5、n 2＝sin的圖象．
2．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，可把函數(shù)y＝sin(－x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．( × )
提示 y＝sin，故要得到y(tǒng)＝sin的圖象，可把函數(shù)y＝sin(－x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度．
3．把函數(shù)y＝sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象．( × )
提示 應(yīng)得到y(tǒng)＝sin x的圖象．
4．函數(shù)y＝cos的圖象是由函數(shù)y＝cos x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．( √ )
提示 由平移的規(guī)律可知其正確.
類型一 平移變換
例1 函數(shù)y＝sin的圖象可以看作是由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到的
6、？
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
解 函數(shù)y＝sin的圖象，可以看作是把曲線y＝sin x上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的．
引申探究
1．若將本例中y＝sin改為y＝cos，其它不變，又該怎樣變換？
解 y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
2．若將本例改為：函數(shù)y＝sin的圖象可由y＝sin 2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到？
解 y＝sin＝sin，可由y＝sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
反思與感悟 對(duì)平移變換應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同，若函數(shù)名不同則先化為同名函數(shù)．再觀察
7、x前系數(shù)，當(dāng)x前系數(shù)不為1時(shí)，應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位和方向，方向遵循左加右減，且從ωx→ωx＋φ的平移量為個(gè)單位長(zhǎng)度．
跟蹤訓(xùn)練1 將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 依題意將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
y＝sin 2＝sin.
類型二 伸縮變換
例2 將函數(shù)y＝sin圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍，可得到函數(shù)__________的圖象．
8、
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的伸縮變換
答案 y＝sin
引申探究
若將本例中“橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍”改為“縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍”，其它條件不變，則可得到函數(shù)解析式為_(kāi)_______．
答案 y＝5sin
反思與感悟 對(duì)于函數(shù)y＝sin x，若橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的ω(ω>1)倍，則得到函數(shù)y＝sin .若縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的A(A>1)倍，則得到函數(shù)y＝Asin x，兩者可理解為橫向伸縮是反比例伸縮變換，縱向伸縮是正比例伸縮變換．
跟蹤訓(xùn)練2 (2017·合肥高一檢測(cè))把y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到的解析式是_
9、_______．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的伸縮變換
答案 y＝sin 2x
類型三 圖象變換的綜合應(yīng)用
例3 把函數(shù)y＝f(x)的圖象上的各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再把縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得圖象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
解 y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
反思與感悟 (1)已知變換途徑及變換后的函數(shù)解析式，求變換前函數(shù)圖象的解析式，宜采用逆
10、變換的方法．
(2)已知函數(shù)f(x)圖象的伸縮變換情況，求變換前后圖象的解析式．要明確伸縮的方向及量，然后確定出A或ω即可．
跟蹤訓(xùn)練3 將函數(shù)y＝2sin的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y＝2sin的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值為，故選B.
1．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)
11、的函數(shù)為( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 D
解析 函數(shù)y＝2sin的周期為T＝＝π，向右平移個(gè)周期，即向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D.
2．要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 的圖象( )
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
3．要得到函數(shù)y
12、＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象( )
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 y＝cos＝sin
＝sin＝sin.
由題意知，要得到y(tǒng)＝sin的圖象，
只要將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．
4．將函數(shù)y＝sin(－2x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解析式為_(kāi)_________________．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 y＝－co
13、s 2x
解析 y＝sin(－2x)y＝sin，
即y＝sin＝－sin＝－cos 2x.
5．將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g＝________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案?。?
解析 將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝2cos 2x，
則g(x)＝2cos 2＝2cos，
故g＝2cos＝－2.
1．由y＝sin x的圖象，通過(guò)變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象
14、，其變化途徑有兩條
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：(1)是先相位變換后周期變換，平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度．(2)是先周期變換后相位變換，平移個(gè)單位長(zhǎng)度，這是很易出錯(cuò)的地方，應(yīng)特別注意．
2．類似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象也可由y＝cos x的圖象變換得到.
一、選擇題
1．(2017·湖州期末)要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的
15、圖象( )
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin＝sin，
所以只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可．
2．若把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)＝sin x的圖象，則m的最小值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
解析 依題意，y＝sin＝sin x，
∴m－＝2kπ(k
16、∈Z)，∴m＝＋2kπ(k∈Z)，
又m>0，∴m的最小值為.
3．為得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝sin x的圖象( )
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
解析 y＝cos＝sin
＝sin，
所以只需將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．
4．把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是( )
A．非奇非偶函數(shù)
B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
C．奇函數(shù)
D．偶函數(shù)
考點(diǎn) 三角函數(shù)
17、圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin＝sin＝－cos 2x的圖象，y＝－cos 2x是偶函數(shù)．
5．(2017·荊州高一檢測(cè))把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是( )
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得y1＝cos x＋1，向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得y2＝cos(x－1)
18、＋1，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得y3＝cos(x－1)．令x＝0，得y3>0，令x＝＋1，得y3＝0，觀察即得答案．
6．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．若所得圖象與原圖象重合，則ω的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 B
解析 對(duì)于B選項(xiàng)，f(x)＝sin(6x＋φ)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y＝sin＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的圖象．
7．為了得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y＝2sin x，x∈R的圖象
19、上所有的點(diǎn)( )
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 C
解析 先將y＝2sin x，x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象．
二、
20、填空題
8．函數(shù)y＝sin的圖象可以看作把函數(shù)y＝sin 2x的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 右
9．將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 y＝cos
解析 由題意得所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝cos 2＝cos.
10．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sin
21、x的圖象，則f＝________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案
解析 y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再對(duì)每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)＝sin的圖象，即為f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象，所以f(x)＝sin，f＝.
11．要得到y(tǒng)＝sin的圖象，需將函數(shù)y＝cos的圖象上所有的點(diǎn)至少向左平移________個(gè)單位長(zhǎng)度．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案
解析 cos＝sin，將y＝sin的圖象上所有的點(diǎn)向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝sin的圖象
22、．
令＋＝2kπ＋，k∈Z.∴φ＝4kπ－，k∈Z.
∴當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝是φ的最小正值．
12．某同學(xué)給出了以下判斷：
①將y＝cos x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin x的圖象；
②將y＝sin x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到y(tǒng)＝sin(x＋2)的圖象；
③將y＝sin(－x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(－x－2)的圖象；
④函數(shù)y＝sin的圖象是由y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的．
其中正確的結(jié)論是______．(將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案?、?/p>
23、③
三、解答題
13．使函數(shù)y＝f(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后再將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的曲線與y＝sin 2x的圖象相同，求f(x)的表達(dá)式．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
解 方法一 (正向變換)
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
∴f＝sin 2x.
令2x＋＝t，則2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二 (逆向變換)
根據(jù)題意，y＝sin 2x
y＝sin 2＝sin
y＝sin.
四、探究與拓展
14．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)將函數(shù)
24、f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則|φ|的最小值為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到sin，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到sin，此函數(shù)圖象關(guān)于x＝對(duì)稱，
所以令x＝得sin＝sin＝±1，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，得φ＝－＋kπ，k∈Z，則|φ|的最小值為.
15．已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx，其中常數(shù)ω>0.
(1)若y
25、＝f(x)在上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
(2)令ω＝2，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，區(qū)間[a，b](a，b∈R且a
（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象（一）學(xué)案 新人教A版必修2
