第10章 穩(wěn)恒磁場

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1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流 第10章 穩(wěn)恒磁場 .....精品文檔...... 第十章 穩(wěn)恒磁場 問題 10-1 你能說出一些有關(guān)電流元激發(fā)磁場與電荷元激發(fā)電場有何異同嗎？ 解 電流元激發(fā)的磁場與電荷元激發(fā)的電場是兩個基元場. 由畢奧—薩伐爾定律定律得電流元激發(fā)的磁場為 由電荷元電場強度公式得電荷元激發(fā)的電場為 相同點： 這兩個場的大小都與場點到“元”（電流元、電荷元）的距離平方成反比； 這兩個場都是矢量場，滿足疊加原理. 相異點： 電荷元產(chǎn)生的電場呈球?qū)ΨQ，其方向與的方向相同或相反；電流元產(chǎn)生的磁場不具有球?qū)ΨQ性，

2、其方向垂直于與 組成的平面，遵從右手螺旋法則. 另外，的大小與電荷元的電量成正比，而的大小不僅與的大小成正比，還與其方向有關(guān). 10-2 在球面上鉛直和水平的兩個圓中通以相等的電流，電流流向如圖所示.問球心處磁感強度的方向是怎樣? 解 由右手螺旋法則可知，鉛直的圓中電流在處產(chǎn)生的磁場方向垂直于鉛直面向里；水平圓中電流在處產(chǎn)生的磁場方向垂直于水平面向下；并且這兩個圓產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小相等。所以球心處總的磁感應(yīng)強度 斜向里，與豎直向上方向的夾角為. 10-3 電流分布如圖所示,圖中有三個環(huán)路1、2和3. 磁感強度沿其中每一個環(huán)路的線積分各為多少？ 解 由安培環(huán)路定

3、理可知 環(huán)路1 環(huán)路2 環(huán)路3 10-4 “無限長”載流直導(dǎo)線的磁感強度可從畢奧-薩伐爾定律求得.你能否用安培環(huán)路定律來求得呢? 如果可以,需要作哪些假設(shè)條件呢? 解 “無限長”載流直導(dǎo)線周圍的磁場分布呈軸對稱，距離導(dǎo)線相等處的場點磁感強度大小相等. 取以直導(dǎo)線為中軸線、半徑為的同心圓為積分路徑，積分方向與直導(dǎo)線中電流方向遵從右手螺旋定則. 由安培環(huán)路定律可得 在此解法中需要場點距直導(dǎo)線的距離為有限. 10-5 如圖所示,在一個圓形電流的平面內(nèi)取一個同心的圓形閉合回路,并使這兩個圓同軸,且互

4、相平行.由于此閉合回路內(nèi)不包含電流,所以把安培環(huán)路定理用于上述閉合回路可得 由此結(jié)果能否說在閉合回路上各點的磁感強度為零? 解 不能，不僅與磁感強度的大小有關(guān)，還與磁感強度與積分路徑的夾角有關(guān). 當時，也成立. 10-6 如圖所示,設(shè)在水平面內(nèi)有許多根長直載流導(dǎo)線彼此緊挨著排成一行,每根導(dǎo)線中的電流相同. 你能求出鄰近平面中部、兩點的磁感強度嗎？、兩點附近的磁場可看作均勻磁場嗎？ 解 由于導(dǎo)線數(shù)目甚多，且電流分布均勻，相當于一個無限大帶電平面. 由對稱性可知，在平面中部附近各點的磁感強度大小相等. 設(shè)各導(dǎo)線中的電流為，單位長度的導(dǎo)線數(shù)目為. 如圖所示，

5、取長為的矩形回路，回路內(nèi)所包含的電流為，且使、邊與磁場平行，、邊與磁場垂直，所以由安培環(huán)路定律可知 可見當導(dǎo)線電流、導(dǎo)線分布密度一定時，在平面中部附近的場強可以視為均勻磁場. 10-7 如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時，電子運動的路徑不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，我們能否說這個區(qū)域沒有磁場？ 解 由洛侖茲力可知，電子進入磁場是否受力偏轉(zhuǎn)與電子進入磁場時的速度方向有關(guān)，若電子進入磁場時初始速度方向與磁場方向平行，即 此時雖然磁感強度不為零，但電子運動路徑不會發(fā)生偏轉(zhuǎn). 10-8 方程中的三個矢量，哪些矢量始終是正交的？哪些矢量之間可以有任意角度？ 解 由右手螺旋法則可知 中 ，力與粒子速度，

