電類高等數(shù)學(xué)電子教案第三章習(xí)題及解答

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1、第三章 極限與連續(xù) 練習(xí)題3.1 1．觀察下列數(shù)列的變化趨勢．若極限存在，求出該極限． （1）； （2）； （3）． 解：（1）當(dāng)時(shí)，，． （2）當(dāng)時(shí)，沒有極限． （3）當(dāng)時(shí)，，． 2．判斷下列命題是否真命題．如果不真，指出錯(cuò)誤． （1）若存在，則有意義； （2）若和都存在，則極限一定存在； （3）如果，那么； （4）如果，那么不存在． 解：（1）假命題。存在與無關(guān)； （2）假命題。若和都存在且相等，則極限存在； （3）假命題。如果，那么； （4）真命題。 3．求下列函數(shù)在處的左右極限，并指出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是否存在． （1）；

2、 （2）． 解：（1），，故 ． （2），，故 不存在． 練習(xí)題3.2 1．判斷下列各命題是否為真命題．如果不是，指出錯(cuò)在哪里． （1）無窮大必須是正數(shù)； （2）是無窮??； （3）任意多個(gè)無窮小的和仍是無窮??； （4）無窮小的倒數(shù)是無窮大． 解：都是假命題 2．利用無窮小的性質(zhì)求下列極限． （1）； 　　?。?）； （3）； 　　　 （4）． 解：（1），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無窮小量，而， 所以． （2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無窮小量，而， 所以． （3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無窮小量

3、，而，所以 ． （4）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無窮小量，也為無窮小量， 所以． 3．下列函數(shù)在什么條件下是無窮小?在什么條件下是無窮大?為什么? （1）； 　　　　?。?）． 解：（1），， 故當(dāng)時(shí)，為無窮大量；當(dāng)時(shí)，為無窮小量． （2），， 故當(dāng)時(shí)，為無窮大量；當(dāng)時(shí)，為無窮小量． 練習(xí)題3.3 求下列函數(shù)的極限: 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．；

4、 10．； 11．； 12．； 13．； 14．． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）． 練習(xí)題3.4 計(jì)算下列極限: （1）； （2），； （3）； （4）； （5）； （6）(為正整數(shù))． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．（為正整數(shù)） 練

5、習(xí)題3.5 1．當(dāng)時(shí)，無窮小和(1)，2． 是否同階?是否等價(jià)? 解：（1）， 故當(dāng)時(shí)，與是同階無窮小，但不等價(jià)； （2），故當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小． 2．利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)求下列極限: （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1），則 ； （2）， 則； （3），則； （4），則 ． 練習(xí)題3.6 1． 討論函數(shù)，在處的連續(xù)性． 解： ，，，故在點(diǎn)連續(xù)． 2．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型: （1）； （2）． 解：（1）的定義域?yàn)?，在處，，?是的第二類間斷點(diǎn)； （2），，故是的跳躍間斷

6、點(diǎn)． 3．設(shè)，試問為何值時(shí)函數(shù)在處連續(xù)? 解：，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處連續(xù)． 練習(xí)題3.7 1．求下列極限: （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4） ． 2． 證明：方程至少有一個(gè)小于的正根． 解：令，在上連續(xù)，且，由根的存在定理，至少存在一點(diǎn)，使，即方程至少有一個(gè)小于的正根． 習(xí)題三 1．判斷正誤： （1）若函數(shù)在處極限存在，則在處連續(xù)． （2）分段函數(shù)必有間斷點(diǎn)． （3）與是時(shí)的等價(jià)無窮?。? （4）無界函數(shù)不一定是無窮大量． 解：（1）錯(cuò)（2）錯(cuò)（3）對（4）對 2．設(shè)

7、 求，，． 解：； ，，故； ． 3．求下列極限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （7）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14） ． 解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為無窮小量，為有界變量，故； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）因?yàn)? ，所以 ； （7）；

8、 （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13） ； （14）． 4．試證:當(dāng)時(shí)，與均為無窮小，并對這兩個(gè)無窮小進(jìn)行比較． 解：因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，與均為無窮小量．又， 所以當(dāng)時(shí)，與是同階無窮?。? 5．討論下列函數(shù)的連續(xù)性．如有間斷點(diǎn)，指出其類型． （1）； （2） ； 解：（1）函數(shù) 在上連續(xù)，在點(diǎn)無定義，故是函數(shù)的間斷點(diǎn)．因?yàn)?，所以是函?shù)的可去間斷點(diǎn)．不存在，所以是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)． （2）函數(shù)在上連續(xù)，在處，因?yàn)椋⑶? ，，所以，從而是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)． 6．設(shè) 求的間斷點(diǎn)，并說明間斷點(diǎn)所屬類型． 解：因?yàn)?，，故是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn)．又，， 故 是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)． 7．設(shè) 要使在內(nèi)連續(xù)，應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)? 解：，， 當(dāng)時(shí)，,所以在處連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù)． 10