2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題62 幾何概型

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題62 幾何概型 縱觀近幾年的高考試題，概率是高考熱點(diǎn)之一，以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查幾何概型的計(jì)算以及分析、推理能力.難度控制在中等以下． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說(shuō)明. 1．幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 4.幾何概型常見(jiàn)的類型，

2、可分為三個(gè)層次： （1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率. （2）以數(shù)軸，坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標(biāo)平面的可行域），從而可通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)度（或面積）的比例求的概率（將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）類問(wèn)題） （3）在題目敘述中，判斷是否運(yùn)用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個(gè)數(shù).從而可依據(jù)變量個(gè)數(shù)確定幾何模型：通常變量的個(gè)數(shù)與幾何模型的維度相等：一個(gè)變量→數(shù)軸，兩個(gè)變量→平面直角坐標(biāo)系，三個(gè)變量→空間直角坐標(biāo)系.從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問(wèn)題求解 5.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可

3、用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解． 6．與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段． 7. 求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． 8. 求解與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求． 【經(jīng)典例題】 例1.【

4、2018年全國(guó)卷I理】下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，所以有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A. 點(diǎn)睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，題中需要解決的是概

5、率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果. 例2.【2017課標(biāo)1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【考點(diǎn)】幾何概型 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長(zhǎng)度、面積、體積或時(shí)間），其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計(jì)算. 例3.【20

6、18屆江西省臨川一中模擬】已知三地在同一水平面內(nèi)，地在正東方向處，地在地正北方向處，某測(cè)繪隊(duì)員在之間的直線公路上任選一點(diǎn)作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，地為一磁場(chǎng)，距離其不超過(guò)的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例4.【2018屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二?！俊毒耪滤阈g(shù)》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”問(wèn)題：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何.”其意思是：有一水池一丈見(jiàn)方，池中心生有一顆類似

7、蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問(wèn)水有多深，該植物有多長(zhǎng)？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：設(shè)水深為x尺，利用勾股定理求出水深，結(jié)合葭長(zhǎng)13尺，代入幾何概型概率計(jì)算公式，可得答案． 詳解： 設(shè)水深為x尺， 則（x+2）2=x2+52， 解得x=， 即水深尺． 又葭長(zhǎng)尺， 則所求概率為. 故選：A． 例5.【2018屆河南省最后一次模擬】如圖,在正六邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ） A.

8、 B. C. D. 【答案】D 所以,所求的概率為. 本題選擇D選項(xiàng). 例6.【2018屆河北省武邑中學(xué)四模】在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)部的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 其中滿足的點(diǎn)為陰影部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其面積為，不等組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為，故所求概率為，故選B． 例7.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，在內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意求出△ABC內(nèi)切圓

9、的面積與三角形的面積比即可． 詳解：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 則AD=，OD=， ∴△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=， 所求的概率是P=． 故答案為：D 例8.【2018屆安徽省安慶市第一中學(xué)熱身】在上任取一個(gè)個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“直線與圓”相交的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 故選C． 例9.【2018屆四川省梓潼中學(xué)校高考模擬（二）】已知圓柱的底面半徑為，高為，若區(qū)域表示圓柱及其內(nèi)部，區(qū)域表示圓柱內(nèi)到下底面的距離大于的點(diǎn)組成的集合，若向區(qū)域中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入?yún)^(qū)域中的概率為（ ） A.

10、B. C. D. 【答案】C 根據(jù)幾何概型，得所投入的點(diǎn)落在區(qū)域N中的概率為，故選C. 例10.【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：設(shè)函數(shù)y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]時(shí)y的取值范圍，再根據(jù)a∈[﹣2，2]討論a的取值范圍，判斷f（x）是否能取得最大值3，從而求出對(duì)應(yīng)的概率值． 詳解：在區(qū)間[﹣2，2]上任取一個(gè)數(shù)a，基本事件空間對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度是4， 由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈

11、[﹣1，3]， ∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a， ∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|， 即最大值是|3﹣a|或|1+a|； 令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1； 又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1； 故答案為：A 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查幾何概型和函數(shù)的最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1]. 【精選精練】 1．【2018屆廣東省東莞市考前演練】如圖1，風(fēng)車起源于周，是一種用紙折成的玩具.它用高粱稈，膠泥瓣兒和彩紙

12、扎成，是老北京的象征，百姓稱它吉祥輪.風(fēng)車現(xiàn)已成為北京春節(jié)廟會(huì)和節(jié)俗活動(dòng)的文化標(biāo)志物之一.圖2是用8個(gè)等腰直角三角形組成的風(fēng)車平面示意圖，若在示意圖內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由幾何概型及概率的計(jì)算可知，用黑色部分的面積比總面積，即可求解概率. 詳解：設(shè)白色部分的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，則直角邊的長(zhǎng)為， 所以所有白色部分的面積為， 則黑色部分的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為1，所有黑色部分的面積為， 由幾何概型可得其概率為，故選B. 2．【2018屆安徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）

