（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.10 對(duì)數(shù)函數(shù)講義 文

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1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.10 對(duì)數(shù)函數(shù)講義 文 一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn) 1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0， ＋∞). y＝logax的3個(gè)特征 (1)底數(shù)a>0，且a≠1； (2)自變量x>0； (3)函數(shù)值域?yàn)镽. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì) 底數(shù) a>1 01時(shí)，恒有y>0； 當(dāng)0

2、y<0 當(dāng)x>1時(shí)，恒有y<0； 當(dāng)00 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 注意 當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時(shí)，需分a>1和00，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn) (1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，(a,1)，，依據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)可得到對(duì)數(shù)函數(shù)的大致圖象． (2)函數(shù)y＝logax與y＝logx(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱． (3)當(dāng)

3、a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)；當(dāng)00，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　) 解析：選B　函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合

4、條件的只有B. 2．函數(shù)y＝lg|x|(　　) A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減 C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增 解析：選B　y＝lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 3．設(shè)a＝log23，b＝log3，c＝3－2，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　　　　　　 　B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a 解析：選C　因?yàn)閍＝log23＞1，b＝log3＜0，c＝3－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜

5、a. (三)填一填 4．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． 解析：要使函數(shù)有意義，須滿足 解得

6、2或0時(shí)，y＝0，所以A項(xiàng)符合題意． (2)若

7、數(shù)a的取值范圍是________． 解析：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a＞1. 答案：(1，＋∞) 3.若本例(2)變?yōu)椴坏仁絰20，且a≠1)對(duì)x∈恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：設(shè)f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時(shí)，不等式x21時(shí)，顯然不成立； 當(dāng)0

8、范圍是. [解題技法] 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧 (1)對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想． (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． [口訣歸納] 指對(duì)函數(shù)反函數(shù)，圖象夾著對(duì)稱軸； 圖象均有漸進(jìn)線，牢記軸上特殊點(diǎn)． 　 考法(一)　比較對(duì)數(shù)值的大小 [典例]　(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　　　　　 　B．b＞a＞c C．c＞b＞a

9、D．c＞a＞b [解析]　因?yàn)閏＝log＝log23>log2e＝a， 所以c＞a. 因?yàn)閎＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b. 所以c＞a＞b. [答案]　D [解題技法] 比較對(duì)數(shù)值大小的常見類型及解題方法 常見類型 解題方法 底數(shù)為同一常數(shù) 可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷 底數(shù)為同一字母 需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論 底數(shù)不同，真數(shù)相同 可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較 底數(shù)與真數(shù)都不同 常借助1,0等中間量進(jìn)行比較 考法(二)　解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式 [典例]　已知不等式logx(2x2＋1)

10、________． [解析]　原不等式?①或②，解不等式組①得

11、為f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1， 這時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0，得－1

12、1兩種情況 判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性 [題組訓(xùn)練] 1．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．c>b>a 解析：選C　01，∴c>a>b. 2．若定義在區(qū)間(－1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)滿足f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0，＋∞) 解析：選A　∵－10

13、，∴0<2a<1，∴00，若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上單調(diào)遞增，則y＝ax2－x在[3,4]上單調(diào)遞增，且y＝ax2－x>0恒成立，即解得a>. 答案： A級(jí)——保大分專練 1．函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．[1,2]　　　　　　　　 　B．[1,2) C. D. 解析：選C　由 即解得x≥. 2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝(　　) A．log2x

14、B. C．logx D．2x－2 解析：選A　由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)． ∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x. 3．如果logxy>1. 4．(2019·海南三市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致圖象是(　　) 解析：選C　函數(shù)f(x)＝|loga(x＋1)|的定義域?yàn)閧x|x>－1}，且對(duì)任意的x，均有f(x)≥0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)

15、的圖象可知選C. 5．(2018·惠州調(diào)研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>b>c 解析：選D　依題意，得a>1,01，得c<0，故a>b>c. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是(　　) A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)

16、，所以1f(2)． 7．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝loga(2x－3)＋的圖象恒過點(diǎn)P.若點(diǎn)P也在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)＝________. 解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(2x－3)＋的圖象恒過點(diǎn)P(2，)，則2α＝，所以α＝，故冪函數(shù)為f(x)＝x. 答案：x 8．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)，則logba＝________. 解析：f(x)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)

17、． 則f(－1)＝loga(－1＋b)＝0， 且f(0)＝loga(0＋b)＝1， 所以即所以logba＝1. 答案：1 9．(2019·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析：由函數(shù)f(x)＝loga(x2－4x－5)，得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，則m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，又由a>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，＋∞)． 答案：(5，＋∞) 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__

18、______________． 解析：由f(a)＞f(－a)得或 即或 解得a＞1或－1＜a＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 11．求函數(shù)f(x)＝log2·log(2x)的最小值． 解：顯然x>0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，有f(x)min＝－. 12．設(shè)f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定義域； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值． 解：

19、(1)∵f(1)＝2，∴l(xiāng)oga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2. 由得－1＜x＜3， ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴當(dāng)x∈(－1,1]時(shí)，f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)， 故函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. B級(jí)——?jiǎng)?chuàng)高分自選 1．已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)滿足f>f，則f>0的解集為(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，

20、＋∞) 解析：選C　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)，而<且f>f，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，即00，得0<1－<1，所以x>1，故選C. 2．若函數(shù)f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析：令M＝x2＋x，當(dāng)x∈時(shí)，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)， 又M＝2－， 因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為. 又x2＋x>0，所以x>0或x<－， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

21、為(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝log(－x)． 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)， 所以f(x)＝f(－x)＝log(－x)， 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝ (2)因?yàn)閒(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數(shù)， 所以不等式f(x2－1)>－2轉(zhuǎn)化為f(|x2－1|)>f(4)． 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 所以|x2－1|<4，解得－