高考數(shù)學(xué) 考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第五章 第3課 數(shù)列的求和

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1、第3課　數(shù)列的求和 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法有： （1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式 （2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和（如：通項(xiàng)中含因式，周期數(shù)列等等） （3）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛a｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2 （4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如

2、果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。 （5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知公差不為0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝中,Sn為前n項(xiàng)之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10, 則S5 = 30 。 2．設(shè)，則等于。 3．已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1<０，a2020＋a2020<０，a2020·a2020<０，則使前n項(xiàng)之和 Sn<０成立的最大自然數(shù)n是 ４０１０　。 4．已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列

3、,且a2=8,a8=26,從｛an｝中依次取出第3項(xiàng),第9項(xiàng),第27項(xiàng)…,第3n項(xiàng),按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛bn｝, 則bn=__3n+1+2___ 5． 若數(shù)列滿足：，2，3….則. 【范例導(dǎo)析】 例1.已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列 解：（I）依題意 （II） 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。 例2．?dāng)?shù)列前項(xiàng)之和滿足： （1） 求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2） 若數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足：

4、，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3） 定義數(shù)列為，，求數(shù)列的前項(xiàng)之和。 解：（1）由得： 兩式相減得：　即, ∴數(shù)列是等比數(shù)列。 （2），則有 ∴。 （3）， ∴ 點(diǎn)評(píng)：本題考查了與之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題。 例3．已知數(shù)列滿足，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意的，． 分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。 解：（Ⅰ），， 又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

5、，　 即.　　　　　　　　 　　 （Ⅱ）． ． （Ⅲ）， ． 當(dāng)時(shí)，則 ． ， 對(duì)任意的，． 點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第二問(wèn)分組求和法是非常常見(jiàn)的方法，第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。 備用題．已知數(shù)列，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，… （1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2)

6、 …(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)； （2） 記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1. 解：（Ⅰ）由已知， ； ， 兩邊取對(duì)數(shù)得：，即； 是公比為2的等比數(shù)列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） =； 由（*）式得 （Ⅲ） 又 ； ； ； 又 . 【反饋演練】 1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為 75 。 2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的前項(xiàng)和為。 3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則 377 。 4．已知數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為。 5．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為。 6．已知數(shù)

7、列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為。 7．已知數(shù)列中，且有，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，前項(xiàng)和為。 8．對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是　　 解：，曲線在x=2處的切線的斜率為 切點(diǎn)為, 所以切線方程為, 令x=0得：, 設(shè)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為： 9．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2，對(duì)于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0， 又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n－1+1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn； 解：(1）可解得，從而an

8、=2n，有Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－1. 10．?dāng)?shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)設(shè)bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由. 解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列， d==－2,∴an=10－2n. (2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n

9、≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40， 故Sn= (3)bn= ；要使Tn＞總成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7. 11．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…). (1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn； (3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1. 解：(1)由S1=a1=1,S2

10、=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t. ∴a2=. 又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ① 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ② ①－②得3tan－(2t+3)an－1=0. ∴,n=2,3,4…, 所以{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列； (2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1. 可見(jiàn){bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列. 于是bn=1+(n－1)=; (3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b2n=, ∴b1b2－b

11、2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1) =－ (b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－ (2n2+3n) 12．已知為銳角，且，函數(shù)， 數(shù)列{an}的首項(xiàng). ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式； ⑵ 求證：； ⑶ 求證： 分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。 解：⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。