2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)2 解三角形 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)2 解三角形 文 一、選擇題 1.(2018·天津模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若AB=,a=3,∠C=120°,則AC等于(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 A [由余弦定理得13=AC2+9-6ACcos 120° 即AC2+3AC-4=0 解得AC=1或AC=-4(舍去).故選A.] 2. (2018·合肥模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,則△ABC的外接圓的面積為(  ) A.4π B.8

2、π C.9π D.36π C [由bcos A+acos B=2,得+=2 化簡(jiǎn)得c=2,又sin C=,則△ABC的外接圓的半徑R==3,從而△ABC的外接圓面積為9π,故選C.] 3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積(  ) A.3 B. C. D.3 C [因?yàn)閏2=(a-b)2+6,C=,所以由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos,即-2ab+6=-ab,ab=6,因此△ABC的面積為absin C=3×=,選C.] 4.如圖2-1-6,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高

3、,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45°,則塔AB的高為(  ) 圖2-1-6 A.10米 B.10米 C.10米 D.10米 D [在△BCD中,∠DBC=180°-105°-45°=30°, 由正弦定理得=,解得BC=10. 在△ABC中,AB=BCtan∠ACB=10×tan 60°=10.] 5.(2018·長(zhǎng)沙模擬)在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,已知三個(gè)向量m=,n=,p=共線,則△ABC的形狀為(  ) A.等邊三角形 B.等腰三角形

4、 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 A [由m∥n得acos=bcos,即sin Acos =sin Bcos 化簡(jiǎn)得sin=sin,從而A=B,同理由m∥p得A=C,因此△ABC為等邊三角形.] 6.如圖2-1-7,在△ABC中,C=,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足.若DE=2,則cos A=(  ) 圖2-1-7 A. B. C. D. C [∵DE=2,∴BD=AD==.∵∠BDC=2∠A,在△BCD中,由正弦定理得=,∴=×=,∴cos A=,故選C.] 7.為測(cè)出所住小區(qū)的面積,某人進(jìn)行了一些測(cè)量工作,所得數(shù)據(jù)如圖2-1-8

5、所示,則小區(qū)的面積為(  ) 圖2-1-8 A. km2 B. km2 C. km2 D. km2 D [如圖,連接AC,根據(jù)余弦定理可得AC=,故△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,∠BAC=30°,從而△ADC為等腰三角形,且∠ADC=150°,設(shè)AD=DC=x,根據(jù)余弦定理得x2+x2+x2=3,即x2==3(2-).所以所求小區(qū)的面積為×1×+×3(2-)×==(km2).] 8.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB邊上不同于A,B的任意一點(diǎn),CD=,△BCD的面積為1,則AC的長(zhǎng)為(  ) A.2 B. C. D. D 

6、[由S△BCD=1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos∠DCB=或cos∠DCB=-,又∠DCB<∠ACB=180°-A-B=120°-B<120°,所以cos∠DCB>-,所以cos∠DCB=.在△BCD中,cos∠DCB==,解得BD=2,所以cos∠DBC==,所以sin∠DBC=.在△ABC中,由正弦定理可得AC==,故選D.] 二、填空題 9.如圖2-1-9,為了估測(cè)某塔的高度,在同一水平面的A,B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量,在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°.若A,B兩點(diǎn)相距130

7、 m,則塔的高度CD=________m. 圖2-1-9 10 [分析題意可知,設(shè)CD=h,則AD=,BD=h,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos 120°,可得1302=3h2+-2·h··,解得h=10,故塔的高度為10 m.] 10.(2018·衡陽(yáng)模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn),且CD=3,則△ADC的面積為_(kāi)_______. 6 [在△ABC中,由正弦定理得=,又B=2C,則=,又sin C>0,則cos C==,又C

8、為三角形的內(nèi)角,則sin C===,則△ADC的面積為AC·CDsin C=×4×3×=6.] 11.(2018·濟(jì)南模擬)已知△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,AD⊥BC于點(diǎn)D,則的值為_(kāi)_______. 6 [在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC,即28=16+AB2-4AB,解得AB=6或AB=-2(舍),則cos∠ABC==,BD=AB·cos∠ABC=6×=,CD=BC-BD=2-=,所以=6.] 12.已知在△ABC中,B=2A,∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分,則cos A=________.

9、  [由題意知S△ACD∶S△BCD=4∶3, 即=, 化簡(jiǎn)得= 又=,所以== 因?yàn)锽=2A,所以=,化簡(jiǎn)得cos A=.] 三、解答題 13.如圖2-1-10,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°. 圖2-1-10 (1)若PB=,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan∠PBA. [解] (1)由已知得,∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°. 在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=. (2)設(shè)∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA中,由正弦定理得=

10、, 化簡(jiǎn)得cos α=4sin α. 所以tan α=,即tan∠PBA=. (教師備選) 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A的大小; (2)若a=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值. [解] (1)由(2b-c)cos A=acos C及正弦定理, 得(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, ∴2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C, ∴2sin Bcos A=sin(C+A)=sin B. ∵B∈(0,π),∴sin B≠0. ∵A∈(0,π),cos A=,∴A=. (2)由(1)得A=,由正弦定理得====2,∴b=2sin B,c=2sin C. △ABC的周長(zhǎng)l=3+2sinB+2sin =3+2sinB+2 =3+3sin B+3cos B =3+6sin. ∵B∈,∴當(dāng)B=時(shí),△ABC的周長(zhǎng)取得最大值為9.

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