13、】已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C ∴所求概率為． 故選． 點(diǎn)睛：本題考查幾何概型，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是由不等式在恒成立求得參數(shù)的取值范圍，求取值范圍的方法是分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這可由導(dǎo)數(shù)求得也可由基本不等式求得． 3．【2018屆河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第十五次調(diào)研】已知在矩形中，，現(xiàn)在矩形內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：以為圓心，為半徑作弧交于，以為圓心，為半徑作弧交于， 則在兩弧區(qū)間，

14、求出兩弧之間曲邊形面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果. 扇形面積為， 兩弧之間曲邊形面積為 ， 的概率為，故選B. 4．【2018屆山東省濰坊市三?！咳龂?guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，其中一個(gè)直角三角形中較小的銳角滿足，現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以打正方形的面積為，小正方形的面積為， 所以滿足條件的概率為，故選D

15、. 5．【2018屆四川省成都市模擬（一）】把一根長(zhǎng)為6米的細(xì)繩任意做成兩段，則稍短的一根細(xì)繩的長(zhǎng)度大于2米的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意確定為幾何概型中的長(zhǎng)度類型，將長(zhǎng)度為6米的繩子分成相等的三段，在中間一段任意位置剪斷符合要求，從而找出中間2米處的兩個(gè)界點(diǎn)，再求出其比值． 詳解：記“稍短的一根細(xì)繩的長(zhǎng)度大于2米”為事件， 則只能在距離兩段超過(guò)2米的繩子上剪斷， 即在中間的2米的繩子上剪斷，才使得稍短的一根細(xì)繩的長(zhǎng)度大于2米， 所以由幾何概型的公式得到事件 發(fā)生的概率 故選D. 6．【2018屆安

16、徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）】不等式所表示的區(qū)域?yàn)?，函?shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域?yàn)?向內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落到內(nèi)概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 概率為． 7．【2018屆山東省名校聯(lián)盟一?！科咔砂迨俏覀冏嫦鹊囊豁?xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形，一塊中三角形和兩塊全等的大三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲2000顆米粒（大小忽略不計(jì)），則落在圖中陰影部分內(nèi)米粒數(shù)大約為（ ） A. 750 B. 500 C. 3

17、75 D. 250 【答案】C 6．【2018屆山西省運(yùn)城市康杰中學(xué)高考模擬（一）】在圓的一條直徑上，任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦，則其弦長(zhǎng)超過(guò)該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先利用直線和圓的位置關(guān)系得到弦長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接三角形的邊長(zhǎng)的直線的位置，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解. 詳解：設(shè)圓的半徑為，則， 則其弦長(zhǎng)超過(guò)該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率為.故選C. 點(diǎn)睛：本題考查幾何概型的概率問(wèn)題，幾何概型的幾何模型主要是長(zhǎng)度、面積與體積，其關(guān)鍵是選擇合適的模型，如本題中雖然涉及直線和圓的

18、位置關(guān)系，但要注意點(diǎn)在圓的直徑上運(yùn)動(dòng)，即該概率為線段的長(zhǎng)度之比. 7．【2018屆河南省鞏義市市直高中下學(xué)期模擬】已知點(diǎn)，在：上隨機(jī)取一點(diǎn)，則的概率為_(kāi)_________． 【答案】 8．【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中高考前訓(xùn)練】如圖，一銅錢(qián)的直徑為32毫米，穿徑（即銅錢(qián)內(nèi)的正方形小孔邊長(zhǎng)）為8毫米，現(xiàn)向該銅錢(qián)內(nèi)隨機(jī)地投入一粒米（米的大小忽略不計(jì)），則該粒米落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為_(kāi)_______． 【答案】. 【解析】分析：先分別計(jì)算圓與正方形面積，再根據(jù)幾何概型概率公式求結(jié)果. 詳解：因?yàn)閳A與正方形面積分別為，所以該粒米落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為.

19、9．【2018屆山東省濰坊市青州市三?！恳阎矫嫦蛄浚瑒t事件“”的概率為_(kāi)_________． 【答案】 10．【2018屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)5月押題】已知平面區(qū)域，現(xiàn)向該區(qū)域內(nèi)任意擲點(diǎn)，則點(diǎn)落在曲線下方的概率為_(kāi)_________． 【答案】 點(diǎn)睛：（1）本題考查定積分和幾何概型的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法. (2)解答本題的關(guān)鍵是求點(diǎn)落在曲線下方的面積. 11．【2018屆江西省南昌市三?！恐袊?guó)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增多的時(shí)候，它的周長(zhǎng)的極限是圓的周長(zhǎng)，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的概率____． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)幾何概型的概率公式分別求出正六邊形的面積和圓的面積即可 詳解：設(shè)圓心為O，圓的半徑為1，則正六邊形的面積S=則對(duì)應(yīng)的概率P=，故答案為. 12．【2018屆山東省威海市二模】在中，在邊上任取一點(diǎn)，滿足的概率為_(kāi)______. 【答案】.