6、與磁感強度始終正交，與可以有任意角度. 10-9 氣泡室是借助于小氣泡顯示在室內(nèi)通過的帶電粒子徑跡的裝置，如圖是氣泡室中所攝照片的描繪圖，磁感強度的方向垂直平面向外，在照片的點處有兩條曲線，試判斷哪一條徑跡是電子形成的？哪一條是正電子形成的？ 解 由可知向右偏離的徑跡是正電子形成的, 向左下偏離的徑跡是電子形成的. 10-10 在磁場中，若穿過某一閉合曲面的磁通量為零，那么，穿過另一非閉合曲面的磁通量是否也為零呢？ 解 不一定. 磁場為有旋無源場，由磁場中的高斯定理可知，穿過任一閉合曲面的磁通量必為零，即；而穿過一非閉和曲面的磁通量不一定為零，例如處于均勻磁場中的半球面，磁感強

7、度的方向與半球面中軸線平行，則穿過此半球面的磁通量為. 10-11 安培定律中的三個矢量，哪兩個矢量始終是哪些矢量始終是正交的？哪些矢量之間可以有任意角度？ 解 由右手螺旋法則可知中, 安培力與、安培力與磁感強度始終是正交的, 與之間可以有任意角度. 10-12 如圖，把一載流線圈放入一永久磁鐵的磁場中，在磁場的作用下線圈將發(fā)生轉(zhuǎn)動.（1）圖（）中的線圈怎樣轉(zhuǎn)動？（2）圖（）中的線圈由上往下看是順時針在轉(zhuǎn)動，問磁鐵哪一邊是極，哪一邊是極？（3）圖（）中的線圈由上往下看是反時針在轉(zhuǎn)動，問線圈中電流的流向怎樣？ 解 (1) 圖（）中的線圈由上往下看是反時針轉(zhuǎn)動. （2）圖（）中左

8、邊磁鐵是極,右邊磁鐵是極. （3）圖（）中線圈電流是順時針. 10-13 如均勻磁場的方向鉛直向下，一矩形導(dǎo)線回路的平面與水平面一致，試問這個回路上的電流沿哪個方向流動時，它才處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ 解 載流回路在磁場中會受到磁場的作用. 要矩形導(dǎo)線回路處于平衡狀態(tài)，則要求整個導(dǎo)線回路所受合力及磁力矩都為零. 由于回路為矩形，無論電流流向如何，它所受合外力均為零. 同時要使回路所受磁力矩也為零，由可知，載流線圈的方向必須與磁感強度的方向相同，回路所受的磁力矩才為零，即電流方向與磁感強度方向應(yīng)遵從右手螺旋定則. 10-14 如圖所示，有兩個圓電流和平行放置，這兩個圓電流間是吸引還是排

9、斥? 解 圓電流產(chǎn)生的磁場與產(chǎn)生的磁場方向相反, 它們之間相互排斥. 10-15 若在上題兩圓電流和之間放置一平行的圓電流（如圖），這個圓電流如何運動？ 解 由各圓電流產(chǎn)生的磁場方向可知,圓電流和相互吸引, 圓電流與相互排斥,所以圓電流向移動. 1 21 習題 10-1 如圖所示，兩根長直導(dǎo)線互相平行的放置，導(dǎo)線內(nèi)電流大小相等均為，方向相同，求圖中、兩點的磁感強度的大小和方向（圖中）. 解 由無限長帶電直導(dǎo)線在距離其處的磁感強度大小為可知，兩導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感強度大小相等為 由右手螺旋法則可知它們的方向相反

10、，由磁場的疊加可得點的磁感強度 同理點的磁感強度為 其方向沿水平向左. 10-2 已知地球北極地磁場磁感強度的大小為. 如圖所示,如設(shè)想此地磁場是由地球赤道上一圓電流所激發(fā), 此電流有多大? 流向如何? 解 設(shè)赤道圓電流為，地球半徑為。由教材可知，圓電流軸線上距圓心處（地球北極）的磁感強度 由上式可知，此電流大小為 由于地磁場由南極指向北極，由右手螺旋法則可知，此圓電流的流向應(yīng)為自西向東. 10-3 如圖所示,幾種載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布,電流均為,它們在點的磁感強度各為多少? 解 （1）圖（a）中的載流導(dǎo)線可看作兩根直導(dǎo)線和一

