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1、云南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練（七）以圓為背景的綜合計(jì)算與證明題練習(xí)
|類型1| 圓與切線有關(guān)的問題
1.[xx·南充] 如圖T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC為直徑作☉O交AB于點(diǎn)D,E為BC的中點(diǎn),連接DE并延長交AC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE是☉O的切線;
(2)若CF=2,DF=4,求☉O直徑的長.
圖T7-1
2.[xx·沈陽] 如圖T7-2,BE是☉O的直徑,點(diǎn)A和點(diǎn)D是☉O上的兩點(diǎn),過點(diǎn)A作☉O的切線交BE延長線于點(diǎn)C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù);
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半
2、徑的長.
圖T7-2
|類型2| 圓與平行四邊形結(jié)合的問題
3.如圖T7-3,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CE為半圓O的切線;
(2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說明理由.
圖T7-3
4.如圖T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作☉O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.
(1)求證:MD=ME;
(2)填空:①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE= ;?
②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為
3、時(shí),四邊形ODME是菱形.?
圖T7-4
|類型3| 圓與三角函數(shù)結(jié)合的問題
5.[xx·咸寧] 如圖T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O與邊BC,AC分別交于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.
(1)求證:DF是☉O的切線;
(2)若AE=4,cosA=,求DF的長.
圖T7-5
6.[xx·金華、麗水] 如圖T7-6,在Rt△ABC中,點(diǎn)O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連接AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求證:AD是☉O的切線;
(
4、2)若BC=8,tanB=,求☉O的半徑.
圖T7-6
|類型4| 圓與相似三角形結(jié)合的問題
7.[xx·天門] 如圖T7-7,AB為☉O的直徑,C為☉O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為D,AD交☉O于點(diǎn)E,連接CE,CB,AC.
(1)求證:CE=CB;
(2)若AC=2,CE=,求AE的長.
圖T7-7
8.如圖T7-8,AB,BC,CD分別與☉O相切于點(diǎn)E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求證:BO⊥CO;
(2)求BE和CG的長.
圖T7-8
5、
參考答案
1.[解析] (1)連接OD,欲證DE是☉O的切線,需證OD⊥DE,即需證∠ODE=90°,而∠ACB=90°,連接CD,根據(jù)“等邊對(duì)等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,進(jìn)而得出∠ODE=90°,從而得證.
(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解.
解:(1)證明:連接OD,CD.
∵AC是☉O的直徑,
∴∠ADC=90°.
∴∠BDC=90°.
又E為BC的中點(diǎn),
∴DE=BC=CE.
∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴∠ODE
6、=90°.∴DE是☉O的切線.
(2)設(shè)☉O的半徑為x.
在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,
即x2+42=(x+2)2,解得x=3.
∴☉O的直徑為6.
2.解:(1)如圖,連接OA,
∵AC為☉O的切線,OA是☉O半徑,
∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.
∵∠ADE=25°,
∴∠AOE=2∠ADE=50°.
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,
∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°.
∴OA=OC.
設(shè)☉O的半徑
7、為r,∵CE=2,∴r=(r+2).
∴r=2.∴☉O的半徑為2.
3.解:(1)證明:如圖,連接OD,
∵點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn),
∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.
∵OA=OD,∴△AOD為等邊三角形,
∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.
∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,
∴CE為半圓O的切線.
(2)四邊形AOCD為菱形.
理由:∵OD=OC,∠COD=60°,
∴△OCD為等邊三角形,∴CD=CO.
同理:AD=AO.
∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,
∴四邊形AOCD為菱形.
4.解:(1)證明:在Rt△ABC中,
∵點(diǎn)M是AC的中
8、點(diǎn),∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ADE+∠ABE=180°,
又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.
同理可證:∠MED=∠A,
∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.
(2)①2
[解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB,
∴=,又AD=2DM,
∴=,∴=,∴DE=2.
②60°
[解析] 當(dāng)∠A=60°時(shí),△AOD是等邊三角形,這時(shí)易證∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等邊三角形,且全等,∴四邊形ODME是菱形.
5.解:(1)證明:連接OD.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.
又∵A
9、B=AC,∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,
∴∠ODF=∠DFC=90°,
∴DF是☉O的切線.
(2)過點(diǎn)O作OG⊥AC,垂足為G.∴AG=AE=2.
∵cosA=,∴OA==5,
∴OG==.
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
∴四邊形OGFD是矩形,∴DF=OG=.
6.解:(1)證明:連接OD.
∵OB=OD,∴∠3=∠B.
∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,
∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.
∴OD⊥AD
10、.∴AD是☉O的切線.
(2)設(shè)☉O的半徑為r.
在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×=4,
∴AB===4.
∴OA=4-r.
在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=,
∴CD=AC·tan∠1=4×=2,
∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.
在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,
∴(4-r)2=r2+20.解得r= .
故☉O的半徑是 .
7.解:(1)證明:連接OC,
∵CD為☉O的切線,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3.
又∵OA=OC,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,∴CE=CB.
(2)∵AB為☉O
11、的直徑,∴∠ACB=90°.
∵AC=2,CB=CE=,
∴AB===5.
∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,
∴△ADC∽△ACB.
∴==,即==,
∴AD=4,DC=2.
在Rt△DCE中,DE===1,
∴AE=AD-ED=4-1=3.
8.解:(1)證明:∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵AB,BC,CD分別與☉O相切于點(diǎn)E,F,G,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,
∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.
(2)如圖,連接OF,則OF⊥BC.
∴Rt△BOF∽R(shí)t△BCO,∴=.
∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm,
∴BC==10(cm),
∴=,∴BF=3.6 cm.
∵AB,BC,CD分別與☉O相切,
∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),
∴CG=CF=6.4 cm.
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