（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)案 理

《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)案 理（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1節(jié)　數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 最新考綱　1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 知 識(shí) 梳 理 1．?dāng)?shù)列的概念 (1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)． (2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值． (3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法． 2．?dāng)?shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列

2、 項(xiàng)數(shù)有限 無(wú)窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限 按項(xiàng)與項(xiàng)間 的大小關(guān)系 分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中 n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他 標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動(dòng)數(shù)列 從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1

3、(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式． 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝ [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1．一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)數(shù)列1，2，3，4，…的通項(xiàng)公式為an＝n； (2)數(shù)列2，4，6，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n； (3)數(shù)列1，2，4，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1； (4)數(shù)列1，4，9，16，…的通項(xiàng)公式為an＝n2； (5)數(shù)列1，，，，…的通項(xiàng)公式為an＝. 2．已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有兩種常見(jiàn)思路： (1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想； (2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 診 斷 自

4、測(cè) 1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．(　　) (2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的．(　　) (3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．(　　) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．(　　) 解析　(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列． (2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的． (3)不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．15 B．16

5、 C．49 D．64 解析　當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案　A 3．已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2sin D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1 解析　對(duì)n＝1，2，3，4進(jìn)行驗(yàn)證，an＝2sin不合題意，故選C. 答案　C 4．已知an＝n2＋λn，且對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 解析　因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整

6、理， 得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*) 因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案　(－3，＋∞) 5．(2018·臺(tái)州月考)在數(shù)列{xn}中，x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，則數(shù)列{xn}的第2項(xiàng)是________，所有項(xiàng)和T＝________． 解析　∵x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)， ∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0. 數(shù)列{xn}所有項(xiàng)的和為10＋3＋0＝13. 答案　3　13 6．(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，

7、寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________． 解析　a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)， a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)， ∴an＝1＋5×(n－1)＝5n－4. 答案　5n－4 考點(diǎn)一　由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng) 【例1】 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 解　(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(－1)n，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值

8、，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2，4，6，…，相鄰的偶數(shù)，故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (4)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9，99，999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1

9、)． 規(guī)律方法　根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征； (3)拆項(xiàng)后的各部分特征； (4)符號(hào)特征．應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想． 【訓(xùn)練1】 (1)數(shù)列0，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N*) (2)數(shù)列－，，－，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________． 解析　(1)注意到分子0，2，4，6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可． (2)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等

10、于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n. 答案　(1)C　(2)(－1)n 考點(diǎn)二　由Sn與an的關(guān)系求an(易錯(cuò)警示) 【例2】 (1)(2017·溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________． (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________． 解析　(1)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{

11、an}是以a1＝－1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1. 顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式． ∴an＝ 答案　(1)－2n－1　(2) 規(guī)律方法　數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝①當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；②當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． 易錯(cuò)警示　在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適

12、用于n≥2的情形． 【訓(xùn)練2】 (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________． (2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________． 解析　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式． 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝ (2)由Sn＝an＋，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1＋， 兩式相減，得an＝an－an－1， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝－2an－1，即＝

13、－2. 又n＝1時(shí)，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， ∴an＝(－2)n－1. 答案　(1)　(2)(－2)n－1 考點(diǎn)三　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 【例3】 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________． (2)(2018·衢州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝________． 解析　(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首

14、項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1， ∴n≥2時(shí)，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3， 將以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝3×2n－1－2(當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足)． (2)由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1得an＋1－an＝＝×，所以a2－a1＝×，a3－a2＝×，…，an－1－an－2＝，an－an－1＝，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝×＋1＝－. 答案　(1)3×2n－1－2　(2)－ 規(guī)律方法　(1

15、)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求通項(xiàng)公式，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng)． (2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通項(xiàng)． (3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵． 【訓(xùn)練3】 在數(shù)列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)公式an＝________． (2)(一題多解)若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則通項(xiàng)公式an＝________． (3)若a1＝1，an

16、＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________． 解析　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1. (2)法一　因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)，所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1，以上(n－1)個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘得an＝a1···…·＝＝. 法二　因?yàn)閍n＝···…···a1＝···…·1＝. (3)設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3. 故an＋1＋3＝2(an＋3)．

17、 令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2. 所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3. 答案　(1)＋1　(2)　(3)2n＋1－3 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列，－，，－，…的第10項(xiàng)是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號(hào)、分母、分子．很容易歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－. 答案　C 2．?dāng)?shù)列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于(　

