（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值與最小值，并會(huì)求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小.3.會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間． 知識(shí)點(diǎn)一　正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域 觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線． 正弦曲線： 余弦曲線： 可得如下性質(zhì)： 由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R，值域都是[－1,1

2、]． 對(duì)于正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R，有： 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1； 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1. 對(duì)于余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R，有： 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1； 當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時(shí)，取得最小值－1. 知識(shí)點(diǎn)二　正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 思考1　觀察正弦函數(shù)y＝sin x，x∈的圖象．正弦函數(shù)在上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？推廣到整個(gè)定義域呢？ 答案　觀察圖象可知： 當(dāng)x∈時(shí)，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，sin x的值由－1增大到1； 當(dāng)x∈時(shí)，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，sin x的值由1減

3、小到－1. 推廣到整個(gè)定義域可得 當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí)，正弦函數(shù)y＝sin x是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1； 當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí)，正弦函數(shù)y＝sin x是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1. 思考2　觀察余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象． 余弦函數(shù)在[－π，π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？推廣到整個(gè)定義域呢？ 答案　觀察圖象可知： 當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，曲線逐漸上升，函數(shù)是增函數(shù)，cos x的值由－1增大到1； 當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，曲線逐漸下降，函數(shù)是減函數(shù)，cos x的值由1減小到－1. 推廣到整個(gè)定義域可得 當(dāng)x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z時(shí)，余弦函數(shù)y＝

4、cos x是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1； 當(dāng)x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z時(shí)，余弦函數(shù)y＝cos x是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1. 思考3　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？ 答案　 y＝sin x的增區(qū)間為，k∈Z，減區(qū)間為，k∈Z. y＝cos x的增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，減區(qū)間為[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z. 梳理　 解析式 y＝sin x y＝cos x 圖象 值域 [－1,1] [－1,1] 單調(diào)性 在，k∈Z上遞增，在，k∈Z上遞減 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上遞增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z

5、上遞減 最值 當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－1 當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－1 1．正弦函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)．(　×　) 提示　正弦函數(shù)不是定義域上的單調(diào)函數(shù)． 2．正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù)．(　×　) 提示　正弦函數(shù)在第一象限不是增函數(shù)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，如?，但sin＝sin ＝，sin ＝，sin>sin . 3．存在實(shí)數(shù)x，使得cos x＝.(　×　) 提示　余弦函數(shù)最大值為1. 4．余弦函數(shù)y＝cos x在[0，π]上是減函數(shù)．(　√　) 提示　由余

6、弦函數(shù)的單調(diào)性可知正確． 類型一　求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例1　求函數(shù)y＝2sin的單調(diào)遞增區(qū)間． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解　y＝2sin＝－2sin， 令z＝x－，則y＝－2sin z. 因?yàn)閦是x的一次函數(shù)，所以要求y＝－2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間，即求sin z的單調(diào)遞減區(qū)間， 即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)． ∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)y＝2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 反思與感悟　用整體替換法求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos

7、(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，如果式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求其單調(diào)區(qū)間．求單調(diào)區(qū)間時(shí)，需將最終結(jié)果寫(xiě)成區(qū)間形式． 跟蹤訓(xùn)練1　求函數(shù)f(x)＝2cos的單調(diào)遞增區(qū)間． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 類型二　正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 命題角度1　利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例2　利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。? (1)sin 196°與cos 156°； (

8、2)cos與cos. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函數(shù)， ∴sin 16°－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos＝cos π＝cos＝cos π， cos＝cos π＝cos＝cos . ∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π

9、]上是減函數(shù)， ∴cos π”連接) 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　cos 1>cos 2>cos 3 解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上單調(diào)遞減，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命題角度2　已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 例3　已

10、知ω是正數(shù)，函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得 －＋≤x≤＋，k∈Z， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 根據(jù)題意，得?(k∈Z)， 從而有解得0<ω≤. 故ω的取值范圍是. 反思與感悟　此類問(wèn)題可先解出f(x)的單調(diào)區(qū)間，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，然后列不等式組求出參數(shù)范圍． 跟蹤訓(xùn)練3　已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0,2] 考點(diǎn)

11、　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　A 解析　取ω＝，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z，排除B，C. 取ω＝2，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z，排除D. 類型三　正弦、余弦函數(shù)的值域或最值 例4　求函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 解　令t＝sin x，因?yàn)閤∈， 所以t∈，則f(x)可化為 y＝2t2＋2t－＝22－1，t∈， 所以當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝1， 當(dāng)t＝1時(shí)，y

12、max＝， 故f(x)的值域是. 反思與感悟　一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)． 常見(jiàn)的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種： (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x，將函數(shù)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據(jù)二