11、段圓弧形導(dǎo)線組成。 場點在兩根直導(dǎo)線的延長線上，有，這兩根直導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁場為零。所以此時點處磁感強度由圓弧電流激發(fā)，即 由右手定則可知方向垂直紙面向外. （2）點磁感強度可看作是一圓電流和長直電流在此處的疊加，圓電流在點產(chǎn)生的磁感強度垂直紙面向里，長直電流在點產(chǎn)生的磁感強度垂直紙面向外，總的磁感強度為 方向垂直紙面向里. （3）點磁感強度可看作是一半圓電流和兩根長直電流在此處的疊加，點總的磁感強度為 方向垂直紙面向外. 10-4 如圖所示,半徑為的木球上繞有密集的細導(dǎo)線, 線圈平面彼此平行,且以單層線圈覆蓋住半個球面,設(shè)線圈的總匝數(shù)為,通過線圈的電流為. 求球心處的磁感強度

12、. 解 如圖所示，以球心為原點、半球中軸線為軸建立直角坐標系。由于導(dǎo)線均勻繞在半球面上，我們可以將半球分成一組薄圓盤，每一個圓盤可看作一個圓電流元。單位弧長上的線圈匝數(shù)為，每一個圓盤中的電流為 它在球心處產(chǎn)生的磁感強度為 考慮到、，將上式積分可得球心處總的磁感強度為 10-5 如圖所示,一寬為的薄金屬板, 其電流為,試求在薄板的平面上,距板的一邊為的點的磁感強度. 解 如圖所示，以點為原點，建立坐標軸。我們可以將薄板分成寬度為的長直電流，且，它在點處所產(chǎn)生的磁感強度為 由于各長直電流在點處產(chǎn)生的磁感強度方向相同，故將上式積分可得總的磁感強度為 的方向垂直于紙面向里.

13、 10-6 如圖所示, 載流長直導(dǎo)線的電流為. 試求通過矩形面積的磁通量. 解 以直導(dǎo)線上一點為原點，以通過點的垂線為軸. 則載流導(dǎo)線在距其處產(chǎn)生的磁感強度為 可見導(dǎo)線周圍各點的磁感強度并不相同，我們可以通過積分來求通過矩形面積的磁通量，即 10-7 如圖, 在磁感強度為的均勻磁場中,有一半徑為的半球面, 與半球面的軸線夾角為. 求通過該半球面的磁通量. 解 取半球面和球面截圓組成的閉合曲面，由磁場高斯定理可知 所以穿過半球面的磁通量為 10-8 已知裸銅線允許通過電流而不致導(dǎo)線過熱，電流在導(dǎo)線橫截面上均勻分布. 求（1）導(dǎo)線內(nèi)、外磁感強度的分布；（2）導(dǎo)線表面的磁感強

14、度. 解 （1）將導(dǎo)線看作半徑為長直圓柱體，由于電流在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，它產(chǎn)生的磁場也呈軸對稱，取同心圓環(huán)為環(huán)路，對于半徑為的環(huán)路，由安培環(huán)路定理可得 在導(dǎo)線內(nèi)，半徑為的圓環(huán)內(nèi)的電流，則半徑為的同軸圓柱面上各點的磁感強度為 在導(dǎo)線外，，所以導(dǎo)線外部的磁感強度為 （2）由上問可知，在導(dǎo)線表面的磁感強度連續(xù)，所以表面的磁感強度為 10-9 有一同軸電纜，其尺寸如圖所示. 兩導(dǎo)體中的電流均為，但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可以不考慮. 試計算以下各處的磁感強度：（1）；（2）；（3）；（4）. 畫出圖線. 解 由于電纜中電流均勻分布，其產(chǎn)生的磁場也呈軸對稱，取不同半徑的同心

15、環(huán)為積分環(huán)路，由安培環(huán)路定理有 當時 ，磁感強度為 當時 ，磁感強度為 當時 ，磁感強度為 當時 ，磁感強度為 其分布曲線如右. 10-10 設(shè)電流均勻流過無限大導(dǎo)電平面，其電流密度為. 求導(dǎo)電平面兩側(cè)的磁感強度. 解 導(dǎo)電平面內(nèi)電流均勻分布，平面兩側(cè)的磁感強度大小相等，方向相反。如圖所示，垂直于導(dǎo)電平面取矩形回路，并且使、均平行于矩形與導(dǎo)電平面的交線，. 回路內(nèi)包含的電流. 由安培環(huán)路定理，磁感強度沿回路的積分為 又，、段路徑與磁場垂直，所以上式為 所以導(dǎo)電平面兩側(cè)的磁感強度大小為 10-11 設(shè)有兩無限大平行載流平面，它們的電流密度均

