第四章 三角函數教案 新課標 人教版

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1、第四章 三角函數教案 一、三角函數的基本概念 1.角的概念的推廣 (1)角的分類:正角(逆轉) 負角(順轉) 零角(不轉) (2)終邊相同角: (3)直角坐標系中的象限角與坐標軸上的角. 2.角的度量 (1)角度制與弧度制的概念 (2)換算關系: (3)弧長公式: 扇形面積公式: 3.任意角的三角函數 注:三角函數值的符號規(guī)律“一正全、二正弦、三雙切、四余弦” 二、同角三角函數的關系式及誘導公式 （一） 誘導公式：

2、 與的三角函數關系是“立變平不變，符號看象限”。如： 等。 （二） 同角三角函數的基本關系式：①平方關系； ②商式關系； ③倒數關系；。 （三） 關于公式的深化 ；； 如：； 注：1、誘導公式的主要作用是將任意角的三角函數轉化為~角的三角函數。 2、主要用途： a) 已知一個角的三角函數值，求此角的其他三角函數值（①要注意題設中角的范圍，②用三角函數的定義求解會更方便）； b) 化簡同角三角函數式； 證明同角的三角恒等式。 三、兩角和與差的三角函數 （一）兩角和與差公式 （二）倍角公式 1、公式 cos2α=

3、 sin2α= 注： （1）對公式會“正用”，“逆用”，“變形使用”。（2）掌握“角的演變”規(guī)律（3）將公式和其它知識銜接起來使用。（4）倍角公式揭示了具有倍數關系的兩個角的三角函數的運算規(guī)律，可實現函數式的降冪的變化。 2、兩角和與差的三角函數公式能夠解答的三類基本題型： （1）求值 ①“給角求值”：給出非特殊角求式子的值。仔細觀察非特殊角的特點，找出和特殊角之間的關系，利用公式轉化或消除非特殊角 ②“給值求值”：給出一些角得三角函數式的值，求另外一些角得三角函數式的值。找出已知角與所求角之間的某種關系求解 ③ “給值求角”：轉化為給值求值

4、，由所得函數值結合角的范圍求出角。 ④ “給式求值”：給出一些較復雜的三角式的值，求其他式子的值。將已知式或所求式進行化簡，再求之 三角函數式常用化簡方法：切割化弦、高次化低次 注意點：靈活角的變形和公式的變形， 重視角的范圍對三角函數值的影響，對角的范圍要討論 （2）化簡 ①化簡目標：項數習量少，次數盡量低，盡量不含分母和根號 ②化簡三種基本類型：根式形式的三角函數式化簡、多項式形式的三角函數式化簡、分式形式的三角函數式化簡 ③化簡基本方法：用公式；異角化同角；異名化同名；化切割為弦；特殊值與特殊角的三角函數值互化。 （3）證明①化繁為簡法②左右歸一法③變更命題法④條件等式的

5、證明關鍵在于分析已知條件與求證結論之間的區(qū)別與聯系。 無論是化簡還是證明都要注意：（1）角度的特點（2）函數名的特點（3）化切為弦是常用手段（4）升降冪公式的靈活應用 四、三角函數的性質 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 圖象 定義域 x∈R x∈R x≠kπ+(k∈Z) x≠kπ(k∈Z) 值域 y∈[－1,1] y∈[－1,1] y∈R y∈R 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 奇函數 單調性 在區(qū)間[2kπ－,2kπ+]上都是增函數 在區(qū)間[2kπ+， 2kπ+]上都是減函數 在區(qū)間[2kπ－2

6、kπ]上都是增函數 在區(qū)間[2kπ，2kπ+π]上都是減函數 在每一個開區(qū)間 (kπ－, kπ+) 內都是增函數 在每一個開區(qū)間 （kπ,kπ+π）內都是減函數 周 期 T=2π T=2π T=π T=π 對稱軸 無 無 對稱 中心 五、已知三角函數值求角 1、反三角概念： （1）若sinx=a 則x=arcsina，說明：a>0，arcsina為銳角; a=0,arcsina=0; a<0, arcsina為“負銳角”。 （2） 若cosx=a 則x=arccosa說明：a>0，arccosa為銳角; a=0,arc

7、cosa=900; a<0, arccosa為鈍角。 （3）若tanx=a 則x=arctana說明：a>0，arctana為銳角; a=0,arctana=0; a<0, arctana為“負銳角”。如；arcsin,arcsin. arccos,arctan3>,而arctan(-3)=--arctan3. 而sin(arcsin不存在。 2、反三角關系： (1) arcsin(-x)=-arcsinax; arctan(-x)=arctanx; arcos(-x)=-arccosx 由此可知：是匠函數，而非奇非偶。 (2) arcsinx+arccosx

8、= 3、時求角： sinx=a 六、三角函數的最值 （1） 配方法求最值 主要是利用三角函數理論及三角函數的有界性，轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，如求函數的最值，可轉化為求函數上的最值問題。 （2） 化為一個角的三角函數，再利用有界性求最值： （3） 換元法求最值 ①利用換元法將三角函數問題轉化為代數函數，此時常用萬能公式和判別式求最值。 ②利用三角代換將代數問題轉化為三角函數，然而利用三角函數的有界性等求最值。 （三角） 一、選擇題： 1、正弦曲線y=sinx上一點P，正弦曲線的以點P為切點的切線為直線l，

9、則直線l的傾斜角的范圍是 （ ） A． B． C． D． 2、設函數圖象的一條對稱軸方程為, 則直線的傾斜角為 A. 　 B. C. D. 3、函數f(x)=|2sinx+3cosx|—|2sinx一3cosx|是 ( ) A．最小正周期為2π的奇函數 B．最小正周期為2π的偶函數 c．最小正周期為π的奇函數 D．最小正周期為π的偶函數 4、在三角形ABC中“cosA＋sinA=cosB＋sinB”是“C=90°”的（ ）

