2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率 第二節(jié) 古典概型學(xué)案 文（含解析）新人教A版

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1、第二節(jié)　古典概型 2019考綱考題考情 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的。 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。 (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個。 (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。 3．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝。 4．古典概型的概率公式 P(A)＝。 一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具

2、有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型。正確地判斷試驗的類型是解決概率問題的關(guān)鍵。 一、走進教材 1．(必修3P134A組T5改編)一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,4的4張卡片，隨機地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　從盒中裝有數(shù)字1,2,3,4的4張卡片中隨機抽取2張，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6種，取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的取法有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4種，故取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概

3、率為＝。故選D。 答案　D 2．(必修3P145A組T5改編)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為________。 解析　設(shè)3個紅色球為A1，A2，A3,2個黃色球為B1，B2，從5個球中，隨機取出2個球的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10種。其中2個球的顏色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6種，所以所求概率為＝。 答案　 二、走近高考 3．(2018·全國卷Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同

4、學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解析　將2名男同學(xué)分別記為x，y,3名女同學(xué)分別記為a，b，c。設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝＝0.3。故選D。 答案　D 4．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回

5、后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 解析　兩次抽取卡片上的數(shù)字所有可能有5×5＝25(種)，其中兩次抽取卡片上的數(shù)大小相等的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，共5種，剩余的25－5＝20(種)里第一張卡片上的數(shù)比第二張卡片上的數(shù)大的種數(shù)和第一張卡片上的數(shù)比第二張卡片上的數(shù)小的種數(shù)相同，各有10種，因此第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為＝，故選D。 答案　D 三、走出誤區(qū) 微提醒：①基本事件個數(shù)錯誤；②古典概型公式應(yīng)用錯誤。 5．從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和

6、為偶數(shù)的概率是________。 解析　總的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個。兩個不同的數(shù)之和為偶數(shù)包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4個，所以所求概率P＝＝。 答案　 6．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件。若每次取后放回，連續(xù)取兩次，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率為________。 解析　有放回地連續(xù)取出兩件，其所有可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(

7、a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9個基本事件。由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等，因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的。用B表示事件“恰有一件次品”，則B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以事件B由4個基本事件組成，所以P(B)＝。 答案　 7．小王同學(xué)有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時小王都將同顏色的圓珠筆和筆帽套在一起，但偶爾會將圓珠筆和筆帽搭配成不同色。若將圓珠筆和筆帽隨機套在一起，則小王將兩支圓珠筆和筆帽的顏色混搭的概率是________。 解析　設(shè)三支款式相同、顏色不同的圓珠筆分別為A，

8、B，C與之相同顏色的筆帽分別為a，b，c。將筆和筆帽隨機套在一起，基本事件有(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6個，其中滿足條件的有3個。故所求事件的概率P＝＝。 答案　 考點一較簡單的古典概型問題 【例1】　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160?，F(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動。 (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示

9、，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作。 ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率。 解　(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人。 (2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)

10、}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種。 ②由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種。所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝。 本題在用列舉法列出隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果時，需注意兩名同學(xué)之間無先后順序，做到不重不漏。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·南昌摸底調(diào)研)甲邀請乙、丙、丁三人加入了“兄弟”這個微信群聊，為慶祝兄弟相聚，甲發(fā)了一個9元的紅包，被乙、丙、丁三人搶完

11、，已知三人搶到的錢數(shù)均為整數(shù)，且每人至少搶到2元，則丙獲得“手氣最佳”(即丙領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他兩人)的概率是(　　) A． B． C． D． (2)(2019·福州高三期末)某商店隨機將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是________。 解析　(1)設(shè)乙、丙、丁分別搶到x元，y元，z元，記為(x，y，z)，則基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10個，其中符合丙獲得“手氣最

12、佳”的有4個，所以丙獲得“手氣最佳”(即丙領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他兩人)的概率P＝＝。故選C。 (2)記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計算公式，得所求概率P＝＝。 答案　(1)C　(2) 考點二古典概型的交匯問題微點小專題 方向1：古典概型與平面向量的交匯 【例2】　從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為________。

13、 解析　由題意可知m＝(a，b)所有基本事件有4×3＝12種情況。m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)，共2種情況，所以所求概率為。 答案　 古典概型與平面向量交匯問題的一般處理方法 1．根據(jù)平面向量的知識，進行坐標(biāo)運算，得出事件滿足的約束條件。 2．根據(jù)約束條件列舉出所有符合要求的基本事件。 3．利用古典概型的概率計算公式求解。 方向2：古典概型與解析幾何的交匯 【例3】　將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，將第一次向上的點數(shù)記為m，第二次向上的點數(shù)記為n，曲線C：＋＝1。則曲線C的焦點在x軸上且離心率e≤的

