第17講 時(shí)變電磁場(chǎng)



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1、第 17 講 時(shí)變電磁場(chǎng)(1) 本節(jié)內(nèi)容: 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 1)電荷產(chǎn)生電場(chǎng) 2)運(yùn)動(dòng)電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場(chǎng) 3)靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)獨(dú)立存在,所以可以分開研究 本章將講述時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng),兩個(gè)場(chǎng)將不在獨(dú)立, 而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化,構(gòu)成統(tǒng)一的時(shí)變電磁場(chǎng)。 當(dāng)做為場(chǎng)源的電荷和電流隨時(shí)間變化時(shí),它們產(chǎn)生的電場(chǎng) 和磁場(chǎng)不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù),而且也隨時(shí)間變化。而且變化 的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng),時(shí)變的電場(chǎng)也要產(chǎn)生磁場(chǎng)。此時(shí)電場(chǎng)和磁 場(chǎng)互為因果,成為統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的不可分割的部分。 一,法拉第電磁感應(yīng)定律 1831年,英國
2、物理學(xué)家法拉第(Faraday)總結(jié)大量的實(shí) 驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)與一個(gè)由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁通量 發(fā)生變化時(shí),回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),進(jìn)而引起感應(yīng)電流。 而且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于磁通量變化率的負(fù)值。 接通線圈1的開關(guān)K時(shí),在線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ㈡ 由第2章知道,在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必須在導(dǎo)體內(nèi)存在非保 守場(chǎng),我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場(chǎng)(非庫侖電場(chǎng))來定義感 應(yīng)電動(dòng)勢(shì): £ =『E - dl °C in 如果空間中同時(shí)存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場(chǎng) E , 則 總電場(chǎng)E = E + E in C E - dl = J E - dl °c in 因此電場(chǎng)沿
3、閉合路徑的積分為 .(E + E ) - dl = C in c E - dl = -d J B - dS dt S 上式為電磁場(chǎng)表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。 穿過線圈回路磁通的變化可能是由于: 隨時(shí)間變化的 磁場(chǎng)穿過(交鏈)靜止的線圈, 或線圈在均勻磁場(chǎng)中連續(xù)改 變它的形狀或位置, 或上述兩種情況的綜合, 因此,上式是 普遍適用的公式。如果線圈是靜止的, 則穿過線圈回路的磁 通變化只可能是由于磁場(chǎng)隨時(shí)間變化而引起, 此時(shí)上式可表 示為: E - dl = -J dB ?dS 在此之后,英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋( Ma
4、xwell) 對(duì)電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析,揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本 質(zhì),并得出了電場(chǎng)和交變的磁場(chǎng)之間的關(guān)系。 他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由于交變的磁場(chǎng)激發(fā)了一種 非保守的電場(chǎng)的結(jié)果。這個(gè)電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與 感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為: 故電磁感應(yīng)定律可表示為: E - dl =_J 8 B -dS 以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng) 激發(fā)的,不論導(dǎo)體是否存在,只要磁場(chǎng)變化,就要激發(fā)感應(yīng)電 場(chǎng),所以上式不只適合于導(dǎo)體回路,對(duì)任一閉合回路都是成立 的。 由斯托克斯公式,上式可改寫為: E-d = J VxE? dS = -J aB s ~ar -dS S
5、 即: 由于 S 任意,所以: aB [ dS = 0 ~dr丿 V x E 二一 aB a 這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式,它清楚地表明了 交變磁場(chǎng)和感應(yīng)電場(chǎng)間的關(guān)系。 電場(chǎng)的源有兩種:靜止電荷,時(shí)變磁場(chǎng) 二, 位移電流 變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng), 那么變化的電場(chǎng)能否產(chǎn)生磁場(chǎng) 呢?回答是肯定的。 麥克斯韋把恒定磁場(chǎng)中的安培定律用于時(shí)變場(chǎng)時(shí)出現(xiàn)了 矛盾, 為此提出位移電流的假說, 對(duì)安培定律做了修正。 位移電流的假說就是變化的電場(chǎng)
6、產(chǎn)生磁場(chǎng)的結(jié)果。 考察安培環(huán)路定律在時(shí)變場(chǎng)情況下是否成立。 S 2 電容器的位移電流 先看一個(gè)例子。一個(gè)中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電 源的兩端,1為一個(gè)與導(dǎo)線交鏈的閉合回路,若取一個(gè)以1為邊 界的曲面S與導(dǎo)線;閭交,則由安培環(huán)路定律: .H ? dl = J J ? dS = i 0 l S 1 i —導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流 若取一個(gè)曲面 S 不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間,則 / H ? dl = 0 0 l 這樣磁場(chǎng)強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果, 這說明安培環(huán)路定律用于時(shí)變場(chǎng)要產(chǎn)生矛盾。 麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先 分
