高中數(shù)學 矩陣與變換同步導學蘇教版 選修4-2

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1、 第一課　二階矩陣與平面向量 【考點掃描】 1． 了解矩陣的相關知識 在數(shù)學中，把形如，，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱做矩陣，一般地，我們用大寫黑體拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（aij）來表示矩陣，其中i,j分別表示元素所在的行和列。同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個數(shù)（或字母）稱為矩陣和元素，所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣. 平面上向量的坐標和平面上的點P（x,y）都可以看做是行矩陣，也可以看做是列矩陣.因此我們又稱為行向量，稱為列向量，在本書中，我們把平面向量（x,y）的坐標寫成的形式.

2、當兩個矩陣Ａ、Ｂ，只有當它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對應位置的元素也分別相等時，才有Ａ＝Ｂ. 2． 掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則 行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則：= 二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：= 一般地兩個矩陣只有當前一個列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等時才能進行乘法運算 3． 理解二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 一個列向量左乘一個2×2矩陣M后得到一個新的列向量，如果列向量表示一個點P（x,y）,那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對應平面上的一個新的點. 對于平面上的任意一個點（向量）（x,y）,若按照對應法則T，總能對應惟一的一個點（向量），則稱T為一個變換，簡記為：T：或

3、T： 一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d∈Ｒ） 由矩陣Ｍ確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點集到自身的一個映射，平面內(nèi)的一個圖形它在TM,的作用下得到一個新的圖形. 【基礎訓練】 1、 寫出方程組變量x,y的系數(shù)矩陣. 2、已知,，若A=B，求a，b，c，d. 3、某公司負責從兩個礦區(qū)向三個城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是100萬噸、140萬噸、160萬噸；從乙礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是300萬噸、260萬噸、540萬噸；把上述結(jié)果分別

4、用2×3矩陣和3×2矩陣表示. 4、分別計算下列乘法運算的結(jié)果 （1）（2）（3）（4） 5、求點A（3，6）在矩陣對應的變換作用下得到的點. 6、已知變換=，試將它寫成坐標變換的形式. 【解題指導】 例1、計算：（1） （2） 解：（1）原式= （2）原式= 點評：掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則是解題的關鍵 例2、已知平面上一個正方形ABCD（順時針）的四個頂點用矩陣表示為，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面積. 解：正方形ABCD的四個頂點的坐標依次為A（0，0）、B（a,c）、C(0,4)、D(b,d),從而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB

5、|=2，正方形ABCD的面積為8. 點評: 根據(jù)頂點矩陣寫出正方形的頂點的坐標,再利用正方形中的邊長相等,對角線相等互相垂直平分等有關數(shù)量關系求出a,b,c,d的值和正方形的面積. 例3、已知，若A=B，求x，y. 解：由矩陣相等的定義得：且解之得：x=y=-1 點評：兩個矩陣相等的充要條件是它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對應位置的元素也分別相等. 例4、已知變換，試將它寫成矩陣的乘法形式. 解：根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則得 點評：一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式. 例5、已知矩陣，，，

6、若A=BC，求函數(shù)在[1,2] 上的最小值. 解: ∵BC==, 又∵ A=BC ，∵x∈[1,2] 當x≥２時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為. 當1≤x＜2時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為. 當x＜1時，函數(shù)在[1,2]上的最小值為 ∴ 點評：（1）本題運用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個矩陣相等的充要條件； （2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論. 【本課小結(jié)】 1. 基礎知識：掌握矩陣的相關知識與二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 2. 基本技能：正確地進行二階矩陣與平面列向量的乘法運算 3. 基本思想：靈活運用等價轉(zhuǎn)化、分類討論

7、、函數(shù)與方程的思想解決矩陣問題 【能力測試】 1、“兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個矩陣相等”的（ ） A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件 2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、計算:=__________ 4、點A（1，2）在矩陣對應的變換作用下得到的點的坐標是___________ 5、已知是一個正三角形的三個頂點坐標所組成的矩陣，求a，b. 6、已知，若A=B，求α，β. 7、設矩陣A為二階矩陣，且規(guī)定其元素，i=1

