（通用版）2022高考數(shù)學一輪復習 第一講 解題的先決條件—信息獲取講義 理

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1、（通用版）2022高考數(shù)學一輪復習 第一講 解題的先決條件—信息獲取講義 理 我們常把數(shù)學習題的結(jié)構(gòu)分為條件(已知部分)和結(jié)論(未知部分)．如果針對問題的組成結(jié)構(gòu)而言，這種認識是無可挑剔的．但是，數(shù)學習題的解決是習題與人的思維活動相互作用的結(jié)果，人在認識和解決一道數(shù)學習題時，是關(guān)注習題的條件還是結(jié)論呢？事實上，同一道習題可以用多種形式表達，習題的條件和結(jié)論的表述不盡相同，弄清習題的條件和結(jié)論，只是對習題最初步、最基礎(chǔ)的認識，真正與習題解答直接相關(guān)的是習題蘊藏的信息，它才是激發(fā)解題思維之源、產(chǎn)生解題方案之源．下面結(jié)合實例，教你如何正確關(guān)注題目的條件和結(jié)論，準確獲取解題信息，從而正確迅速解題．

2、 一、習題條件蘊藏的信息對解答習題存在重要作用 習題的條件部分，既是結(jié)論成立的條件，也是習題解答的條件．如何直接利用條件或最大限度地挖掘條件隱藏的信息對問題的解決非常重要．無論是幾何問題還是代數(shù)問題，不僅要發(fā)現(xiàn)條件直接呈現(xiàn)的信息，還需要發(fā)現(xiàn)與條件相關(guān)的潛在信息，一個優(yōu)秀的解題高手必須具備這一素質(zhì)． [例1]　如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個公共點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點．V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是(　　) A．V1＝　　　　　　 B．

3、V2＝ C．V1>V2 D．V1＜V2 [解析]　這個習題直接呈現(xiàn)的信息就是圖形，我們從圖形中可以挖掘出以下3項潛在信息：①大球半徑是小球半徑的2倍；②4個小球中每個小球與相鄰的兩個小球相交；③V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積．從結(jié)論中我們只能得到信息：比較V，V1，V2的大?。? 可以看出：圖形中隱藏的3條信息直接關(guān)系到問題的解答，如果給定大球的半徑，甚至可以求出V，V1，V2的大?。牵Y(jié)論信息不要求算出V，V1，V2的大小，只要求尋找三者的大小關(guān)系．為了便于表述，我們可以假設(shè)小球的半徑為r(也可以假設(shè)小球的半徑為單位1)． 于是

4、有V＝π(2r)3＝πr3，V小球＝πr3. 因為V2＝V－4V小球＋V1. 所以V2－V1＝V－4V小球＝πr3>0，可知C錯誤，D正確． 所以V＝V2－V1＋4V小球>4V小球>2V1，可知A錯誤． 所以V2＝V－4V小球＋V1>V－4V小球＝πr3＝，可知B錯誤． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　從此題的解答來看，圖形中不僅反映了大、小球之間的位置關(guān)系，也隱藏著V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1，而且題設(shè)條件中隱藏的這條信息對習題的解答具有重要作用．于是我們可以得到一點解題經(jīng)驗：對于含有圖形、表格的習題，仔細挖掘圖形中隱藏的信息，如點、線、面之間的位

5、置關(guān)系，角之間的大小關(guān)系，線段之間的長度關(guān)系，表格中數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系和大小關(guān)系，是尋找解題思路的有效途徑． 二、習題結(jié)論隱藏的信息對習題解答產(chǎn)生的作用不可忽視 在解題過程中，通常重視問題的條件信息，忽視問題的結(jié)論信息，認為條件才是問題解決的基礎(chǔ)材料，結(jié)論是問題解決所追求的終極目標．其實，這是一種片面的認識，結(jié)論所隱藏的信息又何嘗不是問題解決的基礎(chǔ)，也存在著重要作用．要善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向． [例2]　若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≤4. [證明]　這個習題呈現(xiàn)的信息有3項：①a，b，c∈(0，＋∞