13、次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值)． (3)對(duì)于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函數(shù)的最值還要注意對(duì)a的討論． 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝2asin x＋b的定義域?yàn)?，函?shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 解　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1. 若a＝0，不滿足題意． 若a＞0，則解得 若a＜0，則解得 故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12. 1．函數(shù)y＝cos x－1的最小值是(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、

14、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　余弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　C 解析　cos x∈[－1,1]，所以y＝cos x－1的最小值為－2. 2．函數(shù)y＝sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案　B 解析　由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴y＝sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 3．下列不等式中成立的是(　　) A．sin>sin B．sin 3>sin 2 C．sin π>sin

15、 D．sin 2>cos 1 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　D 解析　∵sin 2＝cos＝cos， 且0<2－<1<π，∴cos>cos 1， 即sin 2>cos 1.故選D. 4．函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　(－π，0] 解析　因?yàn)閥＝cos x在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)，所以只有－π

16、及取到最值時(shí)的自變量x的集合． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 解　∵－1≤sin x≤1， ∴當(dāng)sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z， 即x＝4kπ－π，k∈Z時(shí)，ymax＝5， 此時(shí)自變量x的集合為{x|x＝4kπ－π，k∈Z}； 當(dāng)sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝4kπ＋π，k∈Z時(shí)，ymin＝1， 此時(shí)自變量x的集合為{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}． 1．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法把ωx＋φ看成一個(gè)整體，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即

17、為增區(qū)間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若ω<0，先利用誘導(dǎo)公式把ω轉(zhuǎn)化為正數(shù)后，再利用上述整體思想求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間． 2．比較三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)值的大小比較，再利用單調(diào)性作出判斷． 3．求三角函數(shù)值域或最值的常用方法 將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復(fù)合函數(shù)，再利用換元或配方或利用函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)確定y的范圍. 一、選擇題 1．當(dāng)－≤x≤時(shí)，函數(shù)f(x)＝2sin有(　　) A．最大值1，最小值－1 B．最大值1，最小值－ C．最大值2，最小值－

18、2 D．最大值2，最小值－1 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　D 解析　因?yàn)椋躼≤，所以－≤x＋≤， 所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2. 2．下列函數(shù)中，周期為π，且在上為減函數(shù)的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案　A 3．下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．sin 11°

19、sin 168°

20、弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　B 解析　由y＝＝2－， 當(dāng)sin x＝－1時(shí)，y＝取得最小值－2. 5．(2017·全國(guó)Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B．1 C. D. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　A 解析　∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A. 6．函數(shù)y＝sin x的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?，則b－a的最大值與最小值之和等于(　　) A. B. C．2π D．4π 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余

21、弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　C 解析　作出y＝sin x的一個(gè)簡(jiǎn)圖，如圖所示， ∵函數(shù)的值域?yàn)椋? 且sin ＝sin ＝，sin ＝－1， ∴定義域[a，b]中，b－a的最小值為－＝， 定義域[a，b]中，b－a的最大值為2π＋－＝， 故可得，最大值與最小值之和為2π. 7．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω的值可為(　　) A. B. C．2 D．3 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　A 解析　由題意知，＝，即T＝，＝， ∴ω＝

22、. 二、填空題 8．sin 1，sin 2，sin 3按從小到大排列的順序?yàn)開(kāi)_________． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　sin 3

23、答案　[0,2] 解析　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤， ∴0≤sin≤1，∴y∈[0,2]． 10．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y＝cos的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)___________________． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 答案　(k∈Z) 11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)的最大值與最小值 答案　 解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1， ∴0≤ωx≤<， ∵f(x)max＝2sin ＝， ∴sin ＝，

24、＝， 即ω＝. 三、解答題 12．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． (1)y＝1－sin ；(2)y＝sin. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的判斷 解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z. ∴y＝1－sin 的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)． (2)要求函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求使y＝sin>0且單調(diào)遞減的區(qū)間． ∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z， 整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z. ∴函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 13．求下列函數(shù)的最大值

25、和最小值． (1)f(x)＝sin，x∈； (2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問(wèn)題 解　(1)當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈， 由函數(shù)圖象知， f(x)＝sin∈＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分別為1，－. (2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1＝22＋. 因?yàn)閤∈，所以≤sin x≤1. 當(dāng)sin x＝1時(shí)，ymax＝5； 當(dāng)sin x＝時(shí)，ymin＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分別為5，. 四、探究與拓

26、展 14．已知奇函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，α，β為銳角三角形兩內(nèi)角，則(　　) A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β) C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)，∴>α>－β>0， ∴sin α>sin，即1>sin α>cos β>0， ∴－1<－sin α<－cos β<0. ∵奇函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減， ∴f(－sin α)>f(－cos β)， ∴－f(sin α)>－f(cos β)，∴f(sin α)0，∴f(x)max＝a＋b＝， f(x)min＝－a＋b＝－2. 由得