2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 專題跟蹤訓(xùn)練15 三角恒等變換與解三角形 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 專題跟蹤訓(xùn)練15 三角恒等變換與解三角形 理 一、選擇題 1．(2018·廣東七校聯(lián)考)已知sin＋cosα＝－，則cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由sin＋cosα＝－，得sinα＋cosα＋cosα＝－，即sinα＋cosα＝－， 亦即sin＝－， ∴sin＝－， ∴cos＝sin＝sin ＝－，故選C. [答案]　C 2．(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知sin＝，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝

2、cos＝cos＝－cos＝－. [答案]　D 3．(2018·湖北武漢模擬)在△ABC中，a＝，b＝，B＝，則A等于(　　) A. B. C. D.或 [解析]　由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝或.又a

3、in2CcosC＝3sinCcos2C,2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，tan2C＝，∵B＝2C，∴C為銳角，∴tanC＝，C＝，B＝，A＝，故選A. [答案]　A 5．在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，則b＝(　　) A．14 B．6 C. D. [解析]　bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故選D. [答案]　D 6．(2018·山東日照二模)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD為

4、正三角形，則△BCD面積的最大值為(　　) A．2＋2 B. C.＋2 D.＋1 [解析]　在△ABC中，設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC2＝12＋22－2×1×2cosα，∵△ACD為正三角形，∴CD2＝AC2＝5－4cosα，S△BCD＝·2·CD·sin＝CD·sin＝CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)2＝CD2(1－sin2β)＝CD2－sin2α＝5－4cosα－sin2α＝(2－cosα)2，∵β<∠BAC，∴β為銳角，CD·cosβ＝2－co

5、sα，∴S△BCD＝CD·cosβ＋CD·sinβ＝·(2－cosα)＋sinα＝＋sin，當(dāng)α＝時(shí)，(S△BCD)max＝＋1. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·長(zhǎng)春二模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則A＝________. [解析]　由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，又A為三角形的內(nèi)角，故A＝120°. [答案]　120° 8．計(jì)算：4cos50°－tan40°＝_

6、_______. [解析]　4cos50°－tan40°＝4sin40°－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. [答案]　 9．(2018·安徽合肥一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為________． [解析]　已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R為△ABC的外接圓半徑)．利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，則2RsinC＝2，因?yàn)閏osC＝，所以sinC＝，所以R＝3.故△ABC的外接圓面積為9π. [答案]　9π 三、解答題

7、 10．(2018·江蘇卷)已知α，β為銳角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解]　(1)因?yàn)閠anα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα. 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝－. (2)因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)， 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因?yàn)閠anα＝，所以tan2α＝＝－. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 11．(2018·河北保定三模)在△A

8、BC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足cosB＝bcosA. (1)若sinA＝，a＋b＝10，求a； (2)若b＝3，a＝5，求△ABC的面積S. [解]　∵cosB＝bcosA， ∴由正弦定理得·cosB＝sinBcosA，即有sinCcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，則sinC·cosB＝sinC.∵sinC>0，∴cosB＝. (1)由cosB＝，得sinB＝， ∵sinA＝，∴＝＝. 又∵a＋b＝10，∴a＝4. (2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝3，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2

9、(舍去)， ∴S＝acsinB＝15. 12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋. (1)證明：a＋b＝2c； (2)求cosC的最小值． [解]　(1)證明：由題意知2＝＋， 化簡(jiǎn)得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB. 因?yàn)锳＋B＋C＝π， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC. 從而sinA＋sinB＝2sinC. 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)由(1)知c＝， 所以cosC＝＝ ＝－≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 故cosC的最小值為.