2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式的證明學(xué)案 理(含解析)新人教A版選修4-5



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1、第二節(jié) 不等式的證明 2019考綱考題考情 1.比較法 作差比較法與作商比較法的基本原理: (1)作差法:a-b>0?a>b。 (2)作商法:>1?a>b(a>0,b>0)。 2.綜合法與分析法 (1)綜合法:證明不等式時(shí),從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)推理論證而得出命題成立,綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā? (2)分析法:證明命題時(shí),從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立。這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。 3.反證法 先假設(shè)要證的
2、命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法。 4.放縮法 證明不等式時(shí),通過(guò)把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小,以利于化簡(jiǎn),并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立,這種方法稱為放縮法。 5.柯西不等式 設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)成立。 1.a(chǎn)2≥0(a∈R)。 2.(a-b)2≥0(a,b∈R),其變形有a
3、2+b2≥2ab,2≥ab,a2+b2≥(a+b)2。 3.若a,b為正實(shí)數(shù),則≥,特別地,+≥2。 4.a(chǎn)2+b2+c2≥ab+bc+ca。 一、走進(jìn)教材 1.(選修4-5P23T1改編)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,則M,N的大小關(guān)系為_(kāi)_______。 解析 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b)。因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2b。 答案 M≥N 2.
4、(選修4-5P24例3改編)求證:+<2+。 證明?。?2+ ?(+)2<(2+)2 ?10+2<10+4 ?<2?21<24。故原不等式成立。 二、走出誤區(qū) 微提醒:①不等式放縮不當(dāng)致錯(cuò);②運(yùn)用柯西不等式不能合理變形。 3.設(shè)a,b∈(0,+∞),且ab-a-b=1,則有( ) A.a(chǎn)+b≥2(+1) B.a(chǎn)+b≤+1 C.a(chǎn)+b<+1 D.a(chǎn)+b>2(+1) 解析 由已知得a+b+1=ab≤2,故有(a+b)2-4(a+b)-4≥0,解得a+b≥2+2或a+b≤-2+2(舍去),即a+b≥2+2。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=+1時(shí)取等號(hào))故選A。 答案 A 4.已知
5、三個(gè)互不相等的正數(shù)a,b,c滿足abc=1。試證明:++<++。 證明 因?yàn)閍,b,c>0,且互不相等,abc=1, 所以++=++<++=++, 即++<++。 5.設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,求的最小值。 解 根據(jù)柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值為。 考點(diǎn)一 比較法證明不等式 【例1】 (1)當(dāng)p,q都是正數(shù)且p+q=1時(shí),試比較(px+qy)2與px2+qy2的大小。 (2)已知a,b∈R+,求證:aabb≥(ab)。 解 (1)(
6、px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy。 因?yàn)閜+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p。 所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2。 因?yàn)閜,q為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0, 所以(px+qy)2≤px2+qy2。 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),不等式中等號(hào)成立。 (2)=a·b=。 當(dāng)a=b時(shí),=1; 當(dāng)a>b時(shí),>1,>0, 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知>1, 當(dāng)a1。 所以aabb
7、≥(ab)。 1.作差比較法證明不等式的步驟 (1)作差;(2)變形;(3)判斷差的符號(hào);(4)下結(jié)論。其中“變形”是關(guān)鍵,通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式,再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)。 2.作商比較法證明不等式的步驟 (1)作商;(2)變形;(3)判斷與1的大小關(guān)系;(4)得出結(jié)論。其中“作商”要注意兩式的正、負(fù),不能隨意作商。 【變式訓(xùn)練】 (2019·陜西質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|。 (1)解不等式f(x)≤3; (2)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域?yàn)镸,若t∈M,證明t2+1≥+3t。 解 (1)依題意,得f(
8、x)= 所以f(x)≤3?或或解得-1≤x≤1, 即不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤1}。 (2)g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)(2x-1)(2x+2)≤0時(shí)取等號(hào), 所以M=[3,+∞)。 t2+1-3t-==, 因?yàn)閠∈M,所以t-3≥0,t2+1>0, 所以≥0, 所以t2+1≥+3t。 考點(diǎn)二綜合法證明不等式 【例2】 (2018·山西晉中二模)已知函數(shù)f(x)=|x+1|。 (1)若?x∈R,使不等式f(x-2)-f(x-3)≥u成立,求滿足條件的實(shí)數(shù)u的集合M; (2)已知t為集
9、合M中的最大正整數(shù),若a>1,b>1,c>1,且(a-1)(b-1)(c-1)=t,求證:abc≥8。 解 (1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|= 則-1≤f(x)≤1, 由于?x∈R,使不等式|x-1|-|x-2|≥u成立, 所以u(píng)≤1,即M={u|u≤1}。 (2)證明:由(1)知t=1, 則(a-1)(b-1)(c-1)=1, 因?yàn)閍>1,b>1,c>1, 所以a-1>0,b-1>0,c-1>0, 則a=(a-1)+1≥2>0(當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立), b=(b-1)+1≥2>0(當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí)等號(hào)成立), c=(c-1)+1≥
