《數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)第三章 函數(shù) 第4講 二次函數(shù)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)第三章 函數(shù) 第4講 二次函數(shù)(40頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4講二次函數(shù)1.通過對實際問題情境的分析,體會二次函數(shù)的意義.2.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象,能通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì).3.會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為 ya(xh)2 k(a0)的形式,并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標、開口方向, 畫出圖象的對稱軸,并能解決簡單實際問題.4.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.知識點內(nèi)容二次函數(shù)的定義形如 yax2 bxc(a,b,c 是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象開口向上向下對稱軸頂點坐標知識點內(nèi)容二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)增減性最值(續(xù)表)知識點內(nèi)容系數(shù) a,b,c 和的符號與幾何意義系數(shù) aa 的符
2、號決定拋物線的開口方向當 a0 時,拋物線開口向上;當 a0 時,拋物線開口向下系數(shù) cc 的符號決定拋物線與 y 軸的交點在正半軸或負半軸或原點當 c0 時,拋物線與 y 軸的交點在正半軸上;當 c0 時,拋物線經(jīng)過原點;當 c0 時,拋物線與 y 軸的交點在負半軸上(續(xù)表)(續(xù)表)知識點內(nèi)容系數(shù)a,b,c和的符號與幾何意義系數(shù)a,ba,b的符號決定對稱軸的位置當a,b同號,對稱軸在y軸左邊;當b0時,對稱軸為y軸;當a,b異號,對稱軸在y軸右邊ax2bxc0(a0)的根的個數(shù)b24ac0,兩個不相等的實數(shù)根;b24ac0,兩個相等的實數(shù)根;b24ac0,不存在實數(shù)根拋物線yax2bxc(a
3、0)與x軸的交點個數(shù)b24ac0,有兩個交點;b24ac0,有一個交點;b24ac0,有零個交點知識點內(nèi)容二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)已知拋物線上的三點,選一般式y(tǒng)ax2bxc(a0); (2)已知頂點或?qū)ΨQ軸、最大(小)值,選頂點式y(tǒng)a(xh)2k(a0); (3)已知拋物線與x軸的兩個交點,選交點式y(tǒng)a(xx1)(xx2)(a0)二次函數(shù)的平移與解析式的關(guān)系yax2的圖象 ya(xh)2的圖象 ya(xh)2k的圖象(續(xù)表)知識點內(nèi)容二次函數(shù)的綜合運用(1)從實際問題中抽象出二次函數(shù),并能利用二次函數(shù)的最值公式解決實際問題中的最值問題.(2)二次函數(shù)綜合幾何圖形,要
4、充分抓住幾何圖形的特點并結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點才能有效解決問題.二次函數(shù)綜合動點問題,要弄清楚在動的過程中,什么變了,什么沒變,動中求靜才能有效解決問題(續(xù)表)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例:(2016 年天津)已知二次函數(shù) y(xh)21(h 為常數(shù)),在自變量 x 的值滿足 1x3 的情況下,與其對應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h 的值為(A.1 或5C.1 或3)B.1 或 5D.1 或 3思路分析由解析式可知該函數(shù)在 xh 時取得最小值 1、xh 時,y 隨 x 的增大而增大、當 xh 時,y 隨 x 的增大而減小,根據(jù) 1x3 時,函數(shù)的最小值為 5 可分兩種情況:若h1x3,當 x1
5、時,y 取得最小值 5;若 1x3h,當 x3 時,y 取得最小值 5,分別列出關(guān)于 h 的方程求解即可.解析:當 xh 時,y 隨 x 的增大而增大,當xh 時,y隨 x 的增大而減小,若 h1x3,x1 時,y 取得最小值 5.可得(1h)215.解得 h1 或 h3(舍去);若 1x3h,當 x3 時,y 取得最小值 5.可得(3h)215,解得 h5 或 h1(舍去).綜上所述,h 的值為1 或 5.答案:B名師點評本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵.【試題精選】1.二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象如圖 3-4-1,下列結(jié)論:b24ac
6、0;4ac2b;(ac)2b2;ax2bxab.其中結(jié)論正確的是_.圖 3-4-1答案:2.二次函數(shù) yx22x3 的圖象如圖 3-4-2,下列說法中錯誤的是()圖 3-4-2A.函數(shù)圖象與 y 軸的交點坐標是(0,3)B.頂點坐標是(1,3)C.函數(shù)圖象與 x 軸的交點坐標是(3,0),(1,0)D.當 x0 時,y 隨 x 的增大而減小答案:B解析:二次函數(shù) y(x1)25 的大致圖象如下:圖 D13當m0 xn1時,當xm時y取最小值,即2m(m1)25,解得m2.當xn時,y取最大值,即2n(n1)25,解得n2或n2(均不合題意,舍去);當m0 x1n時,當xm時y取最小值,即2m(