16、為，電流流向相反. 求（1）兩載流平面之間的磁感強度；（2）兩面之外空間的磁感強度. 解 由上題結(jié)果可知,一無限大載流平面在兩測的磁感強度大小為,方向相反.設(shè)兩載流平面的電流流向如右圖所示. 由疊加原理得在兩平面在之間磁感強度為 其方向垂直紙面向里. 在兩平面之外，由于兩平面在此區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的磁場大小相等、方向相反，所以磁感強度 10-12 測定離子質(zhì)量的質(zhì)譜儀如圖所示，離子源產(chǎn)生質(zhì)量為，電荷為的離子，離子初速很小，可看作靜止. 經(jīng)電勢差加速后離子進入磁感強度為的均勻磁場，并沿一半圓形軌道到達離入口處距離的感光底片上. 試證明該離子的質(zhì)量為 證明

17、 離子經(jīng)電勢差加速后獲得一定的初速度進入磁場，在磁場中會受在洛侖茲力的作用下作圓周運動. 由動能定理 可知，離子進入磁場的初速度為 由題意可知，離子作圓周運動的半徑，所以有 由上述兩式可得離子質(zhì)量為 10-13 已知地面上空某處地磁場的磁感強度，方向向北。若宇宙射線中有一速率的質(zhì)子垂直的通過該處，求：（1）洛倫茲力的方向；（2）洛倫茲力的大小，并與該質(zhì)子受到的萬有引力相比較. 解 （1）如圖，由可知，洛倫茲力的方向與的方向一致. （2）因為質(zhì)子運動方向與磁感強度的方向垂直，所以質(zhì)子受到的洛倫茲力的大小為 此質(zhì)子受到的萬有引力為，可見質(zhì)子在此處受到的洛倫茲力遠遠大

18、于它所受到的萬有引力. 10-14 如圖所示，設(shè)有一質(zhì)量為的電子射入磁感強度為的均勻磁場中，當它位于點時，具有與磁場方向成角的速度，它沿螺旋線運動一周到達點，試證、兩點的距離為 證明 入射電子的速度可以分解為垂直于磁感強度方向的分量和平行于磁感強度方向的分量. 電子的運動可以分解成在垂直于磁感強度的平面內(nèi)受到洛倫茲力所作的圓周運動和在平行于磁感強度方向以勻速運動. 這兩個運動的疊加軌跡是一等距螺旋線. 在垂直于磁感強度方向的平面內(nèi)，電子運動一周的時間、即圓周運動的周期為 在水平方向，經(jīng)過時間，電子運動的距離為 10-15 利用霍耳元件可以測量磁場的磁感強度，設(shè)一霍耳元件由一金屬

19、材料制成，其厚度為，載流子數(shù)密度為，將霍耳元件放入待測磁場中，測得霍耳電壓為，測得電流為。求此待測磁場的磁感強度. 解 由霍耳電壓可知，待測磁感強度為 10-16 載流子濃度是半導(dǎo)體材料的重要參數(shù)，工藝上通過控制三價或五價摻雜原子的濃度，來控制型或型半導(dǎo)體的載流子濃度. 利用霍耳效應(yīng)可以測量載流子的濃度和類型. 如圖所示一塊半導(dǎo)體材料樣品，均勻磁場垂直于樣品表面，樣品中通過的電流為，現(xiàn)測得霍耳電壓為. 證明樣品載流子濃度為 證明 半導(dǎo)體中載流子在磁場中受到洛侖茲力的作用會積聚在導(dǎo)體兩側(cè)面(兩側(cè)面相距為)，從而在側(cè)面建立起電場，即霍耳電場，兩側(cè)面的電壓為霍耳電壓. 當載流子受到的洛侖

20、茲力與電場力平衡時有 由載流子速度與電流的關(guān)系為 由上兩式可知樣品載流子的濃度為 10-17 一通有電流為的導(dǎo)線，彎成如圖所示的形狀，放在磁感強度為的均勻磁場中，的方向垂直紙面向里. 問此導(dǎo)線受到的安培力為多少？ 解 此導(dǎo)線可視為兩段直導(dǎo)線和一段半圓弧. 由安培定律，兩直導(dǎo)線受到的安培力大小相等、方向相反. 導(dǎo)線受到的安培力即半圓弧受到的安培力. 如右圖所示，建立坐標系，在圓弧上取一小段電流元，它所受到的安培力為 由對稱性可知，圓弧導(dǎo)線受到的安培力在水平面上的分量為零，所以 其方向沿軸方向. 10-18 如圖所示，一根長直導(dǎo)線載有電流，矩形回路載有電流. 試計算

