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1、
(時間:120分鐘;滿分:160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分.把答案填在題中橫線上)
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對稱,頂點在原點O,且過點P(2,4),則該拋物線的方程是________.
解析:設(shè)拋物線y2=mx,將點P(2,4)代入拋物線方程,
∴m=8,∴方程為y2=8x.
答案:y2=8x
2.已知兩定點F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項,則動點P的軌跡是________.
解析:依題意知,|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,故點P的軌跡為線段F1F2.
答案:
2、線段F1F2
3.以雙曲線-=1的右焦點為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是________.
解析:由題意知圓心坐標(biāo)應(yīng)為(5,0).又因為點(5,0)到漸近線y=±x的距離為4,所以圓的方程為x2+y2-10x+9=0.
答案:x2+y2-10x+9=0
4.雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,若P為雙曲線上任意一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線的離心率的取值范圍為________.
解析:設(shè)P(x0,y0),∵|PF1|=e=ex0+a,|PF2|=e=ex0-a,又|PF1|=2|PF2|,∴ex0+a=2(ex0-a),即e=.∵x0≥a,∴e≤3.
3、又∵e>1,
∴10,n>0,故a=,b=,所以c=.所以e==2.① 又=1,②
由①②得所以mn=.
答案:
6.設(shè)A、B是拋物線x2=4y上兩點,O為原點,OA⊥OB,A點的橫坐標(biāo)是-1,則B點的橫坐標(biāo)為________.
解析:據(jù)題意可知A(-1,),故=(-1,),
設(shè)B(x0,),故=(x0,),
則OA⊥OB?·=0,
即(-1,)·
4、(x0,)=-x0+=0?x0=16.
答案:16
7.已知雙曲線的方程是-=1,則以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________,拋物線的準(zhǔn)線方程是________.
解析:由雙曲線方程-=1可知,焦點在x軸上,
a=2,所以右頂點坐標(biāo)是(2,0),
即拋物線的焦點F(2,0).
設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).
由=2得p=4.
∴所求拋物線方程為y2=8x,
準(zhǔn)線方程為x=-2.
答案:y2=8x x=-2
8.方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析:方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則(m-1)2>m2>
5、0.∴m<且m≠0.∴所求實數(shù)m的取值范圍為(-∞,0)∪.
答案:(-∞,0)∪
9.若雙曲線+=1(k≠0)的離心率e∈(1,2),則k的取值范圍是________.
解析:顯然k<0,所以e=∈(1,2),解得-12n>0)和雙曲線-=1(a>b>0)有相同的左、右焦點F1、F2,P是兩條曲線的一個交點,則|PF1|·|PF2|的值是________.
解析:取P在雙曲線的右支上,
則
∴
∴|PF1|·|PF2|=(+)(-)=m-a.
答案:m-a
11.設(shè)P是雙曲線-=1上一點,雙曲線的一條漸近線的方程
6、為3x-2y=0,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若|PF1|=3,則△F1PF2的周長為________.
解析:由雙曲線的漸近線方程3x-2y=0,
可知a=2,
故|F1F2|=2;
又||PF1|-|PF2||=4,∴|PF2|=7,
故△ F1PF2的周長為2+7+3=2+10.
答案:2+10
12.點P是橢圓+=1上一點,F(xiàn)1、F2是該橢圓的兩個焦點,△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則當(dāng)點P在x軸上方時,點P的縱坐標(biāo)為________.
解析:△PF1F2的周長l=2a+2c=16,S△PF1F2=lR=·2c·y0,
∴16×=6y0,∴y0=4.
答案:4
7、
13.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點,交準(zhǔn)線于點C.若=2,則直線AB的斜率為________.
解析:如圖,當(dāng)傾斜角是銳角時,過B作BG⊥l,
則BG=BF,∴=.
∴∠GCB=30°,∴θ=∠GBC=60°.
∴k=.依對稱性知k=-時適合題意.
答案:±
14.過原點的直線與橢圓+=1交于A,B兩點,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的焦點,則四邊形AF1BF2的面積的最大值是________.
