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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)43 直線、平面平行的判定和性質(zhì) 理
[基礎(chǔ)達標(biāo)]
一、選擇題
1.已知α∥β,a?α,B∈β,則在β內(nèi)過點B的所有直線中( )
A.不一定存在與a平行的直線
B.只有兩條與a平行的直線
C.存在無數(shù)條與a平行的直線
D.存在唯一一條與a平行的直線
解析:因為a與點B確定一個平面,該平面與β的交線即為符合條件的直線.
答案:D
2.[2019·河南開封模擬]在空間中,a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題中的真命題是( )
A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若a?α,b?β,α⊥β,則a⊥b
C.若a∥α,
2、a∥b,則b∥α D.若α∥β,a?α,則a∥β
解析:對于A,若a∥α,b∥α,則a,b可能平行,可能相交,可能異面,故A是假命題;對于B,設(shè)α∩β=m,若a,b均與m平行,則a∥b,故B是假命題;對于C,b∥α或b在平面α內(nèi),故C是假命題;對于D,若α∥β,a?α,則a與β沒有公共點,則a∥β,故D是真命題.故選D.
答案:D
3.[2019·石家莊模擬]過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有( )
A.4條 B.6條
C.8條 D.12條
解析:如圖,H,G,F(xiàn),I是相應(yīng)線段的中點,
故符合條件的直線只能出
3、現(xiàn)在平面HGFI中,
有FI,F(xiàn)G,GH,HI,HF,GI共6條直線,故選B.
答案:B
4.[2019·山東聊城模擬]下列四個正方體中,A,B,C為所在棱的中點,則能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
解析:在B中,如圖,連接MN,PN,
∵A,B,C為正方體所在棱的中點,
∴AB∥MN,AC∥PN,
∵MN∥DE,PN∥EF,
∴AB∥DE,AC∥EF,
∵AB∩AC=A,DE∩EF=E,
AB、AC?平面ABC,DE、EF?平面DEF,
∴平面ABC∥平面DEF.故選B.
答案:B
5.[北京卷]設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α,“m∥
4、β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:當(dāng)m∥β時,過m的平面α與β可能平行也可能相交,因而m∥βDα∥β;當(dāng)α∥β時,α內(nèi)任一直線與β平行,因為m?α,所以m∥β.綜上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.
答案:B
二、填空題
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一點,過P點的兩條直線AC,BD分別交α于A,B,交β于C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,則CD的長為________.
解析:若P在α,β的同側(cè),由于平面α∥平面β,故AB∥CD,則==,可求得CD=20;若P在α,
5、β之間,則==,可求得CD=4.
答案:20或4
7.[2019·廣州高三調(diào)研]正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點M為CC1的中點,點N為線段DD1上靠近D1的三等分點,平面BMN交AA1于點Q,則線段AQ的長為________.
解析:如圖所示,在線段DD1上靠近點D處取一點T,使得DT=,因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點,故D1N=,故NT=2--=1,因為M為CC1的中點,故CM=1,連接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四邊形CMNT為平行四邊形,故CT∥MN,同理在AA1上靠近A處取一點Q′,使得AQ′=,連接BQ′,TQ′,則有BQ′∥CT∥MN,
6、故BQ′與MN共面,即Q′與Q重合,故AQ=.
答案:
8.
[2019·福建泉州模擬]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,當(dāng)點Q________時,平面D1BQ∥平面PAO.
①與C重合
②與C1重合
③為CC1的三等分點
④為CC1的中點
解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,
∴PO∥BD1,
當(dāng)點Q為CC1的中點時,
連接PQ,則PQ綊AB,∴四邊形ABQP是平行四邊形,
∴AP∥BQ,
∵AP∩PO=P,BQ∩BD1=B,
AP、
7、PO?平面PAO,BQ、BD1?平面D1BQ,
∴平面D1BQ∥平面PAO.故選④.
答案:④
三、解答題
9.
[2019·安徽合肥一中模擬]如圖,四棱錐P-ABCD中,E為AD的中點,PE⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2DC=2,AC∩BD=F,且△PAD與△ABD均為正三角形,G為△PAD重心.
(1)求證:GF∥平面PDC;
(2)求三棱錐G-PCD的體積.
解析:(1)證明:連接AG交PD于H,連接CH.
由四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2DC,知=,
又G為△PAD的重心,∴=,
在△ACH中,==,
故GF∥HC.
8、
又HC?平面PDC,GF?平面PDC,
∴GF∥平面PDC.
(2)由AB=2,△PAD,△ABD為正三角形,E為AD中點得PE=3,
由(1)知GF∥平面PDC,又PE⊥平面ABCD,
∴VG-PCD=VF-PCD=VP-CDF=·PE·S△CDF,
由四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2DC=2,△ABD為正三角形,
知DF=BD=,∠CDF=∠ABD=60°,
∴S△CDF=CD·DF·sin∠CDF=,
∴VP-CDF=PE·S△CDF=,
∴三棱錐G-PCD的體積為.
10.
[2019·江西臨川二中月考]如圖,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2
9、,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別為AD,PA的中點,點Q是BC上一個動點.
(1)當(dāng)Q是BC中點時,求證:平面BEF∥平面PDQ;
(2)當(dāng)BD⊥FQ時,求的值.
解析:(1)證明:∵E,Q分別是矩形ABCD的對邊AD,BC的中點,
∴ED=BQ,ED∥BQ,
∴四邊形BEDQ是平行四邊形,
∴BE∥DQ.
又BE?平面PDQ,DQ?平面PDQ,
∴BE∥平面PDQ.
∵F是PA的中點,E是AD的中點,
∴EF∥PD,
∵EF?平面PDQ,PD?平面PDQ,
∴EF∥平面PDQ,
∵BE∩EF=E,BE、EF?平面BEF,
∴平面BEF∥平面PDQ.
(2)連接A
10、Q.
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵BD⊥FQ,PA∩FQ=F,PA、FQ?平面PAQ,
∴BD⊥平面PAQ,
∵AQ?平面PAQ,
∴AQ⊥BD,
在矩形ABCD中,由AQ⊥BD得△AQB∽△DBA,
∴=,
∴AB2=AD·BQ,
又AB=1,AD=2,
∴BQ=,則QC=,
∴=.
[能力挑戰(zhàn)]
11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,PD=DC=4,AD=2,E為PC的中點.
(1)求三棱錐A-PDE的體積;
(2)AC邊上是否存在一點M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM的長;
11、若不存在,請說明理由.
解析:(1)因為PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.
又因為ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因為PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱錐A-PDE的高.
因為E為PC的中點,且PD=DC=4,
所以S△PDE=S△PDC=×=4.
又AD=2,所以VA-PDE=AD·S△PDE=×2×4=.
(2)取AC中點M,連接EM,DM,
因為E為PC的中點,M是AC的中點,
所以EM∥PA.
又因為EM?平面EDM,PA?平面EDM,所以PA∥平面EDM.
所以AM=AC=.
即在AC邊上存在一點M,使得PA∥平面EDM,AM的長為.