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1、第2講 空間幾何體的表面積與體積
【2020年高考會這樣考】
考查柱、錐、臺、球的體積和表面積,由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問題相結合,難度有所增大.
【復習指導】
本講復習時,熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式,運用這些公式解決一些簡單的問題.
基礎梳理
1.柱、錐、臺和球的側面積和體積
面 積
體 積
圓柱
S側=2πrh
V=Sh=πr2h
圓錐
S側=πrl
V=Sh=πr2h=πr2
圓臺
S側=π(r1+r2)l
V=(S上+S下+)h=π(r+r+r1r2)h
直棱柱
S側=Ch
V=Sh
正棱
2、錐
S側=Ch′
V=Sh
正棱臺
S側=(C+C′)h′
V=(S上+S下+)h
球
S球面=4πR2
V=πR3
2.幾何體的表面積
(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和.
(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側面積與底面面積之和.
兩種方法
(1)解與球有關的組合體問題的方法,一種是內切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合適的截面圖,如球內切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上,正
3、方體的體對角線長等于球的直徑.球與旋轉體的組合,通常作它們的軸截面進行解題,球與多面體的組合,通過多面體的一條側棱和球心或“切點”、“接點”作出截面圖.
(2)等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值.
雙基自測
1.(人教A版教材習題改編)圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是( ).
A.4πS B.2πS
C.πS
4、 D.πS
解析 設圓柱底面圓的半徑為r,高為h,則r= ,
又h=2πr=2,∴S圓柱側=(2)2=4πS.
答案 A
2.(2020·東北三校聯(lián)考)設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為( ).
A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
解析 由于長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,則長方體的體對角線長為=a.又長方體外接球的直徑2R等于長方體的體對角線,∴2R=a.∴S球=4πR2=6πa2.
答案 B
3.(2020·北京)某四面體的三視圖如圖所示,該四面體四個面的面積中
5、最大的是
( ).
A.8 B.6
C.10 D.8
解析 由三視圖可知,該幾何體的四個面都是直角三角形,面積分別為6,6,8,10,所以面積最大的是10,故選擇C.
答案 C
4.(2020·湖南)設
右圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( ).
A.π+12 B.π+18
C.9π+42 D.36π+18
解析 該幾何體是由一個球與一個長方體組成的組合體,球的直徑為3,長方體的底面是邊長為3的正方形,高為2,故所求體積為2×32+π3=π+18.
答案 B
5.若一個球的體積為4π,則它的表面積為____
6、____.
解析 V=R3=4π,∴R=,S=4πR2=4π·3=12π.
答案 12π
考向一 幾何體的表面積
【例1】?(2020·安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為
( ).
A.48 B.32+8
C.48+8 D.80
[審題視點] 由三視圖還原幾何體,把圖中的數(shù)據轉化為幾何體的尺寸計算表面積.
解析 換個視角看問題,該幾何體可以看成是底面為等腰梯形,高為4的直棱柱,且等腰梯形的兩底分別為2,4,高為4,故腰長為,所以該幾何體的表面積為48+8.
答案 C
以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關鍵是能夠對給出的
7、三視圖進行恰當?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系.
【訓練1】 若一
個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側面積等于( ).
A. B.2
C.2 D.6
解析 由正視圖可知此三棱柱是一個底面邊長為2的正三角形、側棱為1的直三棱柱,則此三棱柱的側面積為2×1×3=6.
答案 D
考向二 幾何體的體積
【例2】?(2020·廣東)如圖,某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形,側視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為( ).
A.18 B.12 C.9 D.6
[審題視點] 根據三視
8、圖還原幾何體的形狀,根據圖中的數(shù)據和幾何體的體積公式求解.
解析 該幾何體為一個斜棱柱,其直觀圖如圖所示,由題知該幾何體的底面是邊長為3的正方形,高為,故V=3×3×=9.
答案 C
以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的關鍵是根據三視圖想象原幾何體的形狀構成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系,然后在直觀圖中求解.
【訓練2】 (2020·東莞模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于( ).
A.π B.π
C.π+8 D.12 π
解析 由三
9、視圖可知,該幾何體是底面半徑為2,高為2的圓柱和半徑為1的球的組合體,則該幾何體的體積為π×22×2+π=π.
答案 A
考向三 幾何體的展開與折疊
【例3】?(2020·廣州模擬)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體DABC,如圖2所示.
(1)求證:BC⊥平面ACD;
(2)求幾何體DABC的體積.
[審題視點] (1)利用線面垂直的判定定理,證明BC垂直于平面ACD內的兩條相交線即可;(2)利用體積公式及等體積法證明.
(1)證明 在圖中,可得AC=BC=2,
10、
從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,
取AC的中點O,連接DO,
則DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,DO?平面ADC,從而DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC,
又AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知,BC為三棱錐BACD的高,BC=2,S△ACD=2,∴VBACD=
S△ACD·BC=×2×2=,
由等體積性可知,幾何體DABC的體積為.
(1)有關折疊問題,一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關系,哪些變,哪些不變.
(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離
11、問題,常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開,轉化為平面上兩點間的最短距離問題.
【訓練3】 已知
在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點,如圖所示,則CP+PA1的最小值為________.
解析 PA1在平面A1BC1內,PC在平面BCC1內,將其鋪平后轉化為平面上的問題解決.計算A1B=AB1=,BC1=2,又A1C1=6,故△A1BC1是∠A1C1B=90°的直角三角形.鋪平平面A1BC1、平面BCC1,如圖所示.
CP+PA1≥A1C.
在△AC1C中,由余弦定理得
A1C===5,故(CP+PA1)mi
12、n=5.
答案 5
難點突破17——空間幾何體的表面積和體積的求解
空間幾何體的表面積和體積計算是高考的一個常見考點,解決這類問題,首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧、把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧、對旋轉體作其軸截面的技巧、通過方程或方程組求解的技巧等,這是化解空間幾何體面積和體積計算難點的關鍵.
【示例1】? (2020·安徽)一個幾何體的三視圖如圖,該幾何體的表面積為
( ).
A.280 B.292 C.360 D.372
【示例2】? (2020·全國新課標)已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________.