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1、
保分大題規(guī)范專練(五)
1.在△ABC^,角 A, B, C所對邊分別為 a, b, c,且 sin B— cos B= 1
22 5
⑴求cos B的值；
22r sin C
(2)右 b — a = ac,求 sn~A的值.
B B 1 一
解：⑴由sin 5—cos 2= 5平萬信
1 — sin B=—,即 sin B=—
2525
B B B 兀 兀
又 sin 2>cos 5,貝U 2 c 彳,—,
, 兀，，7
所以 BC —,兀,故 cos B=——.
225
(2)由余弦定理得 b2= a2+ac= a2+c2—2accos B,
一
2、7 一,11
IP a= c— 2a - — 25 ,所以 c = 25a,
,,sin C 11
故=一
sin A 25
2.等腰三角形 ABC^, E為底邊BC的中點(diǎn)，沿 AE折疊，如圖，將
C折到點(diǎn)P的位置，使二面角P AE C的大小為120° ,設(shè)點(diǎn)P在面ABE 上的射影為H
(1)證明：點(diǎn)H為BE的中點(diǎn)；
(2)若AB= AC= 2、隹，ABL AC求直線BE與平面ABP所成角的正切值.
解：(1)證明：依題意，AE± BC
貝UAEX EB AE1 EP, EBP EP= E, ? . AE1 平面 EPB
???/CEP^二面角C AE P的平面角， 則點(diǎn)
3、P在平面ABE±的射影H在EB上,
由/ CEP= 120 得/ PEB= 60 ,
?.EP= CE= ER
??.△EBPME三角形，
11
? .EHh 2EP= 2EB ? ? H為 EB的中點(diǎn).
(2)法一：過點(diǎn) H作HML AB于點(diǎn)M連接PM過點(diǎn)H作HNL PM
N,連接BN
則AB,平面PHM又AB?平面PAB ???平面 PHML平面PAB
??.HNL平面PABH蹌平面PABtk的射影為 N玲
，/HBM直線BE與平面 AB所成的角.
依題意,
BE= 2BC= 2, BH= ]BE= 1.
且平行于PH的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
4、,
設(shè)平面
ABP勺法向量
n=(x, y, z),
一
AB = 0,
-2x + 2y=0,
—2x + y + \/3z = 0,
取 n=(3,3
設(shè)直線
BE與平面AB所成的角為a ,
貝U sin
| "Be - n|
a = =
| 宣|| n| 2XV21
21
7
tan
占
八、、
在 Rt^HM即,HM=挈在△ EPB中,PH= &
一上14 PH- HM 21
???在 RUPHM^, PM=^—, HN= 2
'2PM 7
,21
HN
sin / HBN=宙= HB
??.tan ZHBN=孚,
，直線BE
5、與平面AB所成角的正切值為 二3 法二：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 EA EB所在直線為x, y軸，以過
則 E(0,0,0), B(0,2,0), A(2,0,0), R0,1 ,也),
BE = (0, — 2,0),
AB = (-2,2,0) , TP =(-2,1,73)，
BE與平面ABP/f成角的正切值為
)?
3.已知函數(shù)f(x) =x2-x3, g(x) = ex—1(e為自然對數(shù)的底數(shù)
…一1 2
(1)求證：當(dāng) x>0 時，g(x)>x+2x;
(2)記使得kf(x)wg(x)在［0,1］上恒成立的最大實(shí)數(shù) k為no,
求證:
n0 c [4,6].
6、
證明：(1)設(shè) h(x) = g(x) — x —2x2,
即 h(x) = ex_ 1— x_2^2, hz (x) = ex- 1 -x
令 m(x) = h' (x),則 ml (x) = ex- 1,
，當(dāng) x>0 時，mi ( x) >0, h' (x)為增函數(shù)，
又 h' (0) = 0, h' (x) >0,
1 .h(x)在[0, +8)上單調(diào)遞增，則 h(x)>h(0) =0,
2 ?.g(x) >x+1x2.
,….1 2 一
(2)由⑴ 知當(dāng)kf(x)wx + 2x時，必有kf (x)wg(x)成立,
1 2
下面先證：當(dāng) x € [0,1]時
7、，4f (x)Wx + ]x,
當(dāng)x= 0或1時，上式顯然成立，
一-，,21
???只需證當(dāng) x€ (0,1)時，4(x-x)<1 + 2x?
2
8x -7x + 2>0,
而 8x2—7x+2 = 8 x-7 2+15>0, 1632
當(dāng) k<4 時，必有 kf(x)Wg(x)成立，，nc>4；
另一方面，當(dāng)k= 6時，
令 F( x) = 6f(x) - g(x) =6x2—6x3—ex+ 1,
F' (x) = 12x—18x2—ex<0,
F(0) = — e° + 1 = 0,
，當(dāng) k=6 時，kf (x) wg(x)成立，
t 」,1
當(dāng)k>6時，取x = 2,
kf (x) -g(x) =k+ 1 -'7e>7->/e>0,
???當(dāng) k>6 時，kf (x)
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