（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（七）平面向量（通用）

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1、專項(xiàng)強(qiáng)化練(七)　平面向量 A組——題型分類練 題型一　平面向量的線性運(yùn)算 1．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若＋2＝3，則的值為________． 解析：由＋2＝3，得－＝2－2， 即＝2，所以＝. 答案： 2．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝____________(用a，b表示)． 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 3．已知Rt△ABC的面積為2，∠C＝90°，點(diǎn)P是Rt△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足＝＋，則·的最大值是________． 解析：由條件可知||·||＝4，·＝0，

2、因?yàn)椋剑剑?，＝－＝－－，故·＝·?7－9||－4||≤97－12×2＝73，當(dāng)且僅當(dāng)9||＝4||，即||＝，||＝3時(shí)等號(hào)成立． 答案：73 [臨門一腳] 1．對(duì)相等向量、零向量、單位向量等概念的理解要到位． 2．用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或平行四邊形；(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；(4)化簡(jiǎn)結(jié)果． 3．線性運(yùn)算由于基底運(yùn)用難度較大，能建立坐標(biāo)系的時(shí)候，建系優(yōu)先． 4．利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)． 5．已知＝λ＋μ (λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1. 題型二　平面向量的坐

3、標(biāo)表示 1．(2020·錫山中學(xué)模擬)已知向量a，b滿足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，則a2＋b2＝________. 解析：得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋(－2)2＋22＝9. 答案：9 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值是________． 解析：因?yàn)閡＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 所以8－4x＝3＋6x，所以x＝. 答案： 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝______

4、______. 解析：不妨設(shè)c＝(m，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 對(duì)于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 對(duì)于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 聯(lián)立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 答案： [臨門一腳] 1．解決向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，關(guān)鍵是掌握線性運(yùn)算法則及坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)．一般地，已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)．解題時(shí)注意利用向量相等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)建立方程(組)求解． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1

5、＝0. 題型三　平面向量的數(shù)量積 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：依題意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－. 答案：－ 2．已知向量與的夾角為120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：由題意得，·＝－3，由·＝(λ＋)·(－)＝0，得λ·－λ2＋2－·＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 答案： 3．(2020·丹陽中學(xué)月考)在直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(a,1)，B(3，

6、b)，C(4,5)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若向量與在向量方向上的投影相等，且·＝－10，則a－b＝________. 解析：因?yàn)橄蛄颗c在向量方向上的投影相等，所以·＝·， 3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，① 又＝(3－a，b－1)，＝(4,5)，所以·＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，② ②－①得a－b＝5. 答案：5 4．(2020·武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P(包含點(diǎn)D，C)與CB延長線上的動(dòng)點(diǎn)Q(包含點(diǎn)B)滿足||＝||，則·的最小值為________． 解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸

7、建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴當(dāng)x＝時(shí)，·取得最小值，為. 答案： 5．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B，C(0，t)，因?yàn)椋剑?，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y

8、－t＝0，所以點(diǎn)P到直線BC的距離為d＝，BC＝，所以△PBC的面積為××＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)． 答案： [臨門一腳] 1．若向量a，b，c滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c. 2．兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角(鈍角)，則有a·b>0(a·b<0)，反之不成立(因?yàn)閵A角為0(π)時(shí)不成立)． 3．在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|＝要引起足夠重視，是求模常用的公式． 4．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算中，a·b＝0?a⊥b，是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b. 5．平面向量的求解常見方法有定義法、坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化法、極化

9、恒等式法、投影法． B組——高考提速練 1．(2020·鹽城中學(xué)模擬)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，則a在b方向上的投影是________． 解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因?yàn)閍∥(2a－b)，所以1×(4－m)－2×5＝0，所以m＝－6，所以b＝(－3，－6)，所以a在b方向上的投影是＝＝－. 答案：－ 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：因?yàn)椋剑絘－b，又＝3，所以＝＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．(2020·白蒲中學(xué)模擬)在平行