6、)；②a＋b＋c＝1；③＋＋≤4. 可以看出：條件信息①②只是說明a，b，c的范圍及關(guān)系，沒有體現(xiàn)與結(jié)論“＋＋≤4”的聯(lián)系，對解題思路缺乏直接指導作用，相反，結(jié)論信息“＋＋≤4，左邊為三個根式的和，右邊為常數(shù)”，這為尋找解題方案做出了暗示． 我們只要回想自己的解題經(jīng)驗，就可以想到“去掉根號化為整式，有利于進一步化簡和推理”，這究竟能否成功解決問題呢？這只是問題解決的假設(shè)方案． 如何才能去掉根號呢？想到利用“基本不等式”可以實現(xiàn)這一條解題方案，但是，我們馬上發(fā)現(xiàn)，直接利用基本不等式并不能解決該問題，難道是我們的方案不對？仔細分析分析“基本不等式”的結(jié)構(gòu)特點“≤”以及利用基本不等式求最值的條

7、件“一正、二定、三相等”，想到要使該不等式成立，應(yīng)有“a＝b＝c＝”，從而應(yīng)有a＋5＝b＋5＝c＋5＝成立．故應(yīng)拼湊 ，巧妙升次，促成“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化，于是就有了如下解決方案： 因為2 ≤＋(a＋5)， 2 ≤＋(b＋5)，2 ≤＋(c＋5)， 所以2 (＋＋)≤16＋(a＋5)＋(b＋5)＋(c＋5)＝31＋(a＋b＋c)＝32. 所以＋＋≤4. [反思領(lǐng)悟]　從該題的解答過程來看，條件信息只能保證根式有意義和代數(shù)式＋＋＝4成立而已，對探求解題思路的作用不大；而結(jié)論信息為解題提供了明確的暗示——去根號．就提供解題策略而言，條件作用小，結(jié)論作用大，于是我們可以得到一點解題經(jīng)驗：

8、對于題設(shè)簡單、結(jié)論復雜的數(shù)學習題，挖掘問題結(jié)論所隱藏的信息，是尋找解題思路的一條途徑． 三、習題結(jié)論是“終極目標”不一定是“關(guān)鍵目標” [例1]的結(jié)論是判斷正誤，沒有明確指出比較V，V1，V2中哪兩個的大小關(guān)系．問題的結(jié)論只是一組信息，也是我們解題時所追求的終極目標；但是，有時也許是一組模糊的信息，并不一定是解題過程中追求的關(guān)鍵目標．關(guān)鍵目標有可能是問題結(jié)論的反面，或者是一個矛盾，或者是與結(jié)論相關(guān)的、等價的另一問題……，解答[例1]的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1.解題時只有對習題的所有信息進行綜合加工處理，關(guān)鍵目標才能浮現(xiàn)出來． [例3]　設(shè)

9、函數(shù)f(x)＝aexln x＋，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)>1. [解]　(1)f′(x)＝aex＋(x>0)， 由于直線y＝e(x－1)＋2的斜率為e，圖象過點(1,2)， 所以即解得 (2)證明：由(1)知f(x)＝exln x＋(x>0)， 從而f(x)>1等價于xln x>xe－x－. 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x， 所以當x∈時，g′(x)＜0；當x∈時，g′(x)>0， 故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為

10、g＝－. 構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xe－x－，則h′(x)＝e－x(1－x)． 所以當x∈(0,1)時，h′(x)>0； 當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0； 故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－. 綜上，當x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1. [反思領(lǐng)悟]　本題的終極目標是證明f(x)>1成立．若按照常規(guī)思路，直接構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exln x＋－1，求導后不易分析，因此不宜對其整體進行構(gòu)造函數(shù)，而是將不等式“exln x＋>1”合理拆分為“xln x>xe－x－”，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xln x，

