第17講 時變電磁場

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1、第 17 講 時變電磁場(1) 本節(jié)內(nèi)容: 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 1)電荷產(chǎn)生電場 2)運(yùn)動電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場 3)靜電場和靜磁場獨(dú)立存在,所以可以分開研究 本章將講述時變電場和時變磁場,兩個場將不在獨(dú)立, 而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化,構(gòu)成統(tǒng)一的時變電磁場。 當(dāng)做為場源的電荷和電流隨時間變化時,它們產(chǎn)生的電場 和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù),而且也隨時間變化。而且變化 的磁場要產(chǎn)生電場,時變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時電場和磁 場互為因果,成為統(tǒng)一的電磁場的不可分割的部分。 一,法拉第電磁感應(yīng)定律 1831年,英國

2、物理學(xué)家法拉第(Faraday)總結(jié)大量的實(shí) 驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)與一個由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁通量 發(fā)生變化時,回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,進(jìn)而引起感應(yīng)電流。 而且感應(yīng)電動勢等于磁通量變化率的負(fù)值。 接通線圈1的開關(guān)K時,在線圈2中的感應(yīng)電動勢 ㈡ 由第2章知道,在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必須在導(dǎo)體內(nèi)存在非保 守場,我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場(非庫侖電場)來定義感 應(yīng)電動勢: £ =『E - dl °C in 如果空間中同時存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場 E , 則 總電場E = E + E in C E - dl = J E - dl °c in 因此電場沿

3、閉合路徑的積分為 .(E + E ) - dl = C in c E - dl = -d J B - dS dt S 上式為電磁場表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。 穿過線圈回路磁通的變化可能是由于: 隨時間變化的 磁場穿過(交鏈)靜止的線圈, 或線圈在均勻磁場中連續(xù)改 變它的形狀或位置, 或上述兩種情況的綜合, 因此,上式是 普遍適用的公式。如果線圈是靜止的, 則穿過線圈回路的磁 通變化只可能是由于磁場隨時間變化而引起, 此時上式可表 示為: E - dl = -J dB ?dS 在此之后,英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋( Ma

4、xwell) 對電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析,揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本 質(zhì),并得出了電場和交變的磁場之間的關(guān)系。 他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種 非保守的電場的結(jié)果。這個電場稱為感應(yīng)電場。感應(yīng)電動勢與 感應(yīng)電場的關(guān)系為: 故電磁感應(yīng)定律可表示為: E - dl =_J 8 B -dS 以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場是由變化的磁場 激發(fā)的,不論導(dǎo)體是否存在,只要磁場變化,就要激發(fā)感應(yīng)電 場,所以上式不只適合于導(dǎo)體回路,對任一閉合回路都是成立 的。 由斯托克斯公式,上式可改寫為: E-d = J VxE? dS = -J aB s ~ar -dS S

5、 即: 由于 S 任意,所以: aB [ dS = 0 ~dr丿 V x E 二一 aB a 這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式,它清楚地表明了 交變磁場和感應(yīng)電場間的關(guān)系。 電場的源有兩種:靜止電荷,時變磁場 二, 位移電流 變化的磁場會產(chǎn)生電場, 那么變化的電場能否產(chǎn)生磁場 呢?回答是肯定的。 麥克斯韋把恒定磁場中的安培定律用于時變場時出現(xiàn)了 矛盾, 為此提出位移電流的假說, 對安培定律做了修正。 位移電流的假說就是變化的電場

6、產(chǎn)生磁場的結(jié)果。 考察安培環(huán)路定律在時變場情況下是否成立。 S 2 電容器的位移電流 先看一個例子。一個中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電 源的兩端,1為一個與導(dǎo)線交鏈的閉合回路,若取一個以1為邊 界的曲面S與導(dǎo)線;閭交,則由安培環(huán)路定律: .H ? dl = J J ? dS = i 0 l S 1 i —導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流 若取一個曲面 S 不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間,則 / H ? dl = 0 0 l 這樣磁場強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果, 這說明安培環(huán)路定律用于時變場要產(chǎn)生矛盾。 麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先 分