10、2>0(當(dāng)且僅當(dāng)c=2時(shí)等號(hào)成立), 則abc≥8=8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí)等號(hào)成立)。 綜合法證明不等式的方法 1.綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系。合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵。 2.在用綜合法證明不等式時(shí),不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的。在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件。 【變式訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|。 (1)求f(x)的最小值m; (2)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:++≥3。 解 (1)當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=-2(x+1)-(x
11、-2)=-3x∈(3,+∞); 當(dāng)-1≤x<2時(shí),f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6); 當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞)。 綜上,f(x)的最小值m=3。 (2)證明:因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=3, 所以+++(a+b+c) =++ ≥2=2(a+b+c), 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),取“=”, 所以++≥a+b+c,即++≥3。 考點(diǎn)三分析法證明不等式 【例3】 已知函數(shù)f(x)=|x+1|。 (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M; (2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f
12、(-b)。
解 (1)由題意,|x+1|<|2x+1|-1,
①當(dāng)x≤-1時(shí),不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1;
②當(dāng)-1
13、2+1>0,
即證(a2-1)(b2-1)>0。
因?yàn)閍,b∈M,所以a2>1,b2>1,
所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立。
分析法的應(yīng)用條件
當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系,較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來(lái)尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆。
【變式訓(xùn)練】 已知a>0,b>0,2c>a+b,求證:c-
14、。
因?yàn)閍>0,所以只要證a-2c<-b,
即證a+b<2c。
由已知條件知,上式顯然成立,所以原不等式成立。
考點(diǎn)四柯西不等式的應(yīng)用
【例4】 (2018·江蘇高考)若x,y,z為實(shí)數(shù),且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值。
解 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2。
因?yàn)閤+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),不等式取等號(hào),此時(shí)x=,y=,z=,
所以x2+y2+z2的最小值為4。
1.利用柯西不等式證明不等式,先使用拆項(xiàng)重組、添項(xiàng)等方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,再使用柯西不 15、等式解決有關(guān)問(wèn)題。
2.利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此一定不能忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件。
【變式訓(xùn)練】 (1)已知a,b,c∈R,且滿足a+2b+3c=6,則a2+2b2+3c2的最小值為_(kāi)_______。
(2)設(shè)x,y,z∈R,且++=1,則x+y+z的取值范圍是________。
解析 (1)由柯西不等式,得(1+2+3)(a2+2b2+3c2)≥(1·a+·b+·c)2。得6(a2+2b2+3c2)≥(a+2b+3c)2=36。所以a2+2b2+3c2≥6。當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=b=c=1時(shí),上式等號(hào)成立。所以a2+2b2+3 16、c2的最小值為6。
(2)由柯西不等式,得[42+()2+22]≥2,即25×1≥(x+y+z)2。所以5≥|x+y+z|,所以-5≤x+y+z≤5。即x+y+z的取值范圍是[-5,5]。
答案 (1)6 (2)[-5,5]
1.(配合例1使用)已知a,b為正實(shí)數(shù)。
(1)求證:+≥a+b。
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y=+(0 17、
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x即x=時(shí)等號(hào)成立。
所以函數(shù)y=+(0 18、a2+b2+c2),
所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2。
因?yàn)閍+b+c=1,所以a2+b2+c2≥,
所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥。
(2)設(shè)f(x)=|x-a|+|2x-1|,
則“對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立”等價(jià)于“f(x)min≥2”。
當(dāng)a<時(shí),f(x)=
此時(shí)f(x)min=f=-a,
要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必須-a≥2,解得a≤-。
當(dāng)a=時(shí),≥不可能恒成立。
當(dāng)a>時(shí),f(x)=
此時(shí)f(x)min=f=a-,
要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必須a-≥2,解得a≥。
19、綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪。
3.(配合例4使用)已知不等式|2x-3| 20、+b2+c2的最小值是1。
4.(配合例4使用)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4。
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值。
解 (1)因?yàn)閨x+a|+|x-b|≥|a+b|,
所以f(x)≥|a+b|+c,
當(dāng)且僅當(dāng)(x+a)(x-b)≤0時(shí),等號(hào)成立,
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值為a+b+c,
所以a+b+c=4。
(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得
(4+9+1)≥2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號(hào)成立,
又因?yàn)閍+b+c=4,
所以a=,b=,c=時(shí),等號(hào)成立,
所以a2+b2+c2的最小值為。
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