江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十三 附加題21題 蘇教版

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1、江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題13 附加題21題 回顧2020～2020年的高考考題，附加題選做(四選二)中分別考查幾何證明選講、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、矩陣與變換、不等式選講這四個內(nèi)容，要求考生從中選擇兩個來完成，每題10分，難度不是很大，但是要求考生對所學(xué)知識點熟練掌握. 　　(2020·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)BD并延長至點C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C. [解]　證明：如圖，連結(jié)AD. ∵AB是圓O的直徑， ∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BD. 又∵BD

2、＝DC， ∴AD是線段BC的中垂線． ∴AB＝AC. ∴∠B＝∠C. 又∵D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點， ∴∠B＝∠E. ∴∠E＝∠C. (1)本題利用中間量代換的方法證明∠E＝∠C，一方面考慮到∠B和∠E是同弧所對圓周角相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到∠B＝∠C. (2)本題還可連結(jié)OD，利用三角形中位線來證明∠B＝∠C. 　　 (2020·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB，F(xiàn)C. (1)求證：FB＝FC； (2)若AB是△A

3、BC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的長． 解：(1)證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC. ∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC＝∠FBC. ∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC. (2)∵AB是圓的直徑，∴∠ACD＝90°. ∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°. 在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3. 又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6. 　　 (2020·江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值． [解]　∵A－1A＝E，

4、∴A＝(A－1)－1. ∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝. ∴矩陣A的特征多項式為 f(λ)＝＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而可求出矩陣A的特征值． 　　 (2020·泰州期末)已知矩陣A＝，B＝，求滿足AX＝B的二階矩陣X. 解：由題意得A－1＝， ∵AX＝B， ∴X＝A－1B＝＝. 　　 (2020·江蘇高考)在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標(biāo)方程． [解]　∵圓C圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，∴在ρsin＝－中令θ＝

5、0，得ρ＝1. ∴圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． ∵圓C經(jīng)過點P， ∴圓C的半徑為PC＝＝1. ∴圓C經(jīng)過極點， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 求圓的方程的關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑． 　　 (2020·南通二模)在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4cos，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，若圓C1與圓C2相切，求實數(shù)a的值． 解：C1：(x－2)2＋(y－2)2＝8， 圓心C1(2,2)，半徑r1＝2. C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2， 圓心C2(－1，－1)，半徑r2＝|a|. ∴圓心距C1C

6、2＝3. 兩圓外切時，C1C2＝r1＋r2＝2＋|a|＝3，a＝±； 兩圓內(nèi)切時，C1C2＝|r1－r2|＝|2－|a||＝3， a＝±5. 綜上，a＝±或a＝±5. 　　 (2020·江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，求證：|y|<. [證明]　∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<， ∴3|y|<＋＝.∴|y|<. 解決本題的關(guān)鍵是用(x＋y)和(2x－y)表示y. 　　 (2020·南通二模)已知x，y，z均為正數(shù)．求證：＋＋≥＋＋. 證明：因為x，y

7、，z都為正數(shù)， 所以＋＝≥. 同理，可得＋≥，＋≥. 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)幾何證明選講主要考查直線與圓的相切關(guān)系，弦切角定理是溝通角的橋梁，解決與圓有關(guān)的線段問題常利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，并結(jié)合三角形相似等知識； (2)矩陣與變換主要考查變換、矩陣的特征值與特征向量、逆矩陣、二階矩陣的乘法； (3)極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化及應(yīng)用參數(shù)方程求最值、范圍等問題； (4)解絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號化為不含絕對值的不等式，其過程體現(xiàn)了分類討論思想的

8、應(yīng)用． 1.(2020·蘇北四市三模)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD分別與直線l，圓O交于點D，E，求線段AE的長． 解：在Rt△ABC中，因為AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°， 因為l為過C的切線，所以∠DCA＝∠CBA， 所以∠DCA＝∠ABC＝60°. 又因為AD⊥DC，所以∠DAC＝30°. 在△AOE中，因為∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA， 所以AE＝AO＝AB＝2. 2.如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE＝AC，求證：∠PDE＝∠

9、POC. 證明：因AE＝AC，AB為直徑， 故∠OAC＝∠OAE. 所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA ＝∠OAE＋∠OAC＝∠EAC. 又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC. 3．(2020·揚州期末)求矩陣M＝的特征值和特征向量． 解：f(λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f(λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2. 由 可得屬于λ1＝7的一個特征向量為. 由 可得屬于λ1＝－2的一個特征向量為. 4．(2020·南通二模)已知M＝，β＝，計算M5β. 解：矩陣M的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)

10、＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，從而求得它們對應(yīng)的一個特征向量分別為 α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3. M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2) ＝4(λα1)－3(λα2) ＝4·35－3(－1)5＝. 5．已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 解：∵A＝，∴A2＝＝. 設(shè)α＝，則A2α＝β?＝ ?＝. ∴∴∴α＝. 6．已知P(x，y)是橢圓＋y2＝1上的點，求M＝x＋2y的取值范圍． 解：∵＋y2＝1的參數(shù)方程(θ為參數(shù)) ∴設(shè)P(2cos θ，sin θ)． ∴M＝x＋2y＝2cos θ＋

11、2sin θ＝2sin. ∴M＝x＋2y的取值范圍是[－2，2 ]． 7．(2020·泰州期末)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l被曲線C截得的線段長度． 解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9， 它表示以(0,3)為圓心，3為半徑的圓． 直線方程l的普通方程為y＝x＋1， 圓C的圓心到直線l的距離d＝＝1， 故直線l被曲線C截得的線段長度為2＝4. 8．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系x

12、Oy的O點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (1)求直線l的傾斜角； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB. 解：(1)設(shè)直線l的傾斜角為θ，則且θ∈[0，π)， ∴θ＝，即直線l的傾斜角為. (2)l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋， ρ＝2cos的直角坐標(biāo)方程為 2＋2＝1， ∴圓心到直線l的距離d＝， ∴AB＝. 9．對于實數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值． 解：法一：|x－y＋1|＝|(x－1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝3或x＝0，y＝1時，取等號． ∴|x－y＋1|的最大值為2. 法二：∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2. ∵|y－2|≤1，∴1≤y≤3. ∴－3≤－y≤－1. ∴－2≤x－y＋1≤2. ∴|x－y＋1|的最大值為2. 10．若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 解：因為正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1， 所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2， 即＋＋≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝時，原式取最小值1.