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1、第第2 2講數(shù)列求和及簡單應(yīng)用講數(shù)列求和及簡單應(yīng)用考情分析考情分析總綱目錄考點一 集合的概念及運算考點二 充分、必要條件的判斷（高頻考點）考點三 命題真假的判斷與否定考點一 數(shù)列的遞推公式1.數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系,an= 11(1),(2).nnS nSSn2.應(yīng)用an與Sn的關(guān)系式f(an,Sn)=0時,應(yīng)特別注意n=1時的情況,防止產(chǎn)生錯誤.典型例題典型例題(1)(2017山西太原模擬)已知數(shù)列an中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(nN*),則其前n項和Sn= .(2)(2017安徽合肥質(zhì)量檢測(二)已知數(shù)列an中,a1=2,且=4(an+1-an)(nN*),則其前
2、9項和S9= .答案答案(1)2n+2-4-(2)1 02221nnaa(37)2nn解析解析(1)因為an+1=2an+3n-1,所以an+1+3(n+1)+2=2(an+3n+2),所以數(shù)列an+3n+2是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,所以an+3n+2=2n+1,所以an=2n+1-3n-2,所以數(shù)列an的前n項和Sn=2n+2-4-.(2)由已知,得=4anan+1-4,即-4anan+1+4=(an+1-2an)2=0,所以an+1=2an,所以數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故S9=210-2=1 022.(37)2nn21na2na21na2na92 (1 2 )1 21
3、.由遞推公式求通項公式的三種類型(1)形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)求通項公式.(2)形如an+1=anf(n),常可采用疊乘法,即利用恒等式an=a1求通項公式.(3)形如an+1=ban+d(其中b,d為常數(shù),b0,1)的數(shù)列,常用構(gòu)造法.其基本思路是:構(gòu)造an+1+x=b(an+x),則an+x是公比為b的等比數(shù)列,利用它可求出an.21aa32aa1nnaa1dxb其中方法歸納方法歸納2.由Sn與an的關(guān)系式求通項公式當(dāng)已知數(shù)列an的一個含有an,Sn的等式時,往往根據(jù)升冪或降冪的方法得到一個新的等式
4、,然后兩個等式相減,從而把前n項和轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項之間的關(guān)系,再根據(jù)這個關(guān)系求解數(shù)列的通項.跟蹤集訓(xùn)1.(2017山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足an+1=若a1=,則a2 017=()A. B. C. D. 12,0,2121,1.2nnnnaaaa35152535451.答案 C因為a1=,所以根據(jù)題意得a2 =,a3=,a4=,a5=,所以數(shù)列an是以4為周期的數(shù)列,又2 017=5044+1,所以a2 017=a1=,故選C.3515254535352.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)數(shù)列an滿足an+1+(-1)nan=n+1,則an的前40項的和為 .2.答案440解析當(dāng)n=1時,a2
5、-a1=2,當(dāng)n=2時,a3+a2=3,當(dāng)n=3時,a4-a3=4,當(dāng)n=4時,a5+a4=5,由-得a3+a1=1,由+得a4+a2=7,當(dāng)n=5時,a6-a5=6,當(dāng)n=6時,a7+a6=7,當(dāng)n=7時,a8-a7=8,當(dāng)n=8時,a9+a8=9,由-得a7+a5=1,由+得a8+a6=15,類似可得a11+a9=1,a39+a37=1,a12+a10=23,即a4k+2+a4k+4(kN)構(gòu)成一個首項為7,公差為8的等差數(shù)列,S40=(a1+a3+a5+a7+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+a38+a40)=110+710+8=440.10 (10 1)2考點二 求數(shù)列的前n
6、項和數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的.(2)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的.(3)裂項相消法把數(shù)列的每一項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.(4)分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和后再相加減.(5)并項求和法一個數(shù)列的前
7、n項和可兩兩結(jié)合求解,則稱為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用并項求和.典型例題(2017山東,19,12分)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)bn為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項和Tn.解析(1)設(shè)an的公比為q,由題意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由題意知,S2n+1=(2n+1)bn+1,nnba21a121(21)()2nnbb又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令c
