C.2 017 D.2 018
D [當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=n2-(n+1)2=-2n-1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=-n2+(n+1)2=2n+1,所以a1=-3,a2=5,a3=-7,a4=9…,故a1+a2=2,a3+a4=2…,所以a1+a2+a3+…+a2 018=2×=2 018,故選D.]
7.(2018·河南百校聯(lián)盟模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=1,
5、a2=2,2a=a+a(n≥2),bn=,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則S33的值是( )
A. B. C.4 D.3
D [∵2a=a+a(n≥2),∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為22-1=3.
∴a=1+3(n-1)=3n-2,∵an>0,∴an=,
∴bn===(-),故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=
=(-1),則S33=(-1)=3.故選D.]
8.(2018·南陽(yáng)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=+++…+(n∈N*),若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則使Tn>100成立的最小正整數(shù)n為( )
A.9
6、 B.10 C.11 D.12
C [因?yàn)椋剑?,所以an=2=,該數(shù)列的前n項(xiàng)積為T(mén)n=2n=,由題意知<100,<100,>100,使Tn>100成立的最小正整數(shù)n為11,故選C.]
二、填空題
9.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn+2=3an(n∈N*),則an=________.
2×3n-1(n∈N*) [因?yàn)?Sn+2=3an,①
所以2Sn+1+2=3an+1,②
由②-①,得2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,
所以2an+1=3an+1-3an,即=3.
當(dāng)n=1時(shí),2+2S1=3a1,所以a1=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)
7、為2,公比為3的等比數(shù)列,
所以an=2×3n-1(n∈N*).]
10.(2018·晉城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且Sn+1+Sn=2an+1,且a1=1,則an=________.
an= [因?yàn)镾n+1+Sn=2an+1,①,所以Sn+Sn-1=2an,②,①-②得an+1+an=2an+1-2an,(n≥2),即=3,當(dāng)n=1時(shí),(a1+a2)+a1=2a2.解得a2=2,∴an=]
11.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn=________.
n·2n(n∈N*) [由Sn=2an-2n得當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2
8、(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,則=n,Sn=n·2n(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*).]
12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.
[令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n2-1,===,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為++…+==.]
三、解答題
13.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b
9、n=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.
[解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
由題意有解得
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)由(1)知,bn=.
當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤<2,bn=1;
當(dāng)n=4,5時(shí),2≤<3,bn=2;
當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤<4,bn=3;
當(dāng)n=9,10時(shí),4≤<5,bn=4.
所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.
14.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:≤Tn<.
[解] (1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5=5a3,
∴a3=14,
又a2,a7, a22成等比數(shù)列,所以a=a2·a22.
所以(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)且d≠0,
解得a1=d,∴a1=6,d=4.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n+2,n∈N*.
(2)由(1)得Sn==2n2+4n,==,
∴Tn=
=-.
又Tn≥T1=-=,
所以≤Tn<.