7、析了這一矛盾的實(shí)質(zhì),這實(shí)際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安 培環(huán)路定律與時變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。 安培環(huán)路定律: Vx H = J 要求 而在時變場中, 電流連續(xù)性方程是: a ~dr 二者是矛盾的。我們知道,電荷守恒定律是普通正確的 而安培環(huán)路定律在時變場情況下必須加以修正。 Maxwell 認(rèn)為,在時變情況下,高斯定理和磁通連續(xù)性原 理仍然適用。即: V - D G t)=p 6, t) J。D 6, t). dS = Q (t) S V - B(r,t)= 0 B (r,t)? dS 二 0 S 這樣電流連續(xù)性方程可寫為: V. J + °

8、=V? J +%? D )= 0 ~dt ~dt 即: V- J + dD、 ~dt丿 V? J 主 o J+aD ■? 此式表明,在時變場中, ,但矢量 方的 散度等于o,若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的J,即得: Vx H = J + dD ~dt 這樣, 它與電流連續(xù)性方程就是相容的了 式中~dl稱為位移 電流密度, 其單位為(A/m )。 引入位移電流之后,一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在, 因?yàn)椋? ■ ? H - dl 二. ■ 〉嚴(yán)] l S 〔 擊丿

9、 -dS 二 J S2 在兩極板之間,電流以位移電流的形式存在,從而保持了 電流的連續(xù)性。 上式還表明,變化的電場也將激發(fā)磁場。麥克斯韋根據(jù)電 場和磁場相互激發(fā),預(yù)言了電磁波的存在,這一預(yù)言在后來得 到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。 磁場可以由電流來產(chǎn)生,也可以由變化的電場產(chǎn)生。 例 計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。 設(shè)銅中的電場為 E sin o t 銅的電導(dǎo)率 c = 5.8 x 107 s / m, 8^8. 00 解: 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 J = cE = cE sin ot c0 T 8D 8E 廠 J = ^ = 8 ^ = 8E COS Ot d

10、~dr ~dr 0 1 7 2 時 x 10 - 9 Jd =O8= 換 =9.6 x 10-19 f J c 5.8 x 107 例:證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為 零。 解: 根據(jù)麥克斯韋方程 Vx H = J + dD ~dt 可知,通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 dD、 ~dt丿 -dS = J (VxH)-dS S ((Vx H) -dS =J V ? (Vx H)dV 0 S V 三,麥克斯韋方程組 麥克斯韋推廣了法拉第電磁感應(yīng)定律,得出交變的磁場產(chǎn) 生電場的結(jié)論;又于 1862 年提出了位移電流的假說

11、,說明交 變的電場也能產(chǎn)生磁場。這表明了電場與磁場之間的緊密聯(lián) 系,二者相互依存,又相互制約,成為統(tǒng)一的電磁場的兩個方 面。 上述兩個方程構(gòu)成了 Maxwell 方程組的核心,同時麥克斯 韋認(rèn)為除了高斯定理在時變情況下成立外,磁通連續(xù)性原理也 是成立的,它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組: Vx H = J + dD ~dt

12、P dV = Q V 在各向同性的線性媒質(zhì)中,各場量之間的關(guān)系是 D = 8 E < B =卩 H J =Q E ——媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場的輔助方程 從以上方程不難看出,前面討論過的靜電場,恒定電場和 d 0 恒定磁場的基本方程都不過是Maxwell方程組在dt 時的 特例。 Maxwell 方程組的正確性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí),它適用于描述 所有的宏觀電磁現(xiàn)象,包括運(yùn)動系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了 宏觀電磁理論的框架,電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求 Maxwell 方程組的解。 麥克斯韋方程的物理意義: 1, 第一方程是修正后的安培環(huán)路定律,表明電流和時變電場 可以激發(fā)

13、磁場。第二方程是法拉第電磁感應(yīng)定律,表明時 變磁場產(chǎn)生電場之一重要事實(shí)。 這兩個方程是麥克斯韋方程的核心,表明時變磁場和時變 磁場互相激發(fā),時變電磁場可以脫離場源而獨(dú)立存在,在 空間形成電磁波。 2, 第三方程表示磁通的連續(xù)性,即空間的磁力線既沒有起點(diǎn) 也沒有終點(diǎn),從物理意義上講是空間不存在自由磁核的結(jié) 果。第四方程是電場的高斯定理,它對時變電荷和靜止電 荷都成立。表明電場是有通量源的場。 3, 時變場中的電場的散度和旋度都不為零,所以電力線起始 于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場的散度恒為零,旋度不為 零,所以磁力線是于電流交鏈的閉合曲線,并且磁力線與 電力線相互交鏈。 在遠(yuǎn)離場源

