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1、第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布、統(tǒng)計
第1講 分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理
隨堂演練鞏固
1.在所有兩位數(shù)中,個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是( )
A.45 B.44
C.43 D.42
【答案】 A
【解析】 個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(個).
2.已知{2,3,7}{-31,-24,4},則可表示不同的值的個數(shù)是( )
A.2 B.3
C.6 D.9
【答案】 D
【解析】 用分步
2、乘法計數(shù)原理,第一步選x有3種方法,第二步選y也有3種方法,共有種方法.
3.一生產(chǎn)過程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,則不同的安排方案共有 ( )
A.24種 B.36種
C.48種 D.72種
【答案】 B
【解析】 分兩類:
(1)第一道工序安排甲時有種;
(2)第一道工序不安排甲時有種. ∴共有12+24=36種.
4.從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽,要求每個城市至少有一人
3、游覽,每人只游覽一個城市,且這6個人中,甲、乙兩人不去巴黎游覽,則不同的選擇方案共有( )
A.300種 B.240種 C.144種 D.96種
【答案】 B
【解析】 能去巴黎的有4個人,能去剩下三個城市的依次有5個人、4個人、3個人,所以不同的選擇方案有3=240(種).
5.用5種不同的顏色給圖中的A,B,C,D四個區(qū)域涂色,規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰的區(qū)域顏色不同,則有 種不同的涂色方案.
【答案】 180
【解析】 先分類:第一類:D與A不同色,則分四步完成,第一步涂A有5種方法;第二步涂B有4種方法;第三步涂C有3種方法;第四
4、步涂D有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理共有2=120(種).
第二類:D與A同色,分三步完成,第一步涂D與A有5種方法;第二步涂B有4種方法;第三步涂C有3種方法.
由分步乘法計數(shù)原理共有種).
所以共有涂色方案120+60=180(種).
課后作業(yè)夯基
基礎(chǔ)鞏固
1.有三本不同的書,一個人去借,至少借一本的方法有 ( )
A.3種 B.6種 C.7種 D.9種
【答案】 C
【解析】 分三類:第一類,借1本書,有3種借法;第二類,借2本書,有3種借法;第三類
5、,借3本書,有1種借法.所以,由分類加法計數(shù)原理,共有借法3+3+1=7(種).
2.有不同顏色的四件上衣與三件不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,則不同的配套種數(shù)為… ( )
A.7 B.64 C.12 D.81
【答案】 C
【解析】 由分步乘法計數(shù)原理有配套方法種).
3.如圖,在的方格(每個方格都是正方形)中,共有正方形( )
A.12個 B.14個
C.18個 D.20個
【答案】 D
【解析】 將所有正方形分成3類:邊長為1的正方形共有12個;邊長為2的正方形共有6個;邊長為3的正方形共有2個,所以共有正
6、方形12+6+2=20(個).
4.從1到10的正整數(shù)中,任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是( )
A.10 B.15 C.20 D.25
【答案】 D
【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)時和為奇數(shù),從而不同情形有種).
5.五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目,每個工程隊承建1項,其中甲工程隊不能承建1號子項目,則不同的承建方案共有( )
A.4種 B.96種 C.16種 D.24種
【答案】 B
【解析】 分五步完成.
第一步,甲工程隊選承建項目,有4種方法;
第二步,第二個工程隊選承建項目,有4種方法;
第三步,
7、第三個工程隊選承建項目,有3種方法;
第四步,第四個工程隊選承建項目,有2種方法;
第五步,第五個工程隊選承建項目,有1種方法.
共有種方法.
6.有一個圓被兩相交弦分成四塊,現(xiàn)在用5種不同顏料給這四塊涂色,要求共邊兩塊的顏色互異,每塊只涂一色,共有涂色方法種數(shù)是( )
A.240 B.250 C.260 D.180
【答案】 C
【解析】 如圖所示,分別用a,b,c,d表示這四塊區(qū)域,a與c可同色也可不同色,可先考慮給a,c兩塊涂色,可分兩類:
①給a,c涂同種顏色共5種涂法,再給b涂色有4種涂法,最后給d涂色也有4種涂法.由分步乘法計數(shù)原理知,此時
8、共有種涂法.
②給a,c涂不同顏色共有種涂法,再給b涂色有3種涂法,最后給d涂色也有3種涂法,此時共有種涂法.故由分類加法計數(shù)原理知,共有種涂法.
7.(2020遼寧大連月考)如圖,A、B、C、D為四個村莊,要修筑三條公路,將這四個村莊連接起來,則不同的修筑方案共有( )
A.8種 B.12種 C.16種 D.20種
【答案】 C
【解析】 修筑方案可分為兩類:一類是”折線型”,用三條公路把四個村莊連在一條曲線上〔如圖(1),A—B—C—D〕,有A種方案;另一類是”星型”,以某一個村莊為中心,用三條公路發(fā)散狀連接其他三個村莊〔如圖(2),A—B,A—C
9、,A—D〕,有4種方案.故共有12+4=16種方案.