14、概率等于(　　) A． B． C． D． 解析　因為離心率e≤，所以≤，解得≥。由列舉法得，當(dāng)m＝6時，n＝5,4,3；當(dāng)m＝5時，n＝4,3；當(dāng)m＝4時，n＝3,2；當(dāng)m＝3時，n＝2；當(dāng)m＝2時，n＝1，共9種情況，故其概率為＝。故選D。 答案　D 古典概型與解析幾何交匯問題的一般處理方法 1．根據(jù)解析幾何的知識，構(gòu)建事件滿足的約束條件。 2．根據(jù)約束條件列舉出所有符合條件的基本事件。 3．利用古典概型的概率計算公式求解。 方向3：古典概型與函數(shù)的交匯 【例4】　已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1，設(shè)集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4)，

15、分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)a和b得到數(shù)對(a，b)。 (1)列舉出所有的數(shù)對(a，b)，并求函數(shù)y＝f(x)有零點的概率； (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率。 解　(1)數(shù)對(a，b)的所有可能情況為(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15種。 函數(shù)y＝f(x)有零點，即Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種情況滿足條件，所以函數(shù)y＝f(x)有零

16、點的概率為＝。 (2)函數(shù)y＝f(x)圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝，y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則有≤1，即b≤2a，有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13種情況滿足條件，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為。 古典概型與函數(shù)交匯問題的處理方法 1．根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，確定相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足的條件。 2．根據(jù)系數(shù)滿足的條件進行分類考慮，求出所有符合條件的基本事件個數(shù)。 3．利用古典概型的概率計算公式求解概率。 【題

17、點對應(yīng)練】　 1．(方向1)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是________。 解析　由題意得，連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n所組成的(m，n)的所有可能情況共有36種，因為向量(m，n)與向量(1，－1)的夾角θ為銳角，m>0，n>0，所以(m，n)·(1，－1)>0，即m>n。滿足題意的情況如下：當(dāng)m＝2時，n＝1；當(dāng)m＝3時，n＝1,2；當(dāng)m＝4時，n＝1,2,3；當(dāng)m＝5時，n＝1,2,3,4；當(dāng)m＝6時，n＝1,2,3,4,5。所以滿足題意的情況共有15種，故所求事件的概率為＝。 答案　 2．(方

18、向2)以連續(xù)拋擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m，n作為點P的坐標(biāo)(m，n)，則點P在直線x＋y＝7上的概率為________。 解析　由題意知m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，所以(m，n)的所有情況共36種。點P在直線x＋y＝7上的情況有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種，所以點P在直線x＋y＝7上的概率為＝。 答案　 3．(方向3)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1，其中a∈{2,4}，b∈{1,3}，則f(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D．0 解析　(a，b)的所有可能情況

19、為(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，記事件A為“f(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)”，由條件知f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－，若f(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)，則－≥－1，即b≤a，所以事件A包含(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3個基本事件，所以P(A)＝。故選B。 答案　B 考點三古典概型的綜合問題 【例5】　(2019·貴陽市監(jiān)測考試)A市某校學(xué)生社團針對“A市的發(fā)展環(huán)境”對男、女各10名學(xué)生進行問卷調(diào)查，每名學(xué)生給出評分(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖。 (1)計算女生打分的平均分，并根據(jù)莖葉圖判斷男生、女生打分誰更分散(不必說明理由)；

20、 (2)如圖②是按該20名學(xué)生的評分繪制的頻率分布直方圖(每個分組包含左端點，不包含右端點)，求a的值； (3)從打分在70分以下(不含70分)的學(xué)生中抽取2人，求有女生被抽中的概率。 解　(1)女生打分的平均數(shù)為×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；男生打分比較分散。 (2)由莖葉圖可知，20名學(xué)生中評分在[70,80)內(nèi)的有9人，則a＝÷10＝0.045。 (3)設(shè)“有女生被抽中”為事件A，由莖葉圖可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分別記為a，b，c，d,2名女生分別記為m，n，從中抽取2人的基本事件有ab，

21、ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15種，其中有女生被抽中的事件有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9種，所以P(A)＝＝。 求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路 1．依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉需要的信息。 2．進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算。 【變式訓(xùn)練】　(2019·開封高三定位考試)為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度下(要求最高溫度t滿足：27 ℃≤t≤30 ℃)的生長狀況，某農(nóng)學(xué)家需要在10月份去某地進行為期10天的連續(xù)觀察試驗?，F(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)近十年10月

22、份日平均最高溫度和日平均最低溫度(單位：℃)的記錄如下： (1)根據(jù)農(nóng)學(xué)家的試驗?zāi)康暮驮囼炛芷冢瑢懗鲛r(nóng)學(xué)家觀察試驗的起始日期； (2)設(shè)該地區(qū)今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高溫度的方差和最低溫度的方差分別為D1，D2，估計D1，D2的大小(直接寫出結(jié)論即可)； (3)從10月份的31天中隨機選擇連續(xù)3天，求所選3天中日平均最高溫度值都在[27,30]的概率。 解　(1)農(nóng)學(xué)家觀察試驗的起始日期為10月7日或10月8日。 (2)D1>D2。 (3)設(shè)“所選3天中日平均最高溫度值都在[27,30]”為事件A，則基本事件為(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)，共29個。 由題圖可以看出，事件A中包含10個基本事件， 所以P(A)＝， 故所選3天中日平均最高溫度值都在[27,30]的概率為。 9