選修4-2矩陣與變換第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量

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1、 1．矩陣的逆矩陣 (1)一般地，設(shè)ρ是一個線性變換，如果存在線性變換σ，使得σρ＝ρσ＝I，則稱變換ρ可逆，并且稱σ是ρ的逆變換． (2)設(shè)A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BA＝AB＝E，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣． (3)(性質(zhì)1)設(shè)A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，A的逆矩陣記為A－1. (4)(性質(zhì)2)設(shè)A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (5)二階矩陣A＝可逆，當(dāng)且僅當(dāng)det A＝ad－bc≠0時，A－1＝. 2．二階行列式與方程組的解 對于關(guān)

2、于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運算結(jié)果是一個數(shù)值，記為det A＝＝ad－bc. 若將方程組中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當(dāng)D≠0時，方程組的解為 3．矩陣特征值、特征向量的相關(guān)概念 (1)定義：設(shè)矩陣A＝，如果存在實數(shù)λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，則稱λ是矩陣A的一個特征值，ξ是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量． (2)一般地，設(shè)ξ是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，kξ也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量． (3)一般地，屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線． (4)設(shè)矩陣A＝，稱f(λ)＝為矩陣A的特征多項式，方程＝0為

3、矩陣A的特征方程． 4．特征向量的應(yīng)用 (1)設(shè)A是一個二階矩陣，α是矩陣A的屬于特征值λ的任意一個特征向量，則Anα＝λnα(n∈N*)． (2)性質(zhì)1　設(shè)λ1，λ2是二階矩陣A的兩個不同特征值，ξ1，ξ2是矩陣A的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對于任意的非零平面向量α，設(shè)α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2為實數(shù))，則對任意的正整數(shù)n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2. 1．矩陣的逆矩陣是________． 答案： 2．若矩陣可逆，則k的值不可能是________． 答案： 3．若矩陣A＝不可逆，則實數(shù)a的值為________． 解析：由題意|A|＝ ＝2×

4、(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1. 答案：－1 4．對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，則m的取值范圍是________． 解析：由條件得f(λ)＝ ＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m) ＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有實數(shù)根， 所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0對任意實數(shù)x恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0， 解得m的取值范圍是－3≤m≤2. 答案：－3≤m≤2. 5．已知矩陣M的特征值λ1＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并有特征值λ2＝2及對應(yīng)的一個特征向量e2＝.則矩陣M＝

5、________. 解析：設(shè)M＝，則＝8＝， 故＝2＝， 故聯(lián)立以上兩個方程組解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝. 答案： 熱點考向一 求逆矩陣 　求矩陣A＝的逆矩陣． 【解析】　法一：設(shè)矩陣A的逆矩陣為， 則 ＝， 即＝， 故且 解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 從而矩陣A的逆矩陣A－1＝. 法二：∵A＝，∴detA＝－1. ∴A－1＝＝. 【點評】　方法一是待定系數(shù)法；方法二是公式法． 1．已知變換矩陣A把平面上的點P(2，－1)、Q(－1,2)分別變換成點P1(3，－4)、Q1(0,5)． (1)求變換矩陣A； (2)判斷

6、變換矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A－1：如不可逆，請說明理由． 【解析】　(1)假設(shè)所求的變換矩陣A＝，依題意，可得 ＝及 ＝， 即解得： 所以所求的變換矩陣A＝ (2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A可逆 A－1＝＝. 熱點考向二 利用矩陣解二元一次方程組 -- 　(1)求矩陣A＝的逆矩陣； (2)利用逆矩陣知識， 解方程組 【解析】　(1)法一：設(shè)矩陣A的逆矩陣為A－1＝， 則由 ＝， 知 解之得 ∴A－1＝. 法二：∵A＝， ∴|A|＝4－3＝1， ∴A－1＝＝. (2)二元一次方程組的系數(shù)矩陣為A＝， 由(1)知

7、A－1＝. 因此方程 有唯一解＝A－1. ∴＝ ＝. 即 【點評】　二元一次方程組(a1，b1不同時為零，a2，b2不同時為零)的系數(shù)矩陣為A＝，只有當(dāng)|A|≠0時，方程組有唯一解A－1，若|A|＝0，則方程組有無數(shù)解或無解． 2．用矩陣方法求解二元一次方程組 解析：原方程組可以寫成＝， 記M＝， 其行列式＝2×(－5)－1×4＝－14≠0， ∴M－1＝. ∴＝M－1＝，即方程組的解為 熱點考向三 矩陣的特征值與特征向量 　給定矩陣A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及對應(yīng)特征向量α1，α2； (2)求A4B. 【解析】　(1)設(shè)A的一個特征

8、值為λ，由題意知： ＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3， 當(dāng)λ1＝2時，由＝2，得A屬于特征值2的特征向量α1＝； 當(dāng)λ2＝3時，由＝3，得A屬于特征值3的特征向量α2＝ (2)由于B＝＝＋＝α1＋α2. 故A4B＝A4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝＋＝. 【點評】　求矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量是矩陣與變換的重點和難點，解決此類問題首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相應(yīng)的特征向量．請注意每一個特征值對應(yīng)無數(shù)個特征向量，選擇坐標(biāo)為整數(shù)的解就能使后面計算簡單、方便． 3．已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

