2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 直線和圓

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1、2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 直線和圓 【教學(xué)內(nèi)容】 直線方程的幾種形式、夾角、距離及圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。 【教學(xué)目標(biāo)】 1、熟練掌握直線的傾斜角、斜率k的有關(guān)概念。直線傾斜角θ的取值范圍是0≤θ<180°，而斜率k是傾角θ的正切，當(dāng)θ為90°時(shí)，直線的斜率不存在。因此我們用點(diǎn)斜式或斜截式設(shè)直線方程時(shí)要注意分清直線的斜率是否存在。 2、掌握直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式，并能根據(jù)題目所給的條件，靈活地選擇直線方程的形式。 3、能判斷兩直線的位置關(guān)系或根據(jù)直線的位置關(guān)系，求出字母已知數(shù)的范圍；要能計(jì)算直線l1到l2的角或兩直線的夾角及點(diǎn)到直線的距離。 4、熟

2、練掌握?qǐng)A的幾種標(biāo)準(zhǔn)方程，并能結(jié)合已知條件靈活地設(shè)出圓的方程；要能熟練地運(yùn)用圓本身的一些性質(zhì)來證題或解題。 5、坐標(biāo)平面把數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系統(tǒng)一起來了，數(shù)與形相輔相成，相得益彰，要能夠熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題。 【知識(shí)講解】 例1 求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。 分析：滿足兩個(gè)條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個(gè)解法，即用其中一個(gè)條件列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個(gè)條件求出此參數(shù)。 解法一：先用“平行”這個(gè)條件設(shè)出l 的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m，∵直線l交x軸于，交y軸于由，得，代

3、入①得所求直線的方程為： 解法二：先用面積這個(gè)條件列出l的方程，設(shè)l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，則有，因?yàn)閘的傾角為鈍角，所以a、b同號(hào)，|ab|=ab，l的截距式為，即48x+a2y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直線l 的方程為 說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。 例2 已知△ABC的頂點(diǎn)A(3, -1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為：x-4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。

4、 解：設(shè)B(a, b)，B在直線BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中點(diǎn)在直線CM上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程6x+10y-59=0 ∴② 解①、②組成的方程組可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又 ∴ ∴ ∴BC所在直線的方程為即2x+9y-65=0 例3 若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 解：直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0, -2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段A

5、B有交點(diǎn)，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2) ∴ ∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥ 說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時(shí)，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí)，也要能求出m的范圍。 例4 求直線l2：7x-y+4=0到l1：

6、x+y-2=0的角平分線的方程。 解法一：設(shè)l2到l1角平分線l的斜率為k，∵k1=-1，k2=7 ∴，解之得k=-3或，由圖形可知k<0， ∴k=-3，又由解得l1與l2的交點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得 即6x+2y-3=0 解法二：設(shè)l2到l1的角為θ，則，所以角θ為銳角，而，由二倍角公式可知 ∴或 為銳角， ∴，∴k=-3等同解法一。 解法三：設(shè)l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0① ∴，由解法一知，∴，代入①化簡(jiǎn)即得：6x+2y-3=0 解法四：用點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)l上任一點(diǎn)P(x, y)，則P到l1與l2的距離

7、相等。 ∴整理得：6x+2y-3=0與x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線， k<0，∴x-3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y-3=0. 例5 已知△ABC三邊所在直線方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。 解：解方程組可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)設(shè)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則： 解之得：D=，E=4，F(xiàn)=30 所以所求的△ABC的外接圓方程為： 例6 如果一條直線經(jīng)過點(diǎn)M且被圓x2+y2=25所截得的弦長(zhǎng)為8，求這條直線的方程。 解：設(shè)

8、所求直線的斜率為k，直線l的方程：，，由條件知圓心O到直線l的距離 ∴ ∴ 則l的方程為 即3x+4y+15=0又當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程x=-3恰好也滿足條件。因此，l的方程為3x+4y+15=0或x+3=0 說明：這里這里我們?cè)O(shè)l的點(diǎn)斜式為實(shí)際上就已知先假設(shè)了直線l的斜率是存在，但在實(shí)際問題中，直線l的斜率不一定存在，因此我們還應(yīng)對(duì)斜率不存在的情形進(jìn)行討論。與此類似的還有如下問題：過圓外一點(diǎn)引圓的切線，切線一定存在且有兩條，我們通常是先設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程，然后由圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線的斜率，若求的斜率有兩個(gè)值，則就可以代入點(diǎn)斜率得到切線的方程，若求出的k

9、只有一解，則說明另一條切線的斜率一定不存在，如過點(diǎn)(5, -9)作圓x2+y2=25的切線，要注意其中一條切線就是x=5，我們?nèi)粼O(shè)切線的點(diǎn)斜式方程為y+9=k(x-5)只能求出一個(gè)k的值；同理，過平面上任一點(diǎn)作與定直線成定角的直線也一定有兩條，若設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式，如果由夾角公式求出的k只有一個(gè)值話，那么其中一條滿足條件的直線的斜率一定不存在，如過點(diǎn)(3, -2)作直線l，使l與已知直線的夾角為30°，求l的方程就是這樣的問題。 例7 求圓心在直線y=-4x上，且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3, -2)的圓的方程。 分析：在解與圓有關(guān)的習(xí)題時(shí)，我們要充分注意到圓本身的性質(zhì)，如圓心到