21、作用在回路上的合力. 已知，，. 解 由安培環(huán)路定理可知，長直導(dǎo)線在距離其處激發(fā)的磁感強度為 且在回路所在的區(qū)域磁場方向垂直紙面向里. 由安培定理可知，矩形線框中上、下兩邊受到的力、大小相等方向相反，線框左、右兩邊受到的安培力大小分別為 所以線框受到的合力為 其方向水平向左. 10-19 一直流變電站將電壓的直流電，通過兩條截面不計的平行輸電線輸向遠方. 已知兩輸電導(dǎo)線間單位長度的電容為，若導(dǎo)線間的靜電力與安培力正好抵消. 求（1）通過輸電線的電流；（2）輸送的功率. 解 （1）設(shè)兩導(dǎo)線相距為，一導(dǎo)線在另一導(dǎo)線處激發(fā)的磁感強度為 則單位長度的導(dǎo)線受到的安培力大小為 又

22、兩導(dǎo)線單位長度上的電容為，電壓為，則單位長度上的電荷為，一導(dǎo)線在另一導(dǎo)線處激發(fā)的電場強度為 所以單位長度的導(dǎo)線受到的電場力為 當導(dǎo)線受到的靜電力與安培力抵消，即 所以輸電線上的電流為 （2）由可知輸送的功率為 10-20 如圖所示，將一電流均勻分布的無限大載流平面放入磁感強度為的均勻磁場中，電流方向與磁場垂直，放入后，平面兩側(cè)磁場的磁感強度分別為和，求該載流平面上單位面積所受的磁場力的大小和方向. 解 設(shè)載流平面內(nèi)電流密度為，由10-10題可知，無限大載流平面在其兩側(cè)所產(chǎn)生的磁感強度大小為，將此平面放入磁場中，由疊加原理可知，載流平面兩側(cè)區(qū)域的磁感強度分別為 由上兩式可得

23、 所以載流平面上單位面積所受的磁場力 10-21 一半徑為的薄圓盤，放在磁感強度為的均勻磁場中，的方向與盤面平行. 在圓盤表面電荷面密度為，若圓盤以角速度繞通過盤心并垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動. 求證作用在圓盤上的磁力矩為 證明 旋轉(zhuǎn)的帶電薄圓盤可以視為一組半徑不同的同心圓電流。在圓盤上取半徑為、寬為的同心細圓環(huán)，其等效電流為 又此圓電流的磁矩為 它所受到的磁力矩為 所以作用在圓盤上的磁力矩為 10-22 在氫原子中，設(shè)電子以軌道角動量，繞質(zhì)子作圓周運動，其半徑為，求質(zhì)子所在處的磁感強度，為普朗克常量，其值為. 解 設(shè)電子運動的速度為，則其軌道角動量為 所以電子繞

24、核運動的速度為 其等效電流為 則它在圓心（即質(zhì)子處）的磁感強度為 10-23 如圖所示是一種正在研究中的電磁軌道炮的原理圖。該裝置可用于發(fā)射速度高達的炮彈。炮彈置于兩條平行軌道之間并與軌道想接觸，軌道是半徑為的圓柱形導(dǎo)體，軌道間距為，炮彈沿軌道可以自由滑動. 恒流電源E，炮彈及軌道構(gòu)成一閉合回路，回路中電流為.（1）證明作用在炮彈上的磁場力為 （2）假設(shè)，，，炮彈從靜止起經(jīng)過一段路程的加速后速率為多大？（設(shè)炮彈質(zhì)量） 解 （1）通過兩軌道的電流大小相等，方向相反，它們在軌道之間產(chǎn)生垂直于回路平面向里的磁感強度，通有電流的炮彈在磁場中受力，向右加速運動，從而獲得較大的發(fā)射速度. 我們可以將軌道視為兩根半無限長載流圓柱。取兩軌道對稱軸為軸（如圖所示），則兩軌道在炮彈上任一點（此點縱坐標為）處激發(fā)的總的磁感強度為 所以炮彈受到的磁場力為 （2）炮彈從靜止被加速，經(jīng)過路程后所獲得的速度為