浙江省2022年中考數(shù)學復習 微專題六 以特殊四邊形為背景的計算與證明訓練

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1、浙江省2022年中考數(shù)學復習 微專題六 以特殊四邊形為背景的計算與證明訓練 1．如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四邊形ABCD內一點，且OA＝OB＝OD.求證： (1)∠BOD＝∠C； (2)四邊形OBCD是菱形． 2．如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF＝CD，連結CF. (1)求證：△AEF≌△DEB； (2)若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論． 3．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，D

2、A的延長線交于點M，OF，AB的延長線交于點N，連結MN. (1)求證：OM＝ON； (2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長． 4．如圖，點E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，AB上一點，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC. (1)求證：點F為AB的中點； (2)延長EF與CB的延長線相交于點H，連結AH，已知ED＝2，求AH的值． 5．問題情境： 在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm. 操作發(fā)現(xiàn)： (1)將圖

3、1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，過點C作AC′的平行線，與DC′的延長線交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是________； (2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B，A，D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連結CC′，取CC′的中點F，連結AF并延長至點G，使FG＝AF，連結CG，C′G，得到四邊形ACGC′，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請你證明這個結論； 實踐探究： (3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至

4、A′點，A′C與BC′相交于點H，如圖4所示，連結CC′，試求tan∠C′CH的值． 參考答案 1．證明：(1)如圖，延長AO到E. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO， ∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD. 又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C. (2)如圖，連結OC. ∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠B

5、OC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD. 又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC. 又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四邊形OBCD是菱形． 2．證明：(1)∵E是AD的中點，∴AE＝DE. ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)． (2)如圖，連結DF. ∵AF∥CD，AF＝CD， ∴四邊形ADCF是平行四邊形． ∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE. ∵AE＝DE， ∴四邊形ABDF是平行四邊形， ∴DF＝

6、AB. ∵AB＝AC，∴DF＝AC， ∴四邊形ADCF是矩形． 3．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON. (2)解：如圖，過點O作OH⊥AD于點H. ∵正方形的邊長為4，∴OH＝HA＝2. ∵E為OM的中點，∴HM＝4， 則OM＝＝2， ∴MN＝OM＝2. 4．(1)證明：∵EF⊥EC， ∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. ∵四邊形ABCD是矩形

7、， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°， ∠DEC＋∠DCE＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC. ∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE. ∴ED＝AF. ∵AE＝DC＝AB＝2DE， ∴AB＝2AF，∴F是AB的中點． (2)解：由(1)得AF＝FB，且AE∥BH， ∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB， ∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE. ∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4， ∴HB＝AB＝AE＝4， ∴AH2＝AB2＋BH2＝16＋16＝32， ∴AH＝4. 5．解：(1)菱形 (2)在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥

8、CD， ∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°. 在圖3中，由旋轉知，∠DAC′＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC′， ∴∠BAC＋∠DAC′＝90°. ∵點D，A，B在同一條直線上， ∴∠CAC′＝90°. 由旋轉知，AC＝AC′. ∵點F是CC′的中點，∴AG⊥CC′，CF＝C′F. ∵AF＝FG， ∴四邊形ACGC′是平行四邊形． ∵AG⊥CC′，∴四邊形ACGC′是菱形． ∵∠CAC′＝90°， ∴菱形ACGC′是正方形． (3)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4， ∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2， sin ∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30°. 由(2)結合平移知，∠CHC′＝90°. 在Rt△BCH中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC·sin 30°＝， ∴C′H＝BC′－BH＝4－. 在Rt△ABH中，AH＝AB＝1， ∴CH＝AC－AH＝4－1＝3， 在Rt△CHC′中， tan ∠C′CH＝＝.