2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第五章 三角函數(shù) 6 三角恒等變換復習課學案 新人教A版必修第一冊

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1、復習課(六)　三角恒等變換 考點一　三角函數(shù)的求值問題 三角函數(shù)求值常見的有給角求值、給值求值、給值求角．給角求值通常找到所給角之間及與特殊角之間的關系，利用三角公式達到相消求值．給值求值最為重要，通常要尋求已知角與所求角的關系，用已知角表示未知角從而求解．給值求角在上面基礎上求出所求角的一個三角函數(shù)值，再結合角的范圍求出角． 【典例1】　已知α，β為銳角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值． [解]　∵0<α<，0<β<， ∴－<α－β<， 又tan(α－β)＝－，∴－<α－β<0. 又∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝. 又tan(α－β)＝－＝， 且si

2、n2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， ∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝ 從而cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β) ＝×－×＝. 變角是給值求值問題最為常見的技巧，因此對于角的常見變換要熟悉． 常見的變角技巧有α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝－，4α＝2·(2α)，＝2·等． 另外還要熟悉一些互余、互補角的關系． [針對訓練] 1．設cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值． [解]　∵α∈，β∈， ∴α－∈，－β∈， ∴sin＝ ＝＝，

3、cos＝ ＝＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. 考點二　三角函數(shù)式的化簡與證明 三角函數(shù)式化簡的一般要求：(1)能求值的盡量求值． (2)化簡的結果最簡：次方數(shù)最低、三角函數(shù)名稱最少，三角函數(shù)的證明題型比較少，主要也是考查三角恒等變換． 【典例2】　化簡：. [解]　解法一：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 解法二：原式＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝2. 　三角函數(shù)式化簡的基本技巧 (1)sinα，cosα→湊倍角公式． (2)1±cosα→升冪公式． (3)asinα＋bcosα→輔助角公式asi

4、nα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中tanφ＝或asinα＋bcosα＝· cos(α－φ)，其中tanφ＝. [針對訓練] 2．求證：tan2x＋＝. [證明]　證法一：左邊＝＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝右邊． 原式得證． 證法二：右邊＝ ＝＝ ＝ ＝＝tan2x＋＝左邊． 原式得證． 考點三　三角函數(shù)的圖象及變換 三角函數(shù)的圖象及變換是三角函數(shù)的重點內容，包括“知圖求式”及平移伸縮變換．知圖求式關鍵是初相φ的確定，圖象變換注意變換的順序是先平移再伸縮還是先伸縮再平移． 【典例3】　如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段圖象． (1

5、)求此函數(shù)解析式； (2)分析一下該函數(shù)是如何通過y＝sinx變換得來的？ [解]　(1)由圖象知A＝＝， k＝＝－1， T＝2×＝π， ∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1. 當x＝，2×＋φ＝，∴φ＝， ∴所求函數(shù)解析式為 y＝sin－1. (2)把y＝sinx向左平移個單位得到y(tǒng)＝sin，然后縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)＝sin，再橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫統(tǒng)＝sin，最后把函數(shù)y＝sin的圖象向下平移1個單位，得到y(tǒng)＝sin－1的圖象． (1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常利用待定系數(shù)法

6、，由圖中的最高點、最低點求A；由函數(shù)的周期確定ω；由圖象上的關鍵點確定φ. (2)由圖象上的關鍵點確定φ時，若選取的是圖象與x軸的交點，則要弄清這個點屬于“五點法”中的哪一個點．“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可． [針對訓練] 3．把函數(shù)y＝sin圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位長度，那么所得圖象的一條對稱軸的方程為(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ [解析]　將y＝sin圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝sin的圖象；再將圖象向右平移個單位長度，

7、得到函數(shù)y＝sin＝sin＝－cos2x的圖象，故x＝－是其圖象的一條對稱軸的方程． [答案]　A 4．將函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向左平移φ個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　將函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向左平移φ個單位得到g(x)＝sin2(x＋φ)的圖象，g(x)為偶函數(shù)，故2φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤，∴2φ＝，∴φ＝. [答案]　C 考點四　三角函數(shù)的簡單應用 三角函數(shù)經(jīng)過三角恒等變換化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，從而研究其圖象性質是常見的熱點題型．要結合三角函數(shù)的性質將ωx＋φ看成一個整體研究．

8、 【典例4】　已知函數(shù)f(x)＝2sincos－2cos2＋. (1)若f(θ)＝0，求的值； (2)當x∈[0，π]時，求函數(shù)f(x)的值域． [解]　(1)f(x)＝2sincos－2cos2＋ ＝sinx－＝sinx－cosx. ∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，∴tanθ＝， ∴ ＝＝＝＝－2＋. (2)由(1)知f(x)＝sinx－cosx＝2sin， ∵x∈[0，π]，∴x－∈， 當x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝－； 當x－＝，即x＝時，f(x)max＝2， ∴當x∈[0，π]時，函數(shù)f(x)的值域為[－，2]． 研究三角函數(shù)

9、的圖象性質，通常是利用和差角公式、二倍角公式及其變形公式進行整理、化簡，將原函數(shù)變?yōu)閥＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，這是解答該類題目的關鍵所在． [針對訓練] 5．已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最大值與單調遞增區(qū)間； (2)求使f(x)≥3成立的x的集合． [解]　(1)因為f(x)＝1＋2sin2x＋2sinxcosx ＝1＋1－cos2x＋sin2x ＝2＋2 ＝2＋2 ＝2＋2sin， 所以當sin＝1時，函數(shù)f(x)取得最大值4. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f(x)≥3得sin≥，則2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以使f(x)≥3成立的x的集合為. 8