8、，2，j=1，2，且，試求A. 8、若點A在矩陣對應的變換作用下得到的點為（1，0），求α. 9、若點A在矩陣對應的變換作用下下得到的點為（2，4），求點A的坐標. 10、已知△ABO的頂點坐標分別是A（4，2），B（2，4），O（0，0）,計算在變換TM=之下三個頂點ABO的對應點的坐標. 11、已知矩陣，，，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值. 第二課　幾種常見的平面變換 【考點掃描】 1．理解可以用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 （１）一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向

9、量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d∈Ｒ） 由矩陣Ｍ確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點集到自身的一個映射，平面內(nèi)的一個圖形它在TM,的作用下得到一個新的圖形. 在本節(jié)中研究的變換包括恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等六個變換． （２）由矩陣M=確定的變換TM稱為恒等變換，這時稱矩陣M為恒等變換矩陣或單位矩陣，二階單位矩陣一般記為E.平面是任何一點（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约? （３）由矩陣M=或M=確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換，這時稱矩陣M=或M=伸壓變換矩陣． 當M=時確定的變換將平面

10、圖形作沿x軸方向伸長或壓縮,當時伸長,當時壓縮.變換TM確定的變換不是簡單地把平面上的點(向量) 沿x軸方向“向下壓”或“向外伸”,它是x軸方向伸長或壓縮,以為例，對于x軸上方的點向下壓縮，對于x軸下方的點向上壓縮，對于x軸上的點變換前后原地不動． 當M=時確定的變換將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮,當時伸長,當時壓縮． 在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段． 恒等變換是伸壓變換的特例，伸壓變換多與三角函數(shù)圖象的變換聯(lián)系起來研究． （４）將一個平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對應的變換稱為反射變換，關于定直線或定點對稱的反射又分別稱為

11、軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點稱為反射點． 反射變換是軸對稱變換、中心對稱變換的總稱.在中學里常研究的反射變換有： 由矩陣M１=確定的變換是關于x軸的軸反射變換，由矩陣M２=確定的變換是關于y軸的軸反射變換,由矩陣M３=確定的變換是關于原點的中心反射變換．由矩陣M４=確定的變換是關于直線y=x的軸反射變換． 學習反射變換要與函數(shù)圖象的變換、解幾中二次曲線變換的知識聯(lián)系起來考慮.其實質(zhì)是變換對縱橫坐標產(chǎn)生的影響. （５）將一個平面圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)角得到另一個平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點稱為旋轉(zhuǎn)中心．當旋轉(zhuǎn)中心為原點且逆時針旋轉(zhuǎn)角時旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為．

12、旋轉(zhuǎn)變換只會改變幾何圖形的位置，不會改變幾何圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所確定．繞定點旋轉(zhuǎn)的變換相當于關于定點作中心反射變換． （６）將一個平面圖投影到某條直線（或某個點）的變換稱為投影變換，變換對應的矩陣稱為投影變換矩陣，本節(jié)中主要研究的是由矩陣M１=，M２= ，M３=確定的投影變換．需要注意的是投影變換是映射，但不是一一映射． （７）由矩陣M=或確定的變換稱為切變變換，對應的矩陣稱為切變變換矩陣．以為例，矩陣把平面上的點沿x軸方向平移｜ky|個單位，當ky＞０時沿x軸正方向移動，當ky＜０時沿x軸負方向移動，當ky＝０時原地不動， 切變

13、變換有如下性質(zhì)：（１）x軸上的點是不動點；（２）保持圖形面積大小不變,點間的距離和夾角大小可以改變且點的運動是沿坐標軸方向進行的． 切變變換的實質(zhì)是橫（縱坐標）成比例地運動. 2．理解二階矩陣對應的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣 一般地，二階非零矩陣對應變換把直線變?yōu)橹本€，把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換，本節(jié)中所研究的6種變換均為線性變換，在研究平面上多邊形或直線在矩陣的變換作用后的圖形時，只需考察頂點（或端點）的變化結(jié)果即可． 3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個變換之間的關系 如恒等變換可以看做伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變變換的特殊情形;關于坐標原點的中心反射變換可以看做