11、h(x)＝xe－x－，此時，問題解決的關(guān)鍵目標是證明g(x)>h(x)成立． 從上述論述來看，問題解決最重要的環(huán)節(jié)是解題思路的探求，在解題思路的探求過程中，題設(shè)條件并非解題的唯一條件，結(jié)論也不是一成不變的結(jié)論．將問題的條件信息和結(jié)論信息聯(lián)系起來整體地思考和探究，結(jié)合大腦中儲備的知識經(jīng)驗進行綜合加工，才有利于發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵目標，探求到合理而有效的解題方案． 四、習題信息的轉(zhuǎn)化是實現(xiàn)信息“化暗為明”的必備能力 數(shù)學習題呈現(xiàn)的信息具有多樣性．有圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系信息，也有代數(shù)問題中的數(shù)量大小關(guān)系信息、代數(shù)式的特征信息，還有圖、表中的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系信息．為了深入理解習題的信息，常

12、根據(jù)其表現(xiàn)形式分為以下三類： 1．形象信息 數(shù)學問題中以圖形、表格等直觀形象的形式表達出來的信息，稱為形象信息，如幾何圖形、函數(shù)圖象、坐標系、分布列、頻率分布直方圖、莖葉圖等，呈現(xiàn)給我們的是直觀形象的材料． 2．符號信息 符號信息是用字母、數(shù)字、數(shù)學式子等形式表達的信息，呈現(xiàn)給我們的是抽象的數(shù)學符號，通常稱為數(shù)的信息． 3．語言信息 語言信息就是用有意義的語言來表達的信息，也就是用漢語、數(shù)學語言來表達的數(shù)量關(guān)系、概念和數(shù)學習題中的解釋、說明等信息． 這三類信息既有區(qū)別又有聯(lián)系．雖然在表達形式上不同，但在解題過程中是可以互相轉(zhuǎn)化的．只有熟練地轉(zhuǎn)化解題信息，才能化隱性信息為顯性信息、

13、化新情景問題為已學知識．熟練地轉(zhuǎn)化各類信息的表述形式與成功解答習題存在正相關(guān)，一個優(yōu)秀的解題高手，必須是一個信息處理和信息轉(zhuǎn)化方面的能手． [例4]　函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是(　　) A．{3,4}　　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3} [解析]　令Pn(xn，f(xn))，＝＝kOPn，由＝＝…＝?kOP1＝kOP2＝…＝kOPn， 即過點O的射線與函數(shù)圖象有n個不同的交點．于是過點O作射線與函數(shù)圖象的公共點可能有2個、3個、4個，所以選B. [

14、答案]　B [反思領(lǐng)悟]　此題的解答過程中，先將符號信息(數(shù)的信息)＝＝…＝轉(zhuǎn)化為另一形式的數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，再將數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn轉(zhuǎn)化為語言信息“OP1，OP2，…，OPn的斜率相等”，進一步轉(zhuǎn)化為語言信息“過點O的射線與函數(shù)圖象有n個不同的交點”． 顯然，此題的解答過程就是一系列的信息轉(zhuǎn)化過程． [例5]　已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. [解析]　

15、首先將圓C1，C2和|PM|＋|PN|符號信息轉(zhuǎn)化為形象信息，如圖(1)所示，進一步轉(zhuǎn)化為語言信息“求線段和|PM|＋|PN|的最小值”，將圓C1關(guān)于x軸對稱得到圓C3，得到形象信息圖(2)，將問題轉(zhuǎn)化為“求圖(2)中|PM|＋|PN|的最小值”．于是|PM|＋|PN|≥|C2C3|－(R1＋R2)＝5－4. [答案]　A [反思領(lǐng)悟]　在解答平面幾何和解析幾何問題時，我們常常根據(jù)題意作出草圖，這就是把語言信息或符號信息轉(zhuǎn)化為形象信息．又如，用解析法解答平面幾何問題時，又把形象信息轉(zhuǎn)化為符號信息和語言信息．總之，三類信息是密切相關(guān)的，解題者常常根據(jù)自己的認知經(jīng)驗和思維習慣將三類信息相互轉(zhuǎn)化．