18、　) A. B．cos C．cos π D．cos π 解析　令n＝1，2，3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確． 答案　D 3．(一題多解)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝(　　) A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n－1 D．2(n－1) 解析　法一　由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗(yàn)證可知an＝2n－1. 法二　由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1. 答案　A 4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋

19、1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析　依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4. 答案　D 5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an等于(　　) A．2n－1 B．n2 C. D. 解析　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝. 答案　D 6．(2018·寧波鎮(zhèn)海中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn

20、＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若對(duì)任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．(3，5) B．(4，6) C．[3，5) D．[4，6) 解析　由Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，得Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2.兩式相減得，an＋1＋an＝8n＋4(n≥2)，則an＋2＋an＋1＝8n＋12.兩式相減得，an＋2－an＝8(n≥2)．又由a1＝a，a1＋a2＋a1＝16得a2＝16－2a，又由a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝4×32得a3＝4＋2a，所以a2n＝a2＋8(n－1)＝8n＋8－2a，a2n＋1＝a3＋8(n－1)＝8n－4＋2

21、a.因?yàn)閷?duì)任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以解得3＜a＜5. 答案　A 二、填空題 7．若數(shù)列{an}滿足關(guān)系an＋1＝1＋，a8＝，則a5＝________． 解析　借助遞推關(guān)系，則a8遞推依次得到a7＝，a6＝，a5＝. 答案　 8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，則a3－a1＝________． 解析　因?yàn)閍nan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，由于a1≠0，則a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1. 答案　1 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋

22、2n＋1(n∈N*)，則a1＝________；an＝________． 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝ 答案　4　 10．(2018·紹興一中適應(yīng)性考試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝ (－1)n·(an－2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______，數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為_(kāi)_______． 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式，則其通項(xiàng)公式為an＝當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－

23、1；當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(－1)n·(an－2)＝(－1)n·2(n－1)，則數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49. 答案　an＝　49 三、解答題 11．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？ (2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？ (3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？ 解　(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第

24、16項(xiàng)． (3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)． ∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)． 12．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設(shè)知a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是 a1＝1， a2＝a1， a3＝a2， …… an－1＝an－2， an＝an－1.

25、 將以上n個(gè)等式兩端分別相乘， 整理得an＝. 顯然，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式． 綜上可知，{an}的通項(xiàng)公式an＝. 能力提升題組 13．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　) A. B. C．4 D．0 解析　∵an＝－3＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0. 答案　D 14．(2018·杭州調(diào)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，則a2 019的值為_(kāi)_______． 解析　由題意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1

26、，a7＝a6－a5＝2，∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，而2 019＝6×336＋3， ∴a2 019＝a3＝1. 答案　1 15．(2017·金麗衢十二校聯(lián)考)對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果ai＋i(i＝1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”．不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件： ①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一個(gè)排列； ②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”． 下面三個(gè)數(shù)列： ①數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(n2－1)

27、； ②數(shù)列1，2，3，4，5； ③1，2，3，…，11. 具有“P性質(zhì)”的為_(kāi)_______；具有“變換P性質(zhì)”的為_(kāi)_______． 解析　對(duì)于①，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－n，∵a1＝0，∴an＝n2－n，∴ai＋i＝i2(i＝1，2，3，…)為完全平方數(shù)，∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列{bn}為3，2，1，5，4，具有“P性質(zhì)”，∴數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”；對(duì)于③，因?yàn)?1，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質(zhì)”． 答案?、佟、? 16．(2018·臺(tái)州測(cè)試)

28、已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍． 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)． 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，可知1>a1>a2>a3>a4， a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)． ∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋， 已知對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， 可知5<<6，即－10

29、<－8. 即a的取值范圍是(－10，－8)． 17．(一題多解)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝a·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1＜cn. (1)解　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4. 對(duì)于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n. 又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4適合上式，故{an}的通項(xiàng)公式an＝4n. 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1. (求bn法一)對(duì)于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn， 得

30、bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，bn＝bn－1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故bn＝21－n. (求bn法二)對(duì)于n≥2，由Tn＝2－bn，得Tn＝2－(Tn－Tn－1)， 2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n. 又n＝1時(shí)，b1＝1適合上式，故{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n. (2)證明　(法一)由cn＝a·bn＝n225－n， 得＝. 當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，1＋≤＜，即cn＋1＜cn. (法二)由cn＝a·bn＝n225－n，得 cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]． 當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1－cn＜0，即cn＋1＜cn. 13