7、m1)25,解得m2.當x1時,y取最大值,即2n(11)25,故選 D.答案:D確定二次函數(shù)的關(guān)系式4. 若拋物線 y ax2bx c 的頂點是 A(2,1) ,且經(jīng)過點B(1,0),則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y_.答案:x24x35.拋物線 yax2bxc(a0)與 x 軸交于 A(4,0),B(2,0),與 y 軸交于點 C(0,2).求拋物線的解析式.解:設(shè)這條拋物線的解析式為 ya(x4)(x2),根據(jù)題意,得 2a(04)(02). 6.(2016年內(nèi)蒙古)已知拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(3,0),B(1,0).(1)求拋物線的解析式;(2)求拋物線的頂點坐標.解:(1)拋物線 yx
8、2bxc 經(jīng)過點 A(3,0),B(1,0),拋物線解析式為yx22x3.(2)yx22x3(x1)24,拋物線的頂點坐標為(1,4).7.(2016 年四川內(nèi)江)如圖3-4-3,已知二次函數(shù) yax2bxc 的圖象過 A(2,0),B(0,1)和 C(4,5)三點.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與 x 軸的另一個交點為 D,求點 D 的坐標;(3)在同一坐標系中畫出直線 yx1,并寫出當 x 在什么范圍內(nèi)時,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值?圖 3-4-3解:(1)二次函數(shù)的圖象過 B(0,1),二次函數(shù)解析式為 yax2bx1.二次函數(shù)的圖象過 A(2,0)和 C(4,5)兩
9、點,解得 x2 或 x1.D(1,0).(3)如圖 D14,當1x4 時,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.圖 D14 解題技巧(1) 當已知拋物線上三點求二次函數(shù)的解析式時,一般采用一般式y(tǒng)ax2bxc(a0);(2)當已知拋物線頂點坐標(或?qū)ΨQ軸或最大、最小值)求解析式時,一般采用頂點式y(tǒng)a(xh)2k;(3)當已知拋物線與 x 軸的交點坐標求二次函數(shù)的解析式時,一般采用兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2).二次函數(shù)的綜合運用8.(2016 年福建)已知拋物線 y(xm)2(xm),其中 m 是常數(shù).(1)求證:不論 m 為何值,該拋物線與 x 軸一定有兩個公共點;求該拋物線的函數(shù)解析式;把該拋物線
10、沿 y 軸向上平移多少個單位長度后,得到的拋物線與 x 軸只有一個公共點?該拋物線的函數(shù)解析式為yx25x6;設(shè)把該拋物線沿y軸向上平移n個單位長度,則yx25x6n.拋物線yx25x6n與x軸只有一個公共點,1.(2014 年廣東)二次函數(shù) yax2bxc(a0)的大致圖象)如圖 3-4-4,關(guān)于該二次函數(shù),下列說法錯誤的是(A.函數(shù)有最小值圖 3-4-4D.當1x2 時,y0答案:D 2.(2013年廣東)已知二次函數(shù)yx22mxm21.(1)當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點 O(0,0)時,求二次函數(shù)的解析式;(2)如圖 3-4-5,當 m2 時,該拋物線與y 軸交于點 C,頂點為點 D,求
11、 C,D 兩點的坐標;(3)在(2)的條件下,x 軸上是否存在一點 P,使得 PCPD 最短?若點 P 存在,求出點 P的坐標;若點 P 不存在,請說明理由.圖 3-4-5解:(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0,0),代入二次函數(shù)yx22mxm21,得m210.解得m1.二次函數(shù)的解析式為yx22x或yx22x.(2)m2,由二次函數(shù)yx22mxm21,得yx24x3(x2)21.拋物線的頂點為D(2,1).當x0時,y3.C點坐標為(0,3).C(0,3),D(2,1).(3)如圖 D15,當 P,C,D 共線時PCPD 最短,過點 D 作 DEy 軸于點 E,圖 D15軸交于 A 點,
12、過點 A 的直線與拋物線交于另一點 B,過點 B 作BCx 軸,垂足為點 C(3,0).(1)求直線 AB 的函數(shù)關(guān)系式;(2)動點 P 在線段 OC 上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向點 C 移動,過點 P 作 PNx 軸,交直線 AB 于點 M,交拋物線于點 N.設(shè)點 P 移動的時間為 t 秒,MN 的長度為 s 個單位,求 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式,并寫出 t 的取值范圍;(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點 P 與點 O,點 C 重合的情況),連接 CM,BN,當 t 為何值時,四邊形 BCMN 為平行四邊形?問對于所求的 t 值,平行四邊形 BCMN 是否菱形?請說明理由.圖 3-4-6圖 3-4-7P(1,2),把(1,2)代入 ykx1,得 k1.(2)如圖 D16,連接 PO,QO,PQ,作 PA y 軸于點 A,QBx 軸于點 B,則 PA 1,OA2,圖 D16點 Q 與點 P 關(guān)于直線 yx 成軸對稱,直線 yx 垂直平分 PQ.OPOQ.POAQOB.在OPA 與OQB 中,POA QOB.QBPA 1,OBOA2.Q(2,1).(3)設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc,得