8、n=,則cn=.因此Tn=c1+c2+cn=+,又Tn=+,兩式相減得Tn=+-,所以Tn=5- .nnba212nn322523721212nn212nn12232352472212nn1212nn123221111222n1212nn252nn方法歸納1.利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項;或者前面剩幾項,后面也剩幾項;(2)裂項相消求和法是數(shù)列求和的重要方法之一,其基本形式為:若an是等差數(shù)列且an0,則+=.121a a231a a11nna a11nna a2.用錯位相減法求和時應(yīng)注意的兩點(1)要善于識別題目類型
9、,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的數(shù)列;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達式.跟蹤集訓(xùn)1.(2017廣西三市聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及數(shù)列an的通項公式;(2)若bn=(1-an)log3(an+1),求數(shù)列 的前n項和Tn.2na1nb1.解析(1)6Sn=3n+1+a(nN*),當(dāng)n=1時,6S1=6a1=9+a,當(dāng)n2時,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,an是等比數(shù)列,a1=1,則9+a=6,得a=-3,數(shù)列an的通項公式為an=
10、3n-1(nN*).(2)由(1)得bn=(1-an)log3(an+1)=(3n+1)(3n-2),Tn=+=+=.2na11b21b1nb11 41471(32)(31)nn131111114473231nn31nn2.(2017安徽合肥質(zhì)量檢測(一)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S4=24,S7=63.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn=+(-1)nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.2na2.解析(1)設(shè)an的公差為d,則an=2n+1.(2)bn=+(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),Tn=2(41+42+4n)+-3+5-
11、7+9-+(-1)n(2n+1)=+Gn.當(dāng)n=2k(kN*)時,Gn=2=n,Tn=+n;當(dāng)n=2k-1(kN*)時,Gn=2 -(2n+1)=-n-2,Tn=-n-2,41714 3424,27 67632SadSad13,2ad2na8(41)3n2n8(41)3n12n8(41)3nTn= n*n*8(41)(2 ,N ),38(41)2(21,N ).3n nk knnkk考點三 數(shù)列中的最值問題1.求解數(shù)列中的最大(小)項的常用方法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)=an,利用求函數(shù)最值的方法進行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制條件;(2)利用數(shù)
12、列的單調(diào)性求解,利用不等式an+1an(或an+1an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列的單調(diào)性,進而確定相應(yīng)的最值.2.求解Sn最值的方法(1)利用前n項和公式,求出數(shù)列的前n項和Sn,根據(jù)相應(yīng)函數(shù)最值的求解思路進行求解;(2)利用數(shù)列的通項an,將其轉(zhuǎn)化為不等式組的求解問題:若則Sm最大;若則Sm最小.10,0,mmaa10,0,mmaa典型例題(1)若數(shù)列bn的通項公式為bn=-+13,則數(shù)列bn中的最大項的項數(shù)為()A.2或3 B.3或4C.3 D.4(2)(2017河南洛陽第一次統(tǒng)考)等比數(shù)列an的首項為,公比為-,前n項和為Sn,則當(dāng)nN*時,Sn-的最大值與最小值之和為()A.-
13、 B.-C. D.12nn32121nS237121456答案(1)B(2)C解析(1)解法一:由bnbn-1,可得-+13-+13,整理得-1+,即n2-n-120,解得-3nbn-1,即數(shù)列bn單調(diào)遞增,當(dāng)n4時,bnbn+1,即數(shù)列bn單調(diào)遞減,又b3=b4=6,所以數(shù)列bn的最大項的項數(shù)為3或4,故選B.解法二:設(shè)數(shù)列bn的第n項最大.由12nn12(1)1nn12n121n11,nnnnbbbb即整理得即解得n=3或n=4.又b3=b4=6,所以當(dāng)n=3或n=4時,bn取得最大值,故選B.(2)依題意得,Sn=1-.1212(1)1313,1121213(1)13,1nnnnnnnn
14、 12121,112121,1nnnn22120,120,nnnn31122112n 12n當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=1+隨著n的增大而減小,1Sn=1+S1=,Sn- 隨著Sn的增大而增大,0Sn-;當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=1-隨著n的增大而增大,=S2Sn=1-1,Sn-隨著Sn的增大而增大,-Sn-0),則f (x)=x(3x-20),令f (x)=0,解得x=(x=0舍去),當(dāng)x時, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x時, f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=時, f(x)取得極小值.取n=6,得f(6)=-48,取n=7,得f(7)=-49,故nSn的最小值為-49.專題五立體幾何103103231(1)2n nnad32103nn32103xx13203200,320,3203
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