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1、湖南省懷化市湖天中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理學(xué)案 新人教A版必修5
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 掌握正弦定理內(nèi)容；2. 掌握正弦定理證明方法；
3. 會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題．
學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握正弦定理內(nèi)容
難點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解斜三角形
一、知識(shí)鏈接
試驗(yàn)：固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)．
思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而 ．
能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？
二、試一試
※ 學(xué)習(xí)探究
探究1：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，
2、下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系.
如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c， 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，
有，，又，
從而在直角三角形ABC中，．
探究2：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=，則，同理可得， 從而．
類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立．請(qǐng)你試試導(dǎo).
新課探究：正弦定理
在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的 的比相等，即．
試試：
（1）在中，一定成立的等式是（
3、 ）．
A． B. C. D.
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，則∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)
k使， ，；
（2）等價(jià)于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ．
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，
如； ．
（4）一般地，已知三角形的某些邊和角，
4、求其它的邊和角的過(guò)程叫作解三角形．
※ 模仿練習(xí)
例1. 在中，已知，，cm，解三角形．
變式：在中，已知，，cm，解三角形．
例2. 在．
變式：在．
三、總結(jié)提升
※ 學(xué)習(xí)小結(jié)
1. 正弦定理：；
2. 正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義，還有 ②等積法，③外接圓法，④向量法.
3．應(yīng)用正弦定理解三角形： ①已知兩角和一邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角．
※ 知識(shí)拓展
，其中為外接圓直徑;
當(dāng)堂檢測(cè)
1. 在中，若，則是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．
5、等邊三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
3. 在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ ）.
A. B. C. ≥ D. 、的大小關(guān)系不能確定
4. 已知ABC中，，則= ．
5. 已知ABC中，A，，則= ．
課后作業(yè)
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
學(xué)后反思
湖南省懷化市湖天中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理學(xué)案 新人教A版必修5
