2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)9 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)9 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文 一、選擇題 1.(2018·鄭州模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長為12,則C的方程為(  ) A.+y2=1      B.+=1 C.+=1 D.+=1 D [由橢圓定義可知:|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=2a+2a=12,即a=3,又∵e===,解得:b2=5,∴橢圓C的方程為:+=1,故選D.] 2.(2018·武漢模擬)已知雙曲線C:-=1的一

2、條漸近線與圓x2+y2-6x-2y+9=0相切,則雙曲線C的離心率等于(  ) A. B. C. D. A [雙曲線C:-=1的一條漸近線bx-ay=0,圓x2+y2-6x-2y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-3)2+(y-1)2=1,∵雙曲線C:-=1的一條漸近線與圓x2+y2-6x-2y+9=0相切,∴d==1,即4b=3a,∴e===,故選A.] 3.(2018·江門模擬)F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上,若=2,則|PQ|=(  ) A. B.4 C. D.3 A [如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,

3、垂足為M,則|PF|=|PM|,由△QFK∽△QPM,得=,即=,所以|MP|=3,故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=,選A.] 4.(2018·天津十二中學(xué)聯(lián)考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)到拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為4,點(diǎn)(2,2)是雙曲線的一條漸近線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 D [將(2,2)代入y2=2px,可得p=2,拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1,則c+1=4,c=3,又∵==,c2=a2+b2,可得a=,b=,雙曲線方程

4、為-=1,故選D.] 5.(2018·長春模擬)已知橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(  ) A. B.1 C. D. D [由+=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長為4a=8,△ABF1面積為|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故選D.] 6.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. A [

5、由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為a. 又直線bx-ay+2ab=0與圓相切, ∴圓心到直線的距離d==a,解得a=b, ∴=, ∴e=====. 故選A.] 7.(2018·南陽模擬)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且傾斜角為60°的直線為l,M(-3,0),若拋物線C上存在一點(diǎn)N,使M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,則p=(  ) A.2   B.3 C.4   D.5 A [∵M(jìn),N關(guān)于過F傾斜角為60°的直線對(duì)稱,∴|MF|=|NF|,由拋物線定義知,|NF|等于點(diǎn)N到準(zhǔn)線的距離,即|NF|=xN+,由于|MF|=-(-3),∴xN+=-

6、(-3),xN=3,代入拋物線方程可得yN=-,kMN==-,解得p=2,故選A.] 8.(2018·德州模擬)若雙曲線的中心為原點(diǎn), F(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn),過F的直線l與雙曲線相交于M, N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線的方程為(  ) A.-y2=1 B.y2-=1 C.-x2=1 D.x2-=1 B [由題意設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0), M(x1,y1),N(x2,y2),則-=1且-=1,則 =, 即=,則 ===1,即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3, 即該雙曲線的方程為y2-=1.故選B.

7、] 二、填空題 9.(2018·梧州模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為M,離心率為,過點(diǎn)M與點(diǎn)(0,-2)的直線與雙曲線的一條漸近線平行,則雙曲線的方程為________. -=1 [由e==,a2+b2=c2得b=a,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,由=得a=,所以雙曲線的方程為-=1.] 10.(2018·唐山模擬)拋物線M:y2=2px(p>0)與橢圓N:+=1(a>b>0)有相同的焦點(diǎn)F,拋物線M與橢圓N交于A,B,若F,A,B共線,則橢圓N的離心率等于________. -1 [由題意,知F,c=,即p=2c.由拋物線與橢圓的對(duì)稱性知,兩曲線的公共點(diǎn)的連線

8、和x軸垂直,所以|AB|=|AF|+|BF|=,又由拋物線的定義知|AB|=2p,所以=4c,即c2+2ac-a2=0,e2+2e-1=0,解得e=-1.] 11.(2018·珠海模擬)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線l與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為________.  [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題得, ,∴b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0, ∴b2(x1-x2)=-a2(y1-y2), ∴=-=,∴a2=3b2, ∴

9、a2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=.] 12.(2018·揭陽模擬)已知雙曲線x2-=1的離心率為,左焦點(diǎn)為F1,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在圓x2+(y-1)2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí),|PQ|+|PF1|的最小值為________.  [依題意可知a=1,b=,設(shè)B(0,1),由|PF1|-|PF2|=2得|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2,問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)F2到圓B上點(diǎn)的最小值,即|QF2|min=|BF2|-1=-1=,故(|PQ|+|PF1|)min=+2=.] 三、解答題 (教師備選) (2017·全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(

10、2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程. [解] (1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2, 由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=,x2=,故x1x2==4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·==-1, 所以O(shè)A⊥OB, 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m, x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4, 故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m), 圓M的半徑r=. 由于圓M過點(diǎn)P(4,-2),

11、因此·=0, 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可知y1y2=-4,x1x2=4, 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-. 當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為, 圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 當(dāng)m=-時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑為, 圓M的方程為2+2=. 13.(2018·西安模擬)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直

12、線的距離為c. 圖2-5-4 (1)求橢圓E的離心率: (2)如圖2-5-4,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程. [解] (1)過點(diǎn)(c,0), (0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0, 則原點(diǎn)O到該直線的距離d==, 由d=c,得a=2b=2,解得離心率=. (2)法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.① 依題意,圓心M(-2, 1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=, 易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=, 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=, 從而x1x2=8-2b2, 于是|AB|=|x1-x2| ==, 由|AB|=,得=, 解得b2=3, 故橢圓E的方程為+=1.

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