14、是繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換，它還可以看做是先作關于x軸的反射再作關于y軸的反射的復合; 繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換可以看做是先繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換再繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換等等. 【基礎訓練】 １、已知四邊形ABCD的頂點分別為A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四邊形ABCD在矩陣變換作用下變成正方形，則＝（　　?。? Ａ、 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、 2、已知矩陣M1=，M2=，M3=，則由M1，M2，M3確定的變換分別是（ ） A、恒等變換、反射變換、投影變換 B、恒等變換、投影變換、反射變換 C、投影變換、反射變換、恒

15、等變換 D、反射變換、恒等變換、投影變換 A B C D 1 -1 O x y 1 -1 3、直線x+y=5在矩陣 對應的變換作用下得到的圖形是（ ） A、直線x+y=5 B、直線y=5 C、直線x=5 D、點（0，5） 4、將向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量的坐標為=______________. 5、圖中正方形ABCD在由矩陣所確定變換的作用后的圖形的 面積為_____________. 6、若直線y=4x-4在矩陣M對應的伸壓變換下變成另一條直線y=x-1，則 M=__________. 【解題指導】 例1

16、、求圓C：在矩陣對應的伸壓變換下的曲線方程，并判斷曲線的類型. 解：設P(x,y)是圓C：上的任一點, P1是P(x,y) 在矩陣對應的伸壓變換下的曲線上的對應點 , 則 即 ,所以 代入得 方程表示的曲線為橢圓 點評：通過變換矩陣建立所求曲線上的點的坐標之間的關系是解決這類問題的關鍵． 例２、若曲線y=x2（x≥0）在矩陣M對應的反射變換作用下得到的曲線為y=x2（x≤0），求矩陣M. 解：由兩曲線之間的關系知： 矩陣M對應的反射變換是以y軸為軸的反射變換，所以M＝ 點評：這類問題在求解時應先確定兩曲線之間的反射變換是中心對稱反射變換還是是軸對稱變換．如果

17、是軸對稱變換再進一步確定對稱軸，進而寫出變換矩陣． 例３、若△ABC在矩陣M對應的旋轉(zhuǎn)變換作用下得到△A′B′C′，其中A（0，0），B（1，），C（0，2），A′（0，0）， C′（-，1），試求矩陣M并求B′的坐標. 解、由題意旋轉(zhuǎn)中心為原點，設逆時旋轉(zhuǎn)角為， 則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為Ｍ＝ ∴＝　　　　　∴ ∴ 故而 ∴Ｍ＝ 設B′（x,y）,則＝＝　　　∴ 點評：逆時針旋轉(zhuǎn)角為時的旋轉(zhuǎn)矩陣為，若順時針旋轉(zhuǎn)角為時，則將上述矩陣中的換為－即可． 例４、已知在矩陣M的作用下點A（1，2）變成了點A′（11，5），點B（3，-1）變成了點B′（5，1），點C（x

18、，0）變成了點C′（y，2），求（1）矩陣M；求（2）x、y值. 解： （1）設矩陣M=，， ，解之得，M= （2）由 得 點評：求變換矩陣通常用待定系數(shù)法． 例５、給定二階矩陣M，對任意向量 ，證明： 證明：設，， 得證 點評：更一般地，可以證明：，其中為任意實數(shù)。 【本課小結(jié)】 １． 基礎知識：用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 ２． 基本技能：會根據(jù)各種變換矩陣確定已知圖形的對應變換之下的圖形，會根據(jù)兩個圖形之間的關系求出變換矩陣 ３． 基本思想

19、或方法：靈活運用等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法以及用代入法求曲線方程等方法解決變換問題 【能力測試】 １、點（－１，k）在伸壓變換矩陣之下的對應點的坐標為（-2,　-4?。?，則m、k的值分別為（　　） A、２，４　　B、－２，４　　　C、２，－４　　　D、－２，－４ ２、設T是以 ox 軸為軸的反射變換，則變換T的矩陣為（　?。? A、　　Ｂ、 　?。谩? 　?。?、 ３、設A是到ox軸的正投影變換，A把點P（x，y）變成點P′（x，0），B是到oy軸的正投影變換B把點P（x，y）變成點P″（0，y），則變換A和B的矩陣分別為（　　）. Ａ、，　?。?、，　?。?、，　?。?、，