7、析了這一矛盾的實(shí)質(zhì),這實(shí)際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安 培環(huán)路定律與時(shí)變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。 安培環(huán)路定律: Vx H = J 要求 而在時(shí)變場(chǎng)中, 電流連續(xù)性方程是: a ~dr 二者是矛盾的。我們知道,電荷守恒定律是普通正確的 而安培環(huán)路定律在時(shí)變場(chǎng)情況下必須加以修正。 Maxwell 認(rèn)為,在時(shí)變情況下,高斯定理和磁通連續(xù)性原 理仍然適用。即: V - D G t)=p 6, t) J。D 6, t). dS = Q (t) S V - B(r,t)= 0 B (r,t)? dS 二 0 S 這樣電流連續(xù)性方程可寫為: V. J + °
8、=V? J +%? D )= 0 ~dt ~dt 即: V- J + dD、 ~dt丿 V? J 主 o J+aD ■? 此式表明,在時(shí)變場(chǎng)中, ,但矢量 方的 散度等于o,若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的J,即得: Vx H = J + dD ~dt 這樣, 它與電流連續(xù)性方程就是相容的了 式中~dl稱為位移 電流密度, 其單位為(A/m )。 引入位移電流之后,一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在, 因?yàn)椋? ■ ? H - dl 二. ■ 〉嚴(yán)] l S 〔 擊丿
9、 -dS 二 J S2 在兩極板之間,電流以位移電流的形式存在,從而保持了 電流的連續(xù)性。 上式還表明,變化的電場(chǎng)也將激發(fā)磁場(chǎng)。麥克斯韋根據(jù)電 場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激發(fā),預(yù)言了電磁波的存在,這一預(yù)言在后來得 到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。 磁場(chǎng)可以由電流來產(chǎn)生,也可以由變化的電場(chǎng)產(chǎn)生。 例 計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。 設(shè)銅中的電場(chǎng)為 E sin o t 銅的電導(dǎo)率 c = 5.8 x 107 s / m, 8^8. 00 解: 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 J = cE = cE sin ot c0 T 8D 8E 廠 J = ^ = 8 ^ = 8E COS Ot d
10、~dr ~dr 0 1 7 2 時(shí) x 10 - 9 Jd =O8= 換 =9.6 x 10-19 f J c 5.8 x 107 例:證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為 零。 解: 根據(jù)麥克斯韋方程 Vx H = J + dD ~dt 可知,通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 dD、 ~dt丿 -dS = J (VxH)-dS S ((Vx H) -dS =J V ? (Vx H)dV 0 S V 三,麥克斯韋方程組 麥克斯韋推廣了法拉第電磁感應(yīng)定律,得出交變的磁場(chǎng)產(chǎn) 生電場(chǎng)的結(jié)論;又于 1862 年提出了位移電流的假說
11、,說明交 變的電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)。這表明了電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的緊密聯(lián) 系,二者相互依存,又相互制約,成為統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的兩個(gè)方 面。
上述兩個(gè)方程構(gòu)成了 Maxwell 方程組的核心,同時(shí)麥克斯
韋認(rèn)為除了高斯定理在時(shí)變情況下成立外,磁通連續(xù)性原理也
是成立的,它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組:
Vx H = J +
dD
~dt
12、P dV = Q
V
在各向同性的線性媒質(zhì)中,各場(chǎng)量之間的關(guān)系是
D = 8 E
< B =卩 H
J =Q E
——媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場(chǎng)的輔助方程
從以上方程不難看出,前面討論過的靜電場(chǎng),恒定電場(chǎng)和
d 0
恒定磁場(chǎng)的基本方程都不過是Maxwell方程組在dt 時(shí)的 特例。
Maxwell 方程組的正確性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí),它適用于描述
所有的宏觀電磁現(xiàn)象,包括運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了 宏觀電磁理論的框架,電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求
Maxwell 方程組的解。
麥克斯韋方程的物理意義:
1, 第一方程是修正后的安培環(huán)路定律,表明電流和時(shí)變電場(chǎng) 可以激發(fā) 13、磁場(chǎng)。第二方程是法拉第電磁感應(yīng)定律,表明時(shí) 變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)之一重要事實(shí)。
這兩個(gè)方程是麥克斯韋方程的核心,表明時(shí)變磁場(chǎng)和時(shí)變 磁場(chǎng)互相激發(fā),時(shí)變電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在,在 空間形成電磁波。
2,
第三方程表示磁通的連續(xù)性,即空間的磁力線既沒有起點(diǎn)
也沒有終點(diǎn),從物理意義上講是空間不存在自由磁核的結(jié) 果。第四方程是電場(chǎng)的高斯定理,它對(duì)時(shí)變電荷和靜止電 荷都成立。表明電場(chǎng)是有通量源的場(chǎng)。
3, 時(shí)變場(chǎng)中的電場(chǎng)的散度和旋度都不為零,所以電力線起始 于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場(chǎng)的散度恒為零,旋度不為 零,所以磁力線是于電流交鏈的閉合曲線,并且磁力線與 電力線相互交鏈。
在遠(yuǎn)離場(chǎng)源 14、的無源區(qū)域,電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度都為零,這時(shí), 電力線和磁力線自行閉合,相互交鏈,在空間形成電磁波。
4, 一般情況下,時(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量和場(chǎng)源既是空間坐標(biāo)的 函數(shù),又是時(shí)間的函數(shù),若場(chǎng)矢量不隨時(shí)間變化,上述方 程退化為靜態(tài)場(chǎng)方程。
5, 在線性介質(zhì)中,麥克斯韋方程組是線性方程組,可以應(yīng)用 疊加原理。
交變電磁場(chǎng)的邊界條件
1,磁場(chǎng)強(qiáng)度H的邊界條件
H
2
由麥克斯韋第一方程:
J H ?dl =\ J ?dS + J ?dS
l S S岔
H Al — H Al = J -bhAl +
2t 1t
? b h Al
VD' 蘆丿
-- dD -
=J ?bAl 15、+ ?bhAl
s
H - H
2t 1t
=J ? b + aD ? b h
s ~8r
號(hào)有限,所以第二項(xiàng)為0
o t
H - H = J ? b
2t 1t s
或?qū)懗墒噶啃问剑?
