《高一數(shù)學(xué)第一章1.2.1《任意角的三角函數(shù)》教案 人教A版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高一數(shù)學(xué)第一章1.2.1《任意角的三角函數(shù)》教案 人教A版必修4(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、1.2 任意角的三角函數(shù)
1.2.1任意角的三角函數(shù)(一)
一、教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能
(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));(2)理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法;(3)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái);(4)掌握并能初步運(yùn)用公式一;(5)樹(shù)立映射觀點(diǎn),正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).
2、過(guò)程與方法
初中學(xué)過(guò):銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣到任意角,通過(guò)單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)
2、值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角函數(shù).講解例題,總結(jié)方法,鞏固練習(xí).
3、情態(tài)與價(jià)值
任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法,而且各種定義都有自己的特點(diǎn).過(guò)去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來(lái)定義,這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣,有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù),但它對(duì)準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響,“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沖突,而且“比值”需
3、要通過(guò)運(yùn)算才能得到,這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同,這些都會(huì)影響學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解.
本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).這個(gè)定義清楚地表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系.
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等(公式一).
難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));三角函數(shù)線的正確理解.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法,本節(jié)
4、利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系.
另外,這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接,數(shù)形結(jié)合更加緊密,這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便,也使三角函數(shù)更加好用了.
教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板、圓規(guī)、計(jì)算器
四、教學(xué)設(shè)想
第一課時(shí) 任意角的三角函數(shù)(一)
y
P(a,b)
r
O M
【創(chuàng)設(shè)情境】
提問(wèn):銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示?
借助右圖直角三角形,復(fù)習(xí)回顧.
引入:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量
5、,以比值為函數(shù)值的函數(shù)。
數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎?
如圖,設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,那
a的終邊
P(x,y)
O
x
y
么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過(guò)作軸的垂線,垂足為,則線段的長(zhǎng)度為,線段的長(zhǎng)度為.則;
; .
思考:對(duì)于確定的角,這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢?
顯然,我們可以將點(diǎn)取在使線段的長(zhǎng)的特殊位置上,這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù):
; ; .
思考:上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么,角的概念
6、推廣以后,我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改,以利推廣到任意角呢?本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題――任意角的三角函數(shù).
【探究新知】
1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢?
顯然,我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓.
2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?
如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:
(1)叫做的正弦(sine),記做,即;
(2)叫做的余弦(cos
7、sine),記做,即;
(3)叫做的正切(tangent),記做,即.
注意:當(dāng)α是銳角時(shí),此定義與初中定義相同(指出對(duì)邊,鄰邊,斜邊所在);當(dāng)α不是銳角時(shí),也能夠找出三角函數(shù),因?yàn)?,既然有角,就必然有終邊,終邊就必然與單位圓有交點(diǎn),從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.
3.思考:如果知道角終邊上一點(diǎn),而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢?
前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān),僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,
.所以,三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)
8、關(guān)系,故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).
4.例題講評(píng)
例1.求的正弦、余弦和正切值.
例2.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),求角的正弦、余弦和正切值.
教材給出這兩個(gè)例題,主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義.我也可以嘗試其他方法:
如例2:設(shè)則.
于是 ,,.
5.鞏固練習(xí)第1,2,3題
6.探究:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表;再將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中:
三角函數(shù)
定義域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
9、
7.例題講評(píng)
例3.求證:當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時(shí),角為第三象限角.
8.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系?
顯然: 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一:
(其中)
9.例題講評(píng)
例4.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),然后用計(jì)算器驗(yàn)證:
(1); (2); (3); (4)
例5.求下列三角函數(shù)值:
(1); (2); (3)
利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值, 轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值. 另外可以直接利用計(jì)算器求三角函數(shù)值,但要注意角度制的問(wèn)題.
10.鞏固練習(xí)第4,5,6,7題
11.學(xué)習(xí)小結(jié)
10、
(1)本章的三角函數(shù)定義與初中時(shí)的定義有何異同?
(2)你能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)嗎?
(3)請(qǐng)寫(xiě)出各三角函數(shù)的定義域;
(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時(shí)會(huì)準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎?
五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)
1.作業(yè):習(xí)題1.2 A組第1,2題.
2.比較角概念推廣以后,三角函數(shù)定義的變化.思考公式一的本質(zhì)是什么?要做到熟練應(yīng)用.另外,關(guān)于三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)要熟練掌握,知道推導(dǎo)方法.
第二課時(shí) 任意角的三角函數(shù)(二)
【復(fù)習(xí)回顧】
1、 三角函數(shù)的定義;
2、 三角函數(shù)在各象限角的符號(hào);
3、 三角函數(shù)在軸上角的值;
4、 誘
11、導(dǎo)公式(一):終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等;
5、 三角函數(shù)的定義域.
要求:記憶.并指出,三角函數(shù)沒(méi)有定義的地方一定是在軸上角,所以,凡是碰到軸上角時(shí),要結(jié)合定義進(jìn)行分析;并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶.
【探究新知】
1.引入:角是一個(gè)圖形概念,也是一個(gè)數(shù)量概念(弧度數(shù)).作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個(gè)數(shù)量概念(比值),但它是否也是一個(gè)圖形概念呢?換句話說(shuō),能否用幾何方式來(lái)表示三角函數(shù)呢?
O
x
y
a角的終邊
P
T
M
A
2.[邊描述邊畫(huà)]以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)度1為半徑畫(huà)一個(gè)圓,這個(gè)圓就叫做單位圓(注意:這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米).當(dāng)角為第
12、一象限角時(shí),則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn),則請(qǐng)你觀察:
根據(jù)三角函數(shù)的定義:;
隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),、是否也跟著變化?
3.思考:(1)為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào),能否給線段、規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?,使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)一致?
(2)你能借助單位圓,找到一條如、一樣的線段來(lái)表示角的正切值嗎?
我們知道,指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn),規(guī)定:
當(dāng)線段與軸同向時(shí),的方向?yàn)檎颍矣姓?;?dāng)線段與軸反向時(shí),的方向?yàn)樨?fù)向,且有正值;其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有
同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、
13、為終點(diǎn),規(guī)定:
當(dāng)線段與軸同向時(shí),的方向?yàn)檎?,且有正值;?dāng)線段與軸反向
時(shí),的方向?yàn)樨?fù)向,且有正值;其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有
4.像這種被看作帶有方向的線段,叫做有向線段(direct line segment).
5.如何用有向線段來(lái)表示角的正切呢?
如上圖,過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.
6.探究:(1)當(dāng)角的終邊在第二、第三、第四象限時(shí),你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎?
(2)當(dāng)?shù)慕K邊與軸或軸重合時(shí),又是怎樣的情形呢?
7.例題講解
例1.已知,試比較的大小.
處理:師生共同分析解答,目的體會(huì)三角函數(shù)線的用處和實(shí)質(zhì).
8.練習(xí)第1,2,3,4題
9學(xué)習(xí)小結(jié)
(1)了解有向線段的概念.
(2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái).
(3)體會(huì)三角函數(shù)線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】
1. 作業(yè):
比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計(jì)算器)
(1)、 (2)、 (3)、
2.練習(xí)三角函數(shù)線的作圖.