2020高考數(shù)學熱點集中營 熱點22 選修平面幾何問題 選修1 新課標

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1、 【兩年真題重溫】 (Ⅰ) 證明：，，，四點共圓； (Ⅱ) 若∠，且，，求，，， 所在圓的半徑． 【解析】本題考查了四點共圓的判定與圓的性質(zhì)． (Ⅰ)連結，根據(jù)題意在和中，， 即． 又，從而∽． 因此．所以，，，四點共圓． (Ⅱ)，時，方程的兩根為， ． 故，． ． 【2020新課標全國理，22】【2020新課標全國文，22】 如圖，已經(jīng)圓上的弧，過C點的圓切線與BA的延長線交于E點，證明： （Ⅰ）； （Ⅱ）. 解：命題意圖：本題主要考查幾何選講中圓、三角形相似等知識，考查分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題. （I）因為,所以. 又因為與圓相切于點，故

2、， 所以. （II）因為, 所以∽，故， 即. 【最新考綱解讀】 1．復習相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理． 2．證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理． 3．證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理. 4．了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)． 定理　在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(π與l平行，記β＝0)，則： (1)β>α，平面

3、π與圓錐面的交線為橢圓； (2)β＝α，平面π與圓錐面的交線為拋物線； (3)β<α，平面π與圓錐面的交線為雙曲線． 6．利用Dandelin雙球(這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐面均相切)證明上述定理(1)情況． 【回歸課本整合】 一、相似三角形 1．相似三角形 ①性質(zhì)定理1　相似三角形對應邊上的高、中線和它們周長的比都等于相似比． ②性質(zhì)定理2　相似三角形面積的比等于相似比的平方． 相似三角形對應角的平分線的比，外接圓直徑的比、周長的比，內(nèi)切圓直徑的比、周長的比都等于相似比． 2．圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對

4、的弧的度數(shù)． 3．圓周角定理 6．圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 ①對角互補．②外角等于它的內(nèi)對角 (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓． 推論　如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形四個頂點共圓． 【方法技巧提煉】 3．同一法：先作出一個滿足命題結論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． 4.證明多點共圓，當兩點在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互

5、補． 例1 如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF. (1)證明B、D、H、E四點共圓； (2)證明CE平分∠DEF. 【證明】　(1)在△ABC中，因為∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°. 因為AD，CE是角平分線， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°. 故∠AHC＝120°. 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， 所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四點共圓． (2) 例2 如圖所示，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2

6、于點D、E，DE與AC相交于點P. (1)求證：AD∥EC； (2)若AD是⊙O2的切線，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的長． 【解】　(1)證明：連接AB(圖略)， ∵AC是⊙O1的切線，∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E. ∴AD∥EC. (2)∵PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線， ∴PA2＝PB·PD，∴62＝PB·(PB＋9)，∴PB＝3. 在⊙O2中由相交弦定理，得PA·PC＝BP·PE， ∴PE＝4. ∵AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線， ∴AD2＝DB·DE＝9×(9＋3＋4)， ∴AD＝12. 【考場經(jīng)驗分享】

7、 【新題預測演練】 1.【2020年河北省普通高考模擬考試】 選修4—1：幾何證明選講 如圖，AB是的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，F(xiàn)為BA延長線上一點，且，求證： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解析】： （Ⅰ）證明：連接，在中 ………..2分 又∽ ………..4分 則 ………..5分 (Ⅱ)在中，

8、 又 四點共圓； ………..7分 ………..9分 又是⊙的直徑，則， ………..10分 2.【2020年邯鄲市高三第一次模擬考試】 選修4—1：幾何證明選講 3.【河南省2020年普通高中畢業(yè)班高考適應性測試】 選修4—1：幾何證明選講 如圖，已知中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作，垂足為E，連結OE。若，分別求AB，OE的長。 解： 所以.

9、 ……10分 …10分 7.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預測】 選修4—1：幾何證明選講 如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點. （Ⅰ）求證：四點Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圓； （Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度數(shù). 【命題分析】本題考查四點共圓問題和角的求解，考查學生利用平面幾何的知識解決問題的能力。 證明：（Ⅰ）由圓I與邊AC相切于點E， 得IE⊥AE; …………２分 結合IH⊥AH,得 所以，四點A,I,H,E共圓. ………

10、…５分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知四點A,I,H,E共圓，得，;…………７分 在中, 結合IH⊥AH,得； 所以. 由得 …………10分 （Ⅱ）在中，，…………6分 由①得∽, ∴,……………8分 ∴, 所以.……………10分 11.[河北冀州中學2020屆高三一?？荚嘳 選修4-1：幾何證明選講 如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧的中點，連結AG分別交⊙O、BD于點E、F，連結CE． （Ⅰ）求證：為⊙O的直徑。 （Ⅱ）求證：。； · · A B C D G E F O M 解：(Ⅰ)連結 ∵

11、為⊙M的直徑 ∴ 在⊙中， ∴為⊙O的直徑。 ………………4分 (Ⅱ) ∵ ∴ ∵點G為弧的中點 ∴ 在⊙中, ∴∽ ∴ ………………10分 13.[河南省焦作市2020屆高三第一次質(zhì)量檢測] 選修4-1：幾何證明選講 在中，AB=AC，過點A的直線與其外接圓交 于點P，交BC延長線于點D。 （1）求證： ； （2）若AC=3，求的值。 解：（1）， ～， 又 （5分） （2） ～， （10分） 解：(1)AC為圓O的切線,∴.又知,DC是的平分線, ∴