10、四邊形ABCD中，若＝x＋y，則x－y＝________. 解析：在平行四邊形ABCD中＝＋＝＋，所以＝－， 所以x＝1，y＝－1，則x－y＝2. 答案：2 4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：因?yàn)?a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又因?yàn)閨a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±. 答案：± 5．(2020·啟東中學(xué)模擬)已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，則|＋t|的最小值為______ . 解析：|＋t|＝|＋t

11、(－)|＝|(1－t)＋t|，則|＋t|2＝(1－t)22＋t22＋2(1－t)t· ＝36(1－t)2＋12t2＋2t(1－t)×6×2× ＝12(t2－3t＋3)，當(dāng)t＝時(shí)，|＋t|取得最小值3. 答案：3 6.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則·的值為________． 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以· ＝(＋2)·(－)＝×(－9＋3)＝－2. 答案：－2 7．(2020·揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若＝2，則·＝________. 解析： 如圖， ·＝·(＋)

12、＝2＋· ＝22＋||·||cos 135° ＝4＋×2×2× ＝－2. 答案：－2 8．將向量＝(1,1)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到，則＝____________. 解析：法一：＝(1,1)，設(shè)＝(x，y)，則||＝||＝＝，·＝||||×cos 60°＝1，又由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知·＝x＋y＝1，① ||＝||＝＝，化簡(jiǎn)得x2＋y2＝2，② 因?yàn)辄c(diǎn)B在第二象限，故x<0，所以解得 故＝. 法二：因?yàn)閨|＝||＝＝，直線OB的傾斜角為60°＋45°＝105°，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB＝||·cos(60°＋45°)＝×＝，縱坐標(biāo)yB＝||·sin(60°＋45°)＝×＝，故

13、＝. 答案： 9．若向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(cos 75°，sin 75°)，則a＋b與a的夾角為________． 解析：a＋b＝(cos 15°＋cos 75°，sin 15°＋sin 75°)＝(cos 15°＋sin 15°，sin 15°＋cos 15°)，則(a＋b)·a＝cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＋sin 15°(cos 15°＋sin 15°)＝1＋2cos 15°·sin 15°＝1＋sin 30°＝， |a＋b|＝ ＝ ＝＝， cos〈a＋b，a〉＝＝＝，又〈a＋b，a〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a〉＝. 答

14、案： 10.(2020·江都中學(xué)模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AD＝DM，N是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作AM的垂線，垂足為H，設(shè)＝λ1＋λ2，則當(dāng)·最小時(shí)，λ1＋λ2的值為________． 解析：·＝||||cos〈，〉，由圖易知向量，所成的角為鈍角，所以cos〈，〉<0，因?yàn)镹H⊥AM，所以·＝－||||.當(dāng)·最小時(shí)，的模最大，數(shù)形結(jié)合易知點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，的模最大，即·最小，如圖．因?yàn)锳D＝DM，DH⊥AM，所以H是AM的中點(diǎn)，則＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝＋，所以λ1＋λ2＝. 答案： 11.如圖，等邊△ABC的邊長為2，頂點(diǎn)B，C分別在x軸

15、的非負(fù)半軸，y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則·的最大值為________． 解析：設(shè)∠OBC＝θ，因?yàn)锽C＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，則＝(－2cos θ，2sin θ)，設(shè)＝(x，y)，因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的等邊三角形，所以解得即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，則＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，所以·＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝，

16、所以·的最大值為＋. 答案：＋ 12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，重心為G，若2sin A·＋sin B·＋3sin C·＝0，則cos B＝________. 解析：設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊， 由正弦定理得2a·＋b·＋3c·＝0， 則2a·＋b·＝－3c·＝－3c(－－)， 即(2a－3c)＋(b－3c)＝0. 又，不共線，所以 由此得2a＝b＝3c，所以a＝b，c＝b， 于是由余弦定理得cos B＝＝. 答案： 13．已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則|α|的取值范圍為________． 解析：法一：由|β|＝

17、1，且α與β－α的夾角為120°，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝60°，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤. 法二：設(shè)|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0