河北省正定中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明學(xué)案 理（無答案）

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1、河北省正定中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明學(xué)案 理（無答案） 一、考點(diǎn)梳理： 1、求差法：a＞b a－b＞0 2、求商法：a＞b＞0 3、分析法——執(zhí)果索因；模式：“欲證…，只需證…”； 4、綜合法——由因?qū)Ч?；模式：根?jù)不等式性質(zhì)等，演繹推理 5、放縮法證明不等式 6、用單調(diào)性證明不等式. 7、構(gòu)造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式. 8、數(shù)形結(jié)合法證明不等式. 9、反證法、換元法等. 二、考點(diǎn)自測： 1、已知下列不等式: 其中正確的個數(shù)為 A.0 B.1 C. 2

2、 D. 3 2、1＞＞＞0，那么 A.＞＞＞ B. ＞＞＞ C.＞＞＞ D.＞＞＞ 3、a>b>0，則下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. aa>bb 4、已知實(shí)數(shù)給出下列等式： （1） （2） （3） （4） 其中一定成立的式子有_____3.4_____ 5、若，則的最小值為 6、已知x>0，y>0，x+ y =1,求證：（1+）(1+)9 證明：x>0，y>0，（1+）(1+)=（1+）(1+)=(2+)(2

3、+)=5++5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)=即x= y=時等號成立。 三、命題熱點(diǎn)突破： 例1、已知：a、b是正實(shí)數(shù)，求證： 例2、 例3、已知a＞1，n≥2，n∈N*. 求證：－1＜. 證法一：要證－1＜， 即證a＜（+1）n. 令a－1=t＞0，則a=t+1. 也就是證t+1＜（1+）n. ∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t， 即－1＜成立. 證法二：設(shè)a=xn，x＞1. 于是只要證＞x－1， 即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和1+x+…+xn－1=， ① 倒序xn－1+xn－2+…+1=. ② ①+②得2·=（1

4、+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1） ＞2+2+…+2＞2n. ∴＞n. 思考討論 本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，用數(shù)學(xué)歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下. 例4.設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根、滿足。 （1） 當(dāng)時，證明： 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明：。 四、知識方法總結(jié)： 作業(yè)（不等式的證明） 1、不等式：（1）x3＋3>2x；（2）a5＋b5

5、) D. (1)(2)(3)(4) 2、 對都成立的不等式是 A. B. C. D. 3、已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是 A.x＞y B.y＞x C.x＞y D.不能確定 解析：∵x2=（+）2=（a+b+2）， y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x. 答案：B 4、給出下列三個命題： ①若ab>-1,則 ②若正整數(shù)m和n滿足mn,則 ③設(shè)P(x1,y1)為圓O1:x2+y2=9上任一點(diǎn)，圓O2以Q（a,b）為圓心且半徑為1，當(dāng)（a-x1）2+(b-y1)2=1

6、時，圓O1與O2相切 其中假命題的個數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 解析：①ab>-1 a+1b+1>0 ②當(dāng)且僅當(dāng)m=n-m即m=時取等號 ③圓O1上的點(diǎn)到圓O2的圓心的距離為1，兩圓不一定相切，選B 5.若x,y是正數(shù)，則的最小值是（ ） A. 3 B. C.4 D. 解析：=當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選C 6.( ) A. [0, ] B.( ,1) C. [-1, ]

7、 D. [8,+∞） 解法1：特值法令a=b=c=得M=8 ，故選D 二、填空： 7．已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),為方程f(x)=x的兩個根，且0<,0f(x) ④> f(x) 其中成立的是 A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ②④ 解析: 為方程f(x)=x的兩個根，f(x)-x=a(x-)(x-)>0, f(x)> x ①對 f(x)- = a(x-)(x-)+x-=(x-)[a(x-)+

8、1]<0 f(x)< ④對,選A 8．若x,y為正實(shí)數(shù)，且恒成立，則a的最小值為________ 解析：x+y a恒成立，a,a的最小值為 9．若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”） 解析：a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］ ≥2·2=4. ∴+≥＞. 答案：＞ 三、解答題 10、設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：++≥++. 證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)， ∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時等號成立； （＋）≥≥，當(dāng)b=c時等號成立； （＋）≥≥． 三個不等式相加即得++≥++，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.

9、11、已知△ABC的外接圓半徑R=1，，、、是三角形的三邊，令，。求證： 12．設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，使a+b+c=0,f(0)f(1)>0求證： （1）方程f(x)=0有實(shí)根 （2）-2<<-1 （3）設(shè)x1, x2是f(x)=0的兩個實(shí)根，則| x1-x2|< 解析:(1)若a=0,因?yàn)閍+b+c=0則b=-c f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c20與已知矛盾，所以a0 △ =4（b2-3ac）=4(a2+c2-ac)=4[(a-c)2+]>0,故方程有實(shí)根。 （2）f(0)f(1)=c(3a+2b+c)>0 由a+b+c=0消去c,得(a

10、+b)(a+2b)<0 (3) x1+x2=,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(+)2+ -2<<-1(x1-x2)2<| x1-x2|< 13． 已知數(shù)列{xn}{yn}滿足x1=x2=1,y1=y2=2,并且(為非零參數(shù),n=2,3,4…) (1) 若x1，x3, x5成等比數(shù)列，求參數(shù)的值 (2) 當(dāng)>0時，證明 (3) 當(dāng)>1時，證明 (1) 解：由已知x1=x2=1, 得 x3= 又 x5=6, x1，x3, x5成等比數(shù)列， (x3)2= x1 x5 2=6 = (2)證明：由已知，>0，x1=x2=1,y1=y2=2,可得xn>

11、0,yn>0由不等式性質(zhì)，有 (3)證明：當(dāng)>1時由（2）知yn>xn1,又 設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，使a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0求證： (1)a>0,且-2<<-1 (2)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實(shí)根 證明(1)：f(0)>0,f(1)>0 c>0,3a+2b+c>0,又a+b+c=0, a+b<0, 2a+b>0-a-b>0 a>0,且-2<<-1 (2) f(x)=3ax2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）, -2<<-1兩邊乘以-得<<, (0,1),f()=而f(0)>0,f(1)>0，f(x)=0在（0，），（，1）內(nèi)分別有一實(shí)根，故方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實(shí)根 設(shè)a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c. 求證：－＜c＜0. 證明：∵a2+b2+c2=1， ∴（a+b）2－2ab+c2=1. ∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c. ∴ab=c2－c. 又∵a+b=1－c， ∴a、b是方程x2+（c－1）x+c2－c=0的兩個根，且a＞b＞c. 令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則 11、已知正數(shù)、、滿足，求證： （1） （2） 分析法