9、α1＝，屬于特征值1的一個特征向量α2＝，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣． 解析：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝可得，＝6， 即c＋d＝6； 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量α2＝， 可得＝，即3c－2d＝－2， 解得，即A＝. A的逆矩陣是. 一、填空題 1．已知A＝可逆，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)det(A)≠0， 即6－3a≠0，∴a≠2， ∴a的取值范圍為(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞) 2．設(shè)矩陣M＝，則矩陣M的特征向量可以是________． 解析：矩陣M的特征多項式 f

10、(λ)＝＝λ2－1. 由于f(λ)＝0得矩陣M的特征值為 λ1＝1，λ2＝－1. 經(jīng)計算可得，矩陣M屬于特征值λ＝1的一個特征向量為，而屬于特征值λ＝－1的一個特征向量為. 答案： 3．設(shè)可逆矩陣A＝的逆矩陣A－1＝，則a＝________，b＝________，c＝________. 解析：由AA－1＝E得＝， 即 解方程組得a＝2，b＝－，c＝. 答案：2?。? 4．已知二元一次方程組從線性變換的角度求解時應(yīng)把向量繞原點作順時針旋轉(zhuǎn)________的旋轉(zhuǎn)變換． 解析：因為方程組的矩陣形式是 ＝，它是把向量繞原點作逆時針旋轉(zhuǎn)變換得到，所以解方程組就是把向量繞原點作順時

11、針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換． 答案： 5．A＝ ，則A－1＝________. 解析：A＝ ＝， ∵|A|＝×－×＝1≠0. ∴A－1＝. 答案： 6．現(xiàn)用矩陣對信息進行加密后傳遞，規(guī)定英文字母數(shù)字化為：a→1，b→2，…，z→26，雙方約定的矩陣為，發(fā)送方傳遞的密碼為67,30,31,8，此組密碼所發(fā)信息為________． 解析：因為A＝，所以det A＝＝2≠0， 所以A－1＝，而密碼矩陣為B＝， 故明碼矩陣X＝A－1B＝ ＝， 對應(yīng)信息為“good”． 答案：good 7．矩陣M＝的特征值與特征向量分別為________． 解析：由＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－

12、)＝λ2－2λ－8＝0，得矩陣M的特征值為λ1＝4，λ2＝－2. 設(shè)屬于特征值λ1＝4的特征向量為，則它滿足方程(λ1＋1)x＋(－2)y＝0，即5x－2y＝0.故可取為屬于特征值λ1＝4的一個特征向量． 設(shè)屬于特征值λ2＝－2的特征向量為，同理可得x＋2y＝0.故可取為屬于特征值λ2＝－2的一個特征向量． 綜上所述，矩陣M＝有兩個特征值λ1＝4，λ2＝－2，屬于λ1＝4的一個特征向量為α1＝；屬于λ2＝－2的一個特征向量為α2＝. 答案：λ1＝4，α1＝和λ2＝－2，α2＝ 8．已知矩陣A＝，B＝，則滿足方程AX＝B的二階矩陣X＝________. 解析：∵A＝， ∴|A|＝＝

13、2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A－1＝.∵AX＝B，∴X＝A－1B， ∴X＝＝. 答案： 二、解答題 9．已知矩陣A＝，B＝，C＝，求滿足AXB＝C的矩陣X. 解析：AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1 而A－1AXB·B－1＝EXBB－1 ＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1 因為A－1＝， B－1＝， 所以X＝A－1CB－1 ＝ ＝ ＝. 10．已知矩陣A＝. (1)求矩陣A的特征值及對應(yīng)的特征向量； (2)計算矩陣An. 解析：(1)矩陣A的特征方程為 ＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩

14、陣A的特征值為λ1＝8，λ2＝2. 當(dāng)λ1＝8時，A屬于λ1的特征向量為 α1＝； 當(dāng)λ2＝2時，A屬于λ2的特征向量為 α2＝. (2)設(shè)An＝ Anα1＝8nα1，Anα2＝2nα2， 即＝ ＝， 即 解得a＝，b＝， c＝，d＝. 故An＝. 11．給定矩陣M＝，N＝，向量α＝. (1)求證：M和N互為逆矩陣； (2)求證：向量α同時是M和N的特征向量； (3)指出矩陣M和N的一個公共特征值． 解析：(1)證明：因MN＝＝， 且NM＝＝， 所以M和N互為逆矩陣． (2)證明：因為Mα＝＝， 所以α是N的特征向量． 因為Nα＝＝， 所以α是

15、N的特征向量． (3)由(2)知，M對應(yīng)于特征向量的特征值為1，N對應(yīng)于特征向量的特征值也為1， 故1是矩陣M和N的一個公共特征值． 12．(2011年福建)設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0) ①若a＝2，b＝3，求M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1，在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線 C′：＋y2＝1，求a，b的值． 解析：①設(shè)M－1＝，則MM－1＝又M＝，∴＝. ∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1. 即x＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. ∴M－1＝. ②設(shè)C上任一點P(x，y)，在M作用下得點P′(x′，y′) 則＝，∴ 又點P′(x′，y′)在C′上，所以＋y′2＝1. 即＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又C的方程為x2＋y2＝1，∴ 又a>0，b>0，所以