20、 ４、在某個旋轉(zhuǎn)變換中，順時針旋轉(zhuǎn)所對應的變換矩陣為　＿＿＿＿＿＿． ５、曲線在矩陣作用下變換所得的圖形對應的曲線方程為＿＿＿＿＿＿． ６、曲線xy=1繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的曲線方程是＿＿＿＿＿，變換對應的矩陣是＿＿＿＿. ７、已知曲線經(jīng)過伸壓變換T作用后變?yōu)樾碌那€，試求變換T對應的矩陣M. ８、求出橢圓 在矩陣作用下變換所得的圖形. ９、設點P的坐標為（１，-２），T是繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn) 的旋轉(zhuǎn)變換，求旋轉(zhuǎn)變換T對應的矩陣，并求點P在T作用下的象點P′的坐標. １０、已知經(jīng)過點A（１，2），平行于向量的直線l ,考察下列矩陣把直線l變成什么？ 1 2

21、 -2 -1 1 2 3 x y o A B A′ B′ （1） （2） 11、若有一矩陣把右圖中△ABO變成△A′B′O，其中點A的象點為點A′，點B的象點為點B′，試求該矩陣. 第三課　變換的復合與矩陣的乘法 【考點掃描】 １． 熟練掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法 （１） 兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下： （２） 兩個二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律 即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C. 2. 理解矩陣的乘法運算與

22、變換的復合之間的內(nèi)在聯(lián)系 （1）兩個二階矩陣相乘的結(jié)果從幾何的角度來看它表示的是原來兩個矩陣對應的連續(xù)兩次變換. （2）一般地兩個變換之間是不能隨意交換位置的，只有在特殊情況下才可以交換位置 （3）矩陣AB對應的復合變換順序是先進行矩陣B對應的變換再進行矩陣A對應的變換.如果連續(xù)對一個向量實施n次矩陣A對應的變換可以記為的形式. （4）在數(shù)學中，一一對應的平面幾何變換都可以看是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換，對應的矩陣叫做初等變換矩陣. 【基礎訓練】 1.=（ ） A、 B、 C、 D、 2.已知矩陣X、M、N

23、,若M=, N=，則下列X中不滿足:XM=N,的一個是（ ） A、X= B、X= C、X= D、X= 3.已知A=,B=則AB=____________,BA=______________ 4.對任意的二階非零矩陣A、B、C，下列命題中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，則B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）當E為單位矩陣時恒有：AE=EA=A.，其中真命題的序號為 5. 設，分別求A2, A3 ,A4, A5. 【解題指導】 例1、已知矩陣M=和N= （1）求證：MN=NM

24、 （2）說明M、N所表示的幾何變換，并從幾何上說明滿足MN=NM． 解：（1）MN== NM== ∴MN=NM （2）矩陣M所表示的變換是：把坐標平面上點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)；矩陣N所表示的變換是：把坐標平面上點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)（或逆時針旋轉(zhuǎn)）．矩陣MN表示的變換是：把坐標平面上點先繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，再把該點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，即把點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)；矩陣NM表示的變換是：把坐標平面上點先繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再把該點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，即把點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴矩陣MN和矩陣NM所表示的變換是同一變換，∴MN=NM 點評： （１）熟練掌握二階矩陣乘法的運算法則是進行矩陣乘法的關鍵

25、，需要指出的是，一般地不一定有MN=NM成立 （２）矩陣乘法的幾何意義是矩陣所對應的變換的復合，同樣兩個變換的復合在一般情形之下是不可以交換的． 例２、記，其中，作矩陣乘法SA，AS， （1）運算結(jié)果有何規(guī)律？ （2）S與單位矩陣、零矩陣的關系？ （3）當k>0時，矩陣S對應的變換TS有何幾何意義？ （4）研究TS與伸壓變換的關系？ 解：（1）由于 運算結(jié)果有何規(guī)律是：S與任一矩陣A乘積可交換，其結(jié)果是將矩陣A的每個元素的同乘以實數(shù)k （2）k=1時，S為單位矩陣，k=0時，S為零矩陣． （3）由于TS：→= TS的幾何意義為：以原點為中心作相似比為k的位似變換，將每