解析:如圖所示,四邊形AF1BF2的面積等于S△AF1F2+S△BF1F2,當(dāng)點A,B分別與短軸的兩個端點重合時,它們的面積最大(F1F2為底),則四
8、邊形AF1BF2的面積的最大值為2××2c×b=2bc=8.
答案:8
二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)已知雙曲線中心在原點,且一個焦點為F(,0),直線y=x-1與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為-,求此雙曲線的方程.
解:設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),
依題意c=,∴方程可化為-=1.
由
得(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,
∵=-,
∴-=-,解得a2=2.
∴雙曲線的方程為-=1.
16.(本小
9、題滿分14分)橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2,一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A,B兩點.
(1)求△ABF2的周長;
(2)若l的傾斜角為45°,求△ABF2的面積.
解:(1)△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|F1B|)+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=4a=4×4=16.
(2)由+=1,知F1(-,0),F(xiàn)2(,0).
設(shè)l與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2),
則由得25y2-18y-81=0,
所以|y1-y2|==.
所以S△ABF2=|F1F2|
10、×|y1-y2|
=××=.
17.(本小題滿分14分)拋物線y=-與過點M(0,-1)的直線l相交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,若直線OA和OB的斜率之和為1,求直線l的方程.
解:法一:如圖所示,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為y=kx-1.
則k===-.
由kOA+kOB=+=1,
又y1=-,y2=-,
則有--=1,
即-=1.
于是k=1,直線l的方程為y=x-1.
法二:由根與系數(shù)的關(guān)系,將直線y=kx-1與拋物線y=-聯(lián)立,消去y,得x2+2kx-2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=-2k,x1x2=-2.
又1=+=+
=2k
11、-=2k-=k,
則直線l的方程為y=x-1.
18.(本小題滿分16分)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2),離心率e=.
(1)求橢圓方程;
(2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N,且線段MN的中點的橫坐標(biāo)為-,求直線l的傾斜角的取值范圍.
解:(1)由題意知2c=4,所以c=2,e==,
所以a=3,b2=1,
故橢圓方程為+x2=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
代入橢圓方程,得+x=1,+x=1,
兩式相減得+(x1+x2)(x1-x2)=0.
因為x1≠x2,所以=-=k.
設(shè)M、N的中點為(x0,y
12、0),則x0=-,y0=.
又(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,即+2<1,
所以k2>3,即k>,或k<-.
所以直線l的傾斜角的取值范圍為∪.
19.(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(,0),若實數(shù)λ使向量、λ、滿足λ2·2=·,求點P的軌跡方程,并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線.
解:由已知可得=(x+3,y),=(x-3,y),=(,0),
∵λ2()2=·,
∴λ2·(x2-9)=x2-9+y2 ,
即P點的軌跡方程是(1-λ2)x2+y2=9(1-λ2).
當(dāng)1-λ2>0且λ≠0,即λ∈(-1,0)∪(0,1)時,
13、有+=1,
∵1-λ2>0,∴>0,
∴x2≤9,P點的軌跡是橢圓.
當(dāng)λ=0時,方程為x2+y2=9,P點的軌跡是以原點O(0,0)為圓心,以3為半徑的圓.
當(dāng)1-λ2<0,即λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,方程為+=1,P點的軌跡是雙曲線.
當(dāng)1-λ2=0時,即λ=±1時,方程為y=0,P點的軌跡是兩條射線.
20.(本小題滿分16分)已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點M,過M作直線與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的垂直平分線與x軸交于點E(x0,0).
(1)求x0的取值范圍;
(2)判斷△ABE是否是等邊三角形.若是,求出x0的值;若不是,請說明理由.
解:
14、(1)∵準(zhǔn)線方程為x=-1,∴點M的坐標(biāo)為(-1,0),則設(shè)直線l:y=k(x+1)(k≠0),
代入y2=4x得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=1,∴y1+y2=k(x1+x2+2)=,
即線段AB的中點為.
∵方程①有兩個不相等的實根,
∴Δ=4(k2-2)2-4k4>0,解得-13,∴x0>3.
(2)若△ABE是等邊三角形,
則點E到直線AB的距離d為|AB|的.
由d=,|AB|=·,
得··=,
整理得4k2=3,即k2=,∴x0=,
故存在x0=滿足條件.