10、 （A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件 （C）充要條件 （D）非充分非必要條件 5、已知，那么 A. B. C. D. 6、函數的最小正周期是 A 2π B π C D 7、是正實數，函數在上是增函數，那么　　　　 （?。? A．　　　　　 B.　　　　C.　　D. 8、若函數f(x)同時具有以下兩個性質：①f(x)是偶函數，②對任意實數x，都有f()= f()，則f(x)的解析式可以是 A．f(x)=cosx　　B．f(x)=cos(2x)　　C．f(x)

11、=sin(4x)　　D．f(x) =cos6x 9、把函數的圖象向右平移 個單位，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值為 （ ） A、 　 B、　　　　　　C、 　　 D、 10、把函數的圖象沿向量的方向平移后，所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是 A． B． C． D． 11、在內，使成立的的取值范圍是

12、 （A）()　　　 （B）() （C）（）　　　 （D）() 12、已知函數圖象上，相鄰的一個最大值與一個最小值點恰好在上，則f(x)最小正周期為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13、若α為第二象限角，則下列各式恒小于零的是 （ ） A．sinα+cosα B．tanα+sinα C．cosα－cotα D．sinα－tanα 14、為了得到函數的圖象，可將函數的圖象 A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位 15、函數y=cosx

13、（sinx+cosx）的最小正周期為 A B C D 16、函數，的大致圖像是（ ） x y O x y O x y O x y O A B C D 17、.已知函數當時，以下結論正確的是（ ） A. B. C. D. 18、如果，且，那么 A. B. C. D. 19、已知sin(－x)＝，則sin2x的值為（ ） A. B. C.

14、 D. 20、函數f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的圖像關于點（5，0）對稱，則θ的值是（ ） A.－－10 B.－－5 C.2kπ－－10 D. kπ－－5 （k∈Z） 21、要得到函數y＝cos()的圖像，只需將y＝sin圖像（ ） A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位 22、已知向量，（O為原點，），則向量的長度的最大值是（ ） A． B．2 C．3 D．4 23、曲線和直線在軸右側的交點按橫

15、坐標從小到大依次記為P1，P2，P3，…，則等于 A． B．2 C．3 D．4 24 25、定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，，則的值為 （A） （B） （C） （D） 26、已知中，分別為角所對的邊，且，， ，則的面積為 （A） （B） （C） （D） 二、填空題： 曲線：的所有對稱中心的坐標是 . 已知函數f(x)=sin(x+)+sin(x－)+

16、cosx，則函數f(x)的最小正周期為 。 函數的最大值是 ． 2 -2 O 6 2 x y 函數的部分圖象如圖所示，則_____________。 對于函數＝ （）， 則它的 值域為 ; 已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈（0，），則sin2β的值為 。 定義運算為：例如，,則函數的值域為 ． 函數的減區(qū)間是 ． 三、解答題： 已知函數，求： （1）函數f(x)的定義域； （2）函數f(x)的

17、周期和值域. 解：（1） 得 （2）化簡得 所以 周期T= 已知A、B、C三點的坐標分別是A（3,0），B（0,3），C（cosα,sinα）,其中 （1）若,求角的值； （2）若,求的值． 已知0＜x＜，函數 （Ⅰ）求函數f(x)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間； （Ⅱ）若，求的值。 已知點A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，且0<<。 (1)若，求與的夾角； (2)若，求tan的值。 解：∵(1)， ∴ 又，∴ 又，∴與的夾角為.(5分) (2) ， ∵，∴ ∴ ① ∴ ∴

18、 ∵ ∴ 又由及 得 ② 由①②， ∴。 已知 （I）求； （Ⅱ）若的最小正周期及單調 遞減區(qū)間. 解：（I） 解出（舍去） 已知A (3，0)，B (0，3)，C ①若=－1,求的值； ②若,且∈(0,),求與的夾角. 解答:(1)=(－3,),=(,－3), ∴由·=－1, 得(－3)+(－3)=－1, ……………………………2分 ∴+=,………………………………………………………4分 兩邊平方,得1+=,∴=－……………………………6分 (2)=(3+,), ∴(3+)2+=13, …………………………………

19、…………8分 ∴=,∵∈(0,π), ∴=,=, …………………………………………………9分 ∴, 設與的夾角為,則 =, …………………………………11分 ∴　=即為所求. ………………………………………………………12分 已知： （Ⅰ） （Ⅱ） 解： ……3分 （Ⅰ）最小正周 ……6分 （Ⅱ） ……9分 即 即： 設 （1）求A、B、C的值； （2）求的最小正周期、最小值及取得最小值時的x的值。 已知向量，． （Ⅰ）當，且時，

20、求的值； （Ⅱ）當，且∥時，求的值． 已知向量，． （Ⅰ）當，且時，求的值； （Ⅱ）當，且∥時，求的值． 解：（Ⅰ）當時，， ， 由， 得， ……………………3分 上式兩邊平方得， 因此，． 　……………………………………………………………6分 （Ⅱ）當時，， 由∥得 ．即． ………………………………9分 ， 或 ． ……………………………………………… 已知向量. （1）求函數的最小正周期；（2）求函數的單調減區(qū)間； y （3）畫出函數的圖象，由圖象研究并寫出的對稱軸和對稱中心.

21、 2 1 x 0 -1 -2 ．解： ………………………………5分 （1）……………………………………6分 （2） ……………………9分 x 0 y 0 －2 0 2 0 （3） 從圖象上可以直觀看出，此函數有一個對稱中心（），無對稱軸…………14分