10、切線的距離等于圓的半徑，過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心、兩圓相切，連心線必過切點(diǎn)等等，這樣往往可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單、方便，因此我們要認(rèn)真分析已知條件，結(jié)合圓本身的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出圓的方程。如本題中，過切點(diǎn)P且垂直于切線的直線必過圓心，因此圓心就是兩直線的交點(diǎn)了，這樣求方程就得計(jì)算變得非常的方便。 解：由圓的性質(zhì)可知，過切點(diǎn)P(3, -2)且與切線x+y-1=0垂直的直線l’必過圓心，kl’=1 ∴l(xiāng)’：y+2=1·(x-3)，x-y-5=0，又已知圓心在直線y=-4x上，解方程組 ∴O1(1, -4)即為圓心的坐標(biāo)，又 所示所求圓的方程為：(x-1)2+(y+4)2=8 例8

11、求通過直線2x+y+4=0及圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，并且有最小面積的圓的方程。 解法一：已知圓的方程可化為：(x+1)2+(y-2)2=4，設(shè)D為弦AB的中點(diǎn)，則直線CD的方程為x-2y+5=0，解方程組：得 即D，|CD|= |AD|=， 又以D的圓心，AB為直徑的圓的面積最小，∴所求圓的方程為： 解法二：設(shè)圓的方程為(x2+y2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0 即，又圓的面積為 ∴當(dāng)取最小值時(shí)即可：，當(dāng)λ=時(shí)圓面積最小，此時(shí)圓的方程為5x2+5y2+26x-12y+37=0 解法三：設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，因?yàn)樗髨A的面積最小

12、，則此圓一定是以AB為直徑的圓設(shè)它的方程為，即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0，由得：x2+2x+4x2+16+16x+8x+16+1=0 即：5x2+26x+33=0 x1+x2=，x1x2=，y1+y2=-2(x1+x2)-8= y1y2=4(x+2)(x+2)=4[x1x2+2(x1+x2)+4]= ∴所求圓的方程為 例9 設(shè)P是圓M：(x-5)2+(y-5)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于A(9, 0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)S，求|SQ|的最值。 解：設(shè)P(x, y)，則Q(18-x, -y)，記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)

13、數(shù)為x+yi，則S點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (x+yi)·i=-y+xi，即S(-y, x) ∴ 其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則 |SQ|的最大值為 |SQ|的最小值為 【每周一練】 一、選擇題： 1、在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的（ ） A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 2、A、B、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)C分向量AB所成的比是-3，則B分向量AC所成的比是（ ） A、2 B、 C、 D、-2 3

14、、經(jīng)過點(diǎn)P(-2, 1)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（ ） A、1條 B、2條 C、3條 D、4條 4、當(dāng)α∈R時(shí)，由方程x·sinα+y·cosα=5sinα所確定的各直線的位置關(guān)系是（ ） A、相互平行 B、垂直 C、有無窮多個(gè)交點(diǎn) D、過同一點(diǎn) 5、若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為（ ） A、a=1或a=-2 B、-1

15、 B、 C、 D、 7、設(shè)M是圓(x-5)2+(y-3)2=9上的點(diǎn)，則M點(diǎn)到直線3x+4y-2=0的最短距離是（ ） A、9 B、8 C、2 D、5 8、對(duì)于直線x·sinα+y+1=0，其傾角的取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空題： 9、直線3x+2y+m=0與(m2+1)x-3y+2-3m=0的位置關(guān)系是_______________ 10、若直線Ax+By+C=0（A、B、C均不為零）與圓x2+y2=1相切，則以|A|、|B|、|C|為邊長(zhǎng)的三角形是___________

16、_________ 11、直線系方程y=ax+1，a∈R的圖象恒過定點(diǎn)___________ 12、△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0, 3)、B(3, 3)、C(2, 0), 若直線x=a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)a的值是________________ 13、函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的圖象的函數(shù)表達(dá)式為_____________________ 14、從點(diǎn)(2, 3)向圓x2+y2=4作切線，其切線方程為_______________ 15、光線沿直線ax+by+c=0 (abc≠0)照射到直線y=x上后反射，則反射線所在直線的方程是_____________

17、______ 三、解答題： 16、設(shè)直線l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0平行，求過點(diǎn)(m, n)并與l1、l2垂直且被截得弦長(zhǎng)為的直線方程。 17、已知正方形的中心為直線2x-y+2=0和x+y+1=0的交點(diǎn)，正方形一邊所在直線的方程為x+3y-5=0，求其它三邊的方程。 18、證明：直線系(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0中，找不到直線，使它與點(diǎn)P(4, -1)的距離等于3。 19、設(shè)A={z| |z|≤}，B={z| |z-(a-i)| ≤}，若A∩B≠φ，求實(shí)數(shù)a的最大值、最小值。 20、已知直線l1和l2關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱，若l1的方程是3

18、x-2y+1=0，求l2的方程。 21、在圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A(2, 0)及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B、C，當(dāng)B、C兩點(diǎn)保持∠BAC=時(shí)，求△ABC重心的軌跡方程。 22、求與y軸相切，且與圓x2+y2-4x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。 23、設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1，在滿足①、②的所在圓中，求圓心到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程。 [參考答案] 一、選擇題： 1、C 2、A 3、C 4、D 5、C 6、D 7、C 8、B 二、填空題： 9、相交 10、直角三角形 11、(0, 1) 12、 13、y=f(2-x) 14、x=2或5x-12y+26=0 15、bx+ay+c=0 三、解答題： 16、2x-y+10=0或2x-y-30=0或2x+y+26=0或2x+y-14=0 17、3x-y-3=0 3x-y+9=0 x+3y+7=0 18、略 19、amax=，amin= - 20、4x-6y+3=0 21、 其中0≤x<1 22、y2=8x(x≠0)或y=0(x≠0且x≠2) 23、(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2