8.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}則方程表示焦點位于y軸上的橢圓有個.
【答案】 10
【解析】 分四類.第一類,b=5時,有4個;第二類,b=4時,有3個;第三類,b=3時,有2個;第四類,b=2時,有1個.
根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有4+3+2+1=10個.
9.某學(xué)校組織3名同學(xué)去4個工廠進(jìn)行社會實踐活動,其中工廠A必須有同學(xué)去實踐,每個同學(xué)去哪個工廠可自行選擇,則不同的分配方案共有種(用數(shù)字作答).
【答案】 37
【解析】 方法一(直接法):(1)有1名同學(xué)去A工廠,則共有3=27種
10、分配方案;(2)有2名同學(xué)去A工廠,則共有種分配方案;(3)有3名同學(xué)去A工廠,則有1種分配方案,故共有27+9+1=37種.
方法二(間接法):自由選擇去4個工廠有種方法,工廠A不去,自由選擇其余3個工廠有種方法,故不同的分配方案有種.
10.如果一條直線與一個平面垂直,那么,稱此直線與平面構(gòu)成一個”正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的”正交線面對”的個數(shù)是.
【答案】 36
【解析】 若”正交線面對”中的平面為正方體的某一面,則過其四個頂點的垂線與該面是”正交線面對”,而這樣的”正交線面對”有個).若”正交線面對”中的平面為正
11、方體的某一對角面,則過正方體必有兩條面對角線與該平面垂直,因而這樣的”正交線面對”有12(個).因而共有24+12=36(個).
11.已知集合A={},集合B={},其中3,4;j=1,2)均為實數(shù).
(1)從集合A到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射?
(2)能構(gòu)成多少個以集合A為定義域,以集合B為值域的不同函數(shù)?
【解】 (1)因為集合A中的每個元素3,4)與集合B中元素的對應(yīng)方法都有2種,由分步乘法計數(shù)原理,構(gòu)成B的映射有個).
(2)在(1)的映射中 ,a ,a ,a均對應(yīng)同一元素或的情形構(gòu)不成以集合A為定義域,以集合B為值域的函數(shù),這樣的映射有2個.所以,構(gòu)成
12、以集合A為定義域,以集合B為值域的函數(shù)有16-2=14(個).
12.用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的比2 000大的4位偶數(shù)?
【解】 完成這件事可分為3類:
第一類是用0作結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),它可以分三步去完成:第一步,選取千位上的數(shù)字,只有2,3,4,5可以選擇,有4種選法;第二步,選取百位上的數(shù)字,除0和千位上已選定的數(shù)字以外,還有4個數(shù)字可供選擇,有4種選法;第三步,選取十位上的數(shù)字,還有3種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,這類數(shù)的個數(shù)有=48(個);
第二類是用2作結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),它可以分三步去完成:第一步,選取千位上的
13、數(shù)字,除去2,1,0只有3個數(shù)字可以選擇,有3種選法;第二步,選取百位上的數(shù)字,在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后,還有4個數(shù)字可供選擇,有4種選法;第三步,選取十位上的數(shù)字,還有3種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,這類數(shù)的個數(shù)有個);
第三類是用4作結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),其步驟同第二類.這類數(shù)的個數(shù)為個). 綜上可知,符合題設(shè)條件的四位數(shù)共有48+36+36=120(個).
13.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若則:
(1)可以表示多少個不同的二次函數(shù).
可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù).
【解】 (1)a的取值有5種情況,b的取值有6
14、種情況,c的取值有6種情況,因此可以表示6=180個不同的二次函數(shù).
的開口向上時,a的取值有2種情況,b、c的取值均有6種情況,因此可以表示個圖象開口向上的二次函數(shù).
14.如圖,從A地到B地有3條不同的道路,從B地到C地有4條不同的道路,從A地不經(jīng)B地直接到C地有2條不同的道路.
(1)從A地到C地共有多少種不同的走法?
(2)從A地到C地再回到A地有多少種不同的走法?
(3)從A地到C地再回到A地,但回來時要走與去時不同的道路,有多少種走法?
【解】 (1)從A地到C地的走法分為兩類:第一類經(jīng)過B,第二類不經(jīng)過B.在第一類中分兩步完成,第一步從A到B,第二步從B到C,所以從A地到C地的不同走法總數(shù)是4+2=14(種).
(2)該事件發(fā)生的過程可以分為兩大步:第一步去,第二步回.由(1)可知這兩步的走法都是14種,所以去后又回來的走法總數(shù)是種).
(3)該事件的過程與(2)一樣可分為兩大步,但不同的是第二步即回來時的走法比去時的走法少一種,所以,走法總數(shù)為種).
高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1講 分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理