14、的無源區(qū)域,電場和磁場的散度都為零,這時, 電力線和磁力線自行閉合,相互交鏈,在空間形成電磁波。 4, 一般情況下,時變電磁場的場矢量和場源既是空間坐標(biāo)的 函數(shù),又是時間的函數(shù),若場矢量不隨時間變化,上述方 程退化為靜態(tài)場方程。 5, 在線性介質(zhì)中,麥克斯韋方程組是線性方程組,可以應(yīng)用 疊加原理。 交變電磁場的邊界條件 1,磁場強(qiáng)度H的邊界條件 H 2 由麥克斯韋第一方程: J H ?dl =\ J ?dS + J ?dS l S S岔 H Al — H Al = J -bhAl + 2t 1t ? b h Al VD' 蘆丿 -- dD - =J ?bAl

15、+ ?bhAl s H - H 2t 1t =J ? b + aD ? b h s ~8r 號有限,所以第二項為0 o t H - H = J ? b 2t 1t s 或?qū)懗墒噶啃问剑? H - b x n 一 H - b x n = J 2 1 s 即: xH -fixH丿?方 i 而石任蘆 ? nx w -H )=7 * ? 2 1 s 若無傳導(dǎo)電流,則Hit = =J ?方 s H it 或恥 1 2,電場強(qiáng)度E的

16、邊界條件 E 2 由麥克斯韋第二方程: E M-E A/ =- it it dB ?bh\l dB 有限,而 20 ? E -E … it it it 即: 或:  it nx 電場強(qiáng)度切向分量連續(xù) E 1 3,磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件 2 n h i 1,冒1 由麥克斯韋第三方程(磁通連續(xù)性原理): j B - dS = 0 0 S 與恒定磁場類似的討論可得: B - B In (2n 應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù) n ? 5 — B 丿-0

17、 或: 2 1 3, 電感應(yīng)強(qiáng)度D的邊界條件 D 2 由麥克斯韋第四方程(高斯定理) j D - dS = Q 0 X S 與靜電場類似討論可得: D — D — P 或: 2n In、 S n ?^D — D 丿—。 2 1 S )=J )=0 S )= —D)= 21 n x(H - H n x G — e n-B n Sb 綜上所述,交變電磁場中的邊界條件可歸納為: H - H = J 2t 1

18、t E 二 E 1t 2t B 二 B 1n 2 n D -D 2 n 1n 下面討論一特例——理想導(dǎo)體表面上交變場的邊界條件。 所謂理想導(dǎo)體是指° =g的導(dǎo)體。對于于很大的良導(dǎo)體, 當(dāng)頻率很高時,電磁場只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi),這 種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)(以后在均勻平面波部分詳細(xì)講), ° 越 大,集膚效應(yīng)越顯著,透入深度越?。ㄈ缭?0GHz,透入銅的 深度為6.6 x 10 -5 cm), ° =3時,透入深度為0,即在理想導(dǎo)體 內(nèi)部電磁場處處為 0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知,電荷 和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。 根據(jù)上述邊界條件,在理想導(dǎo)體表面上: Sb

19、或矢量形式 可見,在理想導(dǎo)體表面上,電場只有法向分量,磁場只有 切向分量。 [例]已知兩無限大理想導(dǎo)體板相距為a,如圖,其間電場 強(qiáng)度為E = a E0 sin 竺xcos61-az ( m -常數(shù)),求兩板內(nèi)壁上 y 0 a 的面電流密度。 z 解.7 =恥片 欲求7 ,應(yīng)先求片 S 由麥克斯韋第二方程: V x £ =— dB ~^T dH o ~^r dE dE 即: 一 、y x + 、 y z 二一卩 ~^z~ ~^X~ 0 dH ~^T m兀 -aE sin xsin 0 a inCet -az)X + mK

20、E cos a 0 "兀 xcos61-az)Z ~a~ dH 兩邊對 t 積分得: 齊 a E . m兀 H 二一 o sin ey a o x cosC^t - a z - m兀 m兀 .C y E cos x sin Vet -a z)z a 0 a 0 m兀 ey a 0 E sin(et-az)Z 0 八mTt 「?( \ y E smten—ocz 丿 (o|Li a 0 -y mn E Osin Cot-ocz mil c 0 本節(jié)回顧: 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 作業(yè) 5.9 5.10 5.11

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