H - b x n 一 H - b x n = J
2 1 s
即:
xH
-fixH丿?方
i
而石任蘆
? nx w -H )=7
* ? 2 1 s
若無傳導(dǎo)電流,則Hit =
=J ?方
s
H
it
或恥
1
2,電場(chǎng)強(qiáng)度E的 16、邊界條件
E
2
由麥克斯韋第二方程:
E M-E A/ =-
it it
dB
?bh\l
dB
有限,而
20
? E -E
… it it
it
即:
或:
it
nx
電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)
E
1
3,磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件
2
n
h
i
1,冒1
由麥克斯韋第三方程(磁通連續(xù)性原理):
j B - dS = 0
0
S
與恒定磁場(chǎng)類似的討論可得:
B - B
In (2n 應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)
n ? 5 — B 丿-0 17、
或: 2 1
3,
電感應(yīng)強(qiáng)度D的邊界條件
D
2
由麥克斯韋第四方程(高斯定理)
j D - dS = Q
0 X
S
與靜電場(chǎng)類似討論可得:
D — D — P
或:
2n In、 S
n ?^D — D 丿—。
2 1 S
)=J
)=0 S )= —D)=
21
n x(H - H n x G — e
n-B
n
Sb
綜上所述,交變電磁場(chǎng)中的邊界條件可歸納為: H - H = J
2t 1 18、t
E 二 E
1t 2t
B 二 B
1n 2 n
D -D
2 n 1n
下面討論一特例——理想導(dǎo)體表面上交變場(chǎng)的邊界條件。
所謂理想導(dǎo)體是指° =g的導(dǎo)體。對(duì)于于很大的良導(dǎo)體, 當(dāng)頻率很高時(shí),電磁場(chǎng)只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi),這 種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)(以后在均勻平面波部分詳細(xì)講), ° 越 大,集膚效應(yīng)越顯著,透入深度越小(如在10GHz,透入銅的 深度為6.6 x 10 -5 cm), ° =3時(shí),透入深度為0,即在理想導(dǎo)體 內(nèi)部電磁場(chǎng)處處為 0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知,電荷 和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。
根據(jù)上述邊界條件,在理想導(dǎo)體表面上:
Sb
19、或矢量形式
可見,在理想導(dǎo)體表面上,電場(chǎng)只有法向分量,磁場(chǎng)只有
切向分量。
[例]已知兩無限大理想導(dǎo)體板相距為a,如圖,其間電場(chǎng)
強(qiáng)度為E = a E0 sin 竺xcos61-az ( m -常數(shù)),求兩板內(nèi)壁上
y 0 a
的面電流密度。
z
解.7 =恥片
欲求7 ,應(yīng)先求片
S
由麥克斯韋第二方程:
V x £ =—
dB
~^T
dH
o ~^r
dE dE
即:
一 、y x + 、 y z 二一卩
~^z~ ~^X~ 0
dH
~^T
m兀
-aE sin xsin
0 a
inCet -az)X + mK 20、E cos
a 0
"兀 xcos61-az)Z
~a~
dH
兩邊對(duì) t 積分得:
齊 a E . m兀 H 二一 o sin
ey a
o
x cosC^t - a z -
m兀 m兀 .C y
E cos x sin Vet -a z)z
a 0 a
0
m兀
ey a
0
E sin(et-az)Z
0
八mTt 「?( \
y E smten—ocz 丿
(o|Li a 0
-y mn E Osin Cot-ocz
mil c 0
本節(jié)回顧:
1, 法拉第電磁感應(yīng)定律
2, 位移電流
3, 麥克斯韋方程組
4, 邊界條件
作業(yè)
5.9
5.10
5.11
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