26、個點P（x，y）變換到點P′（x′，y′） （4）∵ TS相應于在x軸方向的伸壓變換與y軸方向的伸壓變換的復合 點評： （１） 仔細體會兩個二階矩陣乘法可交換的條件。 （２） 從矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義兩個不同的方面理解矩陣乘法和變換復合之間的內(nèi)在聯(lián)系。 （３） 復雜的變換都可以通過簡單的初等變換復合而成。 例3、利用矩陣變換的幾何意義，請構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋： （1）構(gòu)造兩個矩陣M，N，它們不滿足MN=NM； （2）構(gòu)造兩個不同的矩陣A，B，使等式成立； （3）構(gòu)造兩個不同的矩陣A，B，使等式成立． 解：（1） 矩陣M表示向x

27、軸壓縮為一半的變換矩陣N表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°的變換， 即 ∴ ， ∴MN≠NM （2） 將平面內(nèi)的點沿垂直于y軸方向投影到y(tǒng)=x，即（x，y）變?yōu)椋▂，y） 表示的變換為將縱坐標不變，橫坐標依縱坐標比例增加， 且（y，y）→（y+y，y）=（2y，y） 表示的變換為將平面內(nèi)的點縱坐標不變，橫坐標沿x軸方向拉伸為原來2倍，即（y，y）→（2y，y） ∴原等式成立 （3） A對應的變換表示恒等變換，即（x，y）變成(x，y)，對應的變換表示將平面上的點（x，y）垂直投影到y(tǒng)軸，即（x，y）變成（0，y），這樣A把點（x，y）變成（0，y） B對應的變換為將平面內(nèi)的點縱坐標

28、不變，橫坐標沿x軸方向壓縮為原來的，即 （x，y）變?yōu)椋?，y），再在變換作用下將（，y）變成（0，y） ∴原等式成立 點評：一般地，把一個矩陣分解為幾個矩陣的乘積是不唯一的，同樣把一個變換分解為幾個變換的復合的分解也是不唯一的。 例4、求關于直線y=3x的反射變換對應的矩陣A． 解：在平面上任取一點P（x，y），點P關于y=3x的對稱點P（x′，y′） 則有： 解得： A= 點評：一般地若過原點的直線m的傾斜角為，則關于直線m的反射變換矩陣為： A= 【本課小結(jié)】 １．基礎知識：掌握二階矩陣與二

29、階矩陣的乘法運算法則，理解二階矩陣的乘法的幾何意義 ２．基本技能：能熟練進行二階矩陣的乘法運算，能把一些復雜變換轉(zhuǎn)化為六種常見變換的復合，會用復合變換的方法進行圖形的變換， ３．基本思想或方法：靈活運用等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法等方法解決變換復合問題 【能力測試】 １、 計算：＝____________ ２、 =______ ３、 已知，則m= 1 ，n= 0 ，s= 1 ． ４、 已知，M=N=,則ＭＮ＝_______,NM=_________ ５、 設若M=把直線l：2x+y+7=0變換為自身，則 1 ， -1 ６、

30、 計算下列矩陣的乘積 （１） ； （２） 7、已知A=，試求據(jù)此猜想的結(jié)果. 8、利用矩陣乘法定義證明下列等式 （k>0）并說明其幾何意義. 9、已知中，A（0，0），B（2，0），C（1，2），對它先作M=對應的變換，再作N=對應的變換，試研究變換作用后的結(jié)果，并用一個矩陣來表示這兩次變換. 10、利用矩陣變換的幾何意義，請你構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋： （1）構(gòu)造兩個不同的矩陣A、B，使ＡＢ＝成立； （2）構(gòu)造一個矩陣M（M為非零矩陣），使Ｍ成立． 11、在直角坐標系中，l1，l2都經(jīng)過原點O，傾斜角分別是α，β，設TA，TB分別表示關于直線l1，l2的反射變換．求： （1）先TA后TB的復合變換的矩陣BA； （2）先TB后TA的復合變換的矩陣AB； （3）討論當α，